人教版九年级数学上册重难考点04圆的相关计算通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难考点04圆的相关计算通关专练特训(原卷版+解析)，共42页。
微专题04 圆的相关计算通关专练 一、单选题1．（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，已知AB⏜所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，将AB⏜绕点A逆时针旋转90°后得到AB'⏜，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ）A．8π B．9π C．10π D．11π2．（2022秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转60°到△AB'C'位置，则B点经过的路线长为（   ）A．π B．π C．π D．π3．（2022秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，已知∠ABC=90°，AB=πr，AB=2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.则在此运动过程中，圆心O运动的总路程为（    ）A．πr B．32πr C．3πr D．2πr4．（2023·湖北咸宁·校联考一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则FA的长为（    ）A．π B．25π C．35π D．23π5．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形6．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，已知在半径为6的⊙O中，点A,B,C在⊙O上且∠ACB=60°，则AB的长度为（    ）A．6π B．4π C．2π D．π7．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为(   )A．9 B．3π C．9π D．188．（2023·山东德州·统考一模）如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是(   )A．4π3 B．4π3﹣3 C．23+π3 D．23﹣2π39．（2023·江苏·九年级假期作业）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（    ）A．BD⊥AC B．AD=AB C．∠ADB=60° D．AD=DB10．（2022秋·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学校考期中）如图，正六边形ABCDEF的半径为6，则它的面积为（　　）A．273 B．543 C．108 D．36π11．（2023春·九年级单元测试）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为(　　)A．120° B．约156° C．180° D．约208°12．（2023春·九年级课时练习）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为（    ）A．25π3 B．25π6 C．5π6 D．5π313．（2022秋·山西朔州·九年级统考阶段练习）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数为（    ）A．15° B．18° C．20° D．25°14．（2023·广东·模拟预测）如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=105°，OA=6，点C在半径OB 上，沿 AC 折叠，圆心 O 落在 AB 上，则图中阴影部分的面积是（  ） A．12π−6 B．9π−9 C．9π−182 D．16π−8315．（2022秋·九年级单元测试）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（　　）A．2㎝ B．4㎝ C．1㎝ D．8㎝16．（2022秋·吉林·九年级校考期末）如图，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=4，以B为圆心，BC长为半径作CD交AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．17．（2022春·九年级单元测试）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．18．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在扇形OBA中∠AOB=100°，OA=4，分别以点A、B为圆心，4为半径画弧，交AB于点D、C，则图中阴影部分的面积为 ．19．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）一个圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积是20π，则该圆锥的底面半径为 ．20．（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为2cm的⊙O，AB的长为π，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．21．（2022秋·云南曲靖·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，以点C为圆心，BC的长为半径作圆弧交AC于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积是 22．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．23．（2022·吉林·统考二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=2．以点A为圆心的弧EF与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．24．（2023·浙江衢州·统考模拟预测）在半径为6的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）．25．（2022秋·九年级单元测试）如图，扇形OAB的半径为6cm，AC切弧AB于点A，交OB的延长线点C，若AC=4cm，弧AB的长为3cm，则图中阴影部分面积为 cm2．三、解答题26．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）正方形ABCD和正方形AEFG,AB＝12,AE＝62.设∠BAE＝α(0°≤α≤45°,点E在正方形ABCD内部),BE的延长线交直线DG于点Q(1)求证:△ADG≌△ABE(2)试求出当α由0°变化到45°过程中,点Q运动的路线长,并画出点Q的运动路径.27．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．  28．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡梅溪湖中学校联考期中）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(−3，4)，C(2，6)，在给出的平面直角坐标系中：(1)面出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；并直接写出B1、C1的坐标；(2)计算点B旋转到点B1位置时，经过的路径长．29．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图．30．（2022秋·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）作出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）作出△ABC绕点O顺时针旋转90∘的△A2B2C2，并求出点B经过的路径长．（3）在（2）的操作中，求出线段BC扫过的面积．31．（2022秋·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？32．（2023春·江西·八年级统考期末）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的长．33．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE．（2）求证：直线CF为⊙O的切线．（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．34．（2022·全国·九年级假期作业）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．  （1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积．35．（2023·江苏徐州·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．(1)求证：直线CE是⊙O的切线：(2)若∠ABC=30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．微专题04 圆的相关计算通关专练 一、单选题1．（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，已知AB⏜所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，将AB⏜绕点A逆时针旋转90°后得到AB'⏜，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ）A．8π B．9π C．10π D．11π【答案】D【分析】根据已知AB⏜的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可．【详解】如图，设AB⏜的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′，∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，根据垂径定理，得：AM＝12AB＝4，PO⊥AB，OM＝OA2−AM2＝3，∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2，∴AP＝AM2+PM2＝25，∵将AB⏜绕点A逆时针旋转90°后得到AB'⏜，根据旋转的性质可知，△ABP≌△AB′P′，即：S△ABP=S△AB′P′，∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇=90π×82360−90π×252360=11π，故选：D．【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．2．（2022秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转60°到△AB'C'位置，则B点经过的路线长为（   ）A．π B．π C．π D．π【答案】C【详解】试题分析：由勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5点B经过的路线长即弧BB′的长=60π×5180=5π3.故选C.考点：弧长的计算.3．（2022秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，已知∠ABC=90°，AB=πr，AB=2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.则在此运动过程中，圆心O运动的总路程为（    ）A．πr B．32πr C．3πr D．2πr【答案】D【分析】根据题意画出图形如图，将运动路径分为三部分OO1、O1O2、O2O3，分别计算各部分的长再相加即可.【详解】解：圆心O的运动路径如图：∵OO1=AB=πr；O1O2的长=90πr180=12πr，O2O3=BC=12πr；∴圆心O运动的路程是：πr+12πr+12πr=2πr．故选D．【点睛】本题考查了弧长的计算，正确理解题意、画出符合题意的图形找出运动轨迹是解题的关键.4．（2023·湖北咸宁·校联考一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则FA的长为（    ）A．π B．25π C．35π D．23π【答案】C【分析】求出弧所对圆心角的度数，代入弧长公式即可求得．【详解】解：∵多边形ABCDE为正五边形，∴ BA,BC的度数相等=360°5=72°，∵ OF⊥BC，∴ FB的度数=72°2=36°，∴ FA的度数=108°，∴ FA的长度=108°×π×1180°=35π．故选C【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键．5．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形【答案】C【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解．【详解】解：如图1， ∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2， ∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图3， ∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝3，则该三角形的三边分别为：1，2，3，∵12＋（2）2＝（3）2，∴该三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．6．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，已知在半径为6的⊙O中，点A,B,C在⊙O上且∠ACB=60°，则AB的长度为（    ）A．6π B．4π C．2π D．π【答案】B【分析】利用圆周角定理得出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB、OA∵∠ACB=60°∴∠AOB=2∠ACB=120°∴AB的长度为：120π·6180=4π 故选：B【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式．正确记忆公式是重点．熟练掌握圆周角定理是关键．7．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为(   )A．9 B．3π C．9π D．18【答案】B【分析】先根据图形旋转的性质得出AD′的长，再根据直角三角形的性质得出∠AD′B的度数，进而得出∠DAD′的度数，由扇形的面积公式即可得出结论．【详解】∵线段AD′由线段AD旋转而成，AD＝6，∴AD′＝AD＝6．∵AB＝3，∠ABD＝90°，∴∠AD′B＝30°．∵AD∥BC，∴∠DAD′＝∠AD′B＝30°，∴S阴影＝30⋅π×62360＝3π．故选B．【点睛】本题考查的是矩形的性质，旋转的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．8．（2023·山东德州·统考一模）如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是(   )A．4π3 B．4π3﹣3 C．23+π3 D．23﹣2π3【答案】D【分析】连接OC交MN于点P，连接OM、ON，根据折叠的性质得到OP=12OM，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN，结合图形计算即可.【详解】解：连接OC交MN于点P，连接OM、ON，由题意知，OC⊥MN，且OP=PC=1，在Rt△MOP中，∵OM=2，OP=1，∴cos∠POM=OPOM=12，AC=OM2−OP2=3，∴∠POM=60°，MN=2MP=23，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则图中阴影部分的面积=S半圆-2S弓形MCN=12×π×22-2×（120π×22360-12×23×1）=23- 23π，故选D.【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.9．（2023·江苏·九年级假期作业）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（    ）A．BD⊥AC B．AD=AB C．∠ADB=60° D．AD=DB【答案】B【分析】根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．【详解】解：由题意得：∠BAC=45°，∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形，若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可，∴AD=AB；故选B．【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．10．（2022秋·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学校考期中）如图，正六边形ABCDEF的半径为6，则它的面积为（　　）A．273 B．543 C．108 D．36π【答案】B【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题．【详解】解：如图，连接OC，OD过O作OH⊥CD于H，∵正六边形ABCDEF的半径为6，∴正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，而正六边形可以分成六个边长相等的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长，∴正三角形的边长为6，∴正三角形的高为6×sin60°=33，∴该正六边形的面积为6×12×6×33=543．故选：B．【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形及特殊角的三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．11．（2023春·九年级单元测试）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为(　　)A．120° B．约156° C．180° D．约208°【答案】C【详解】设圆锥的母线长l=a，因为圆锥正视图为正三角形，所以圆锥底面半径为a圆锥底面周长c=2a=所以侧面展开图的半径为a，弧长为圆心角为=180º故选C12．（2023春·九年级课时练习）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为（    ）A．25π3 B．25π6 C．5π6 D．5π3【答案】D【分析】根据题意可知：B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径，风车转动60°的圆弧，计算即可．【详解】解：∵AB=5，风车转动60°， ∴l=60π×5180=53π，故选：D．【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：l=nπr180．13．（2022秋·山西朔州·九年级统考阶段练习）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数为（    ）A．15° B．18° C．20° D．25°【答案】B【分析】连接AD，先得出∠ADF=90°，再求出AB的度数=BC的度数=15×360°=72°，从而得出∠ADC的度数，即可求解．【详解】解：连接AD，∵AF是⊙O直径，∴∠ADF=90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴ AB的度数=BC的度数=15×360°=72°，∴∠ADC=12×144°=72°，∴∠CDF=∠ADF−∠ADC=90°−72°=18°．故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，直径所对的圆周角为直角．14．（2023·广东·模拟预测）如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=105°，OA=6，点C在半径OB 上，沿 AC 折叠，圆心 O 落在 AB 上，则图中阴影部分的面积是（  ） A．12π−6 B．9π−9 C．9π−182 D．16π−83【答案】C【分析】连接AO'、OO'，根据折叠性质可知△AO O'是等边三角形，然后再求出S扇形AOO'、S扇形AOB、S△COO'，即可求解．【详解】解：连接AO'、OO'交AC于点D，由折叠的性质可得，AC⊥OO'，OD=O'D，AO=AO'=OO'∴△AO O'是等边三角形，∴∠AO O'=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=45°∵OA=6，AC⊥OO'，OD=O'D，∴CD= OD=12OO'=12OA=3，∴S扇形AOO'=60×π×62360=6π，S扇形AOB=105×π×62360=10.5π，S△COO'=12OO'·CD=12×6×3=9，∴S阴影=S扇形AOB−S扇形AOO'−S△COO'=10.5π−6π−9=4.5π−9=9π−182．故选：C．【点睛】本题是扇形面积的综合练习题，考查了折叠的性质，以及扇形面积的公式，灵活运用即可．15．（2022秋·九年级单元测试）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（　　）A．2㎝ B．4㎝ C．1㎝ D．8㎝【答案】A【详解】试题分析：如图将此扇形围成一个圆锥，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以120∘π•6180∘=2πr，解得r=2cm考点：圆锥和扇形点评：本题考查圆锥，解本题的关键是要知道圆锥的侧面展开图是扇形，以及该扇形与圆锥之间的关系二、填空题16．（2022秋·吉林·九年级校考期末）如图，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=4，以B为圆心，BC长为半径作CD交AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】83−83π【分析】根据直角三角形的性质得到AC=3BC=43，∠B=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8 由勾股定理得，AC=AB2−BC2=43 ，∠B=60°，∴阴影部分的面积=S△ACB−S扇形BCD=12×4×43−60⋅π×42360=83−83π，故答案为：83−83π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．17．（2022春·九年级单元测试）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．【答案】12【分析】首先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长为圆锥底面圆周长可以求得扇形的弧长为，8π，扇形的弧长同时还可以根据公式nπR180，此时扇形的半径等于圆锥的母线长，所以即可列出等式求解；【详解】由题意可得：圆锥的底面圆周长为8π∴根据扇形的弧长公式可得： 120πl180=8π 解得：l=12 即该圆锥母线l的长为12故答案是：12.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关计算，明白圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长是求解本题的关键.18．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在扇形OBA中∠AOB=100°，OA=4，分别以点A、B为圆心，4为半径画弧，交AB于点D、C，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】569π−83【分析】连接OC，OD，AD，BC，过点C作CH⊥OB于H，则△OBC，△OAD均为等边三角形，可得扇形OAD和扇形OBC的圆心角，由∠AOB可得∠COD，再根据阴影面积=弓形OC面积+弓形OD面积+扇形COD面积计算求值即可．【详解】解：如图，连接OC，OD，AD，BC，过点C作CH⊥OB于H，∵OA=OB=OC=OD=AD=CB=4，∴△OBC，△OAD均为等边三角形，∴∠AOD=∠BOC=∠OAD=∠OBC=60°，∵∠AOB=100°，∴∠COD=∠AOD+∠BOC−∠AOB=2×60°−100°=20°，∵CH⊥OB，∴BH=12OB=2，∴CH=BC2−BH2=23∴S△COB=12OB⋅CH=43，∵扇形OBC和扇形OAD面积相等，△OBC面积和△OAD面积相等，∴弓形OC面积与弓形OD面积的面积相等，∴S阴影=2S扇形BCO−S△OBC+S扇形ODC=2×60×π×42360−43+20×π×42360=569π−83，故答案为：569π−83．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积计算；正确作出辅助线是解题关键．19．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）一个圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积是20π，则该圆锥的底面半径为 ．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面面积公式，即可求得圆锥的底面半径【详解】解：设底面半径为R，则底面周长为：2πR，圆锥的侧面展开图的面积为：12×2πR×5=20π，∴R=4故答案为：4【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．20．（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为2cm的⊙O，AB的长为π，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．【答案】(2+3π)cm2【分析】连接OA、OB，先求出∠AOB的度数，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．【详解】解：连接OA、OB，设∠AOB=x°，∵AB的长为π，∴x∘·2π180∘=π，∴x=90，∴∠AOB=90°∴S△AOB=12×2×2=2cm2，S扇形ACB=360−90π×22360=3πcm2，则弓形ACB胶皮面积为(2+3π)cm2．故答案为：(2+3π)cm2．【点睛】本题主要考查了弧长公式和扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．21．（2022秋·云南曲靖·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，以点C为圆心，BC的长为半径作圆弧交AC于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积是 【答案】3+π3【分析】连接CD，首先证明AD=BD=2，根据S阴=12S△ABC+S扇形CDE，计算即可．【详解】解：如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=2，∴∠ABC=60°，AC=23，∵CB=CD，∴△BCD是等边三角形∴∠BCD=60°，∠ECD=30°，∵AB=2BC=4，BC=BD，∴AD=BD=2， ∴SB=12SΔABC+S扇形CDE=12×12×2×23+30×π×22360=3+π3．故答案为：3+π3．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．22．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】π2−1【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，连接OC，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE是矩形，∵点C是AB的中点，∴∠AOC=∠BOC，在△COD与△COE中，∠CDO=∠CEO∠AOC=∠BOCOC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=2，∴2OE2=OC2=22，得出OE=1，∴图中阴影部分的面积=90⋅π×22360−1×1=π2−1，故答案为：π2−1．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．23．（2022·吉林·统考二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=2．以点A为圆心的弧EF与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．【答案】π2/12π【分析】连接AD，根据等边三角形的性质求出∠BAC=60°， BC=AC=2，结合切线的性质求得BD=CD=1，再用勾股定理求出以点A为圆心圆的半径，最后利用扇形的面积公式求解．【详解】解：连接AD，如下图．∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠BAC=∠B=60°，BC=AC=2．∵以点A为圆心的弧EF与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=1，∴AD=AC2−CD2=22−12=3，即以点A为圆心圆的半径为3，∴S阴影=60×π×32360=π2．故答案为：π2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，切线的性质，扇形的面积公式，求出圆的半径是解答关键．24．（2023·浙江衢州·统考模拟预测）在半径为6的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）．【答案】π【分析】根据弧长公式直接解答即可.【详解】弧长为30π×6180=π，故答案为：π.【点睛】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键.25．（2022秋·九年级单元测试）如图，扇形OAB的半径为6cm，AC切弧AB于点A，交OB的延长线点C，若AC=4cm，弧AB的长为3cm，则图中阴影部分面积为 cm2．【答案】3【分析】根据AC切弧AB于点A判断出CA⊥OA，再根据三角形的面积公式求出S△AOC，再求出扇形的面积，相减即可得到阴影面积．【详解】∵AC切弧AB于点A，∴CA⊥OA，∴S△AOC=12×6×4=12cm，∵S扇形AOB=12×6×3=9cm2，∴阴影部分面积为12-9=3cm2．故答案为3．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，要灵活运用公式，同时注意切线的性质．三、解答题26．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）正方形ABCD和正方形AEFG,AB＝12,AE＝62.设∠BAE＝α(0°≤α≤45°,点E在正方形ABCD内部),BE的延长线交直线DG于点Q(1)求证:△ADG≌△ABE(2)试求出当α由0°变化到45°过程中,点Q运动的路线长,并画出点Q的运动路径.【答案】（1）见解析；（2）32π；点Q的运动路径图见解析.【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠EAG=∠BAD= 90°，再求出∠DAG=∠BAE，然后利用SAS即可证明△ADG≌△ABE；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADG=∠ABE，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点Q的轨迹为以BD为直径的AD，根据弧长公式即可解答，再画出点Q的运动路径图即可.【详解】（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中AB=AD，AE=AG，∠EAG=∠BAD= 90°∵∠DAG+∠EAD=∠BAE+∠EAD==90°∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE（2）解：∵△ADG≌△ABE∴∠ADG=∠ABE∴∠BQD=∠BAD=90°∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的AD，所对的圆心角是90°∵AB=12∴BD=2AB=122∴旋转过程中点Q运动的路线长=90·π·(12·122)180=32π 点Q的运动路径，如图【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、圆的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.27．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．  【答案】83【分析】连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，然后证明△ABD≌△CED，得出四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为F， ∵圆内接四边形ABCD，∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠A=∠DCE，∵AB=CE,AD=DC，∴△ABD≌△CED，∴BD=DE，∴四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，∵DF⊥BC，∴BF=EF=12(BC+CE)=12BE=12×8=4，∴FC=EF-CE=4-2=2，在Rt△DEC中，DF=DC2−FC2=42−22=23，∴S△BDE=S四边形ABCD=12BE⋅DF=12×8×23=83．  【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．28．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡梅溪湖中学校联考期中）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(−3，4)，C(2，6)，在给出的平面直角坐标系中：(1)面出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；并直接写出B1、C1的坐标；(2)计算点B旋转到点B1位置时，经过的路径长．【答案】(1)图见解析，B1(1,4),C1(3,3)(2)2π【分析】(1)分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°所得对应点，再与点A首尾顺次连接即可得；(2)利用扇形的面积公式求解可得．【详解】（1）解：如图所示，由图可知：B1(1,4),C1(3,3)．（2）由勾股定理得：AB=22+22=22，∠BAB1=90°，得BB1的长l=90π⋅22180=2π【点睛】本题主要考查作图-旋转变换及扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．29．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图．【答案】详见解析．【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，如图所示： ．【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理．30．（2022秋·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）作出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）作出△ABC绕点O顺时针旋转90∘的△A2B2C2，并求出点B经过的路径长．（3）在（2）的操作中，求出线段BC扫过的面积．【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，5π；（3）54π【分析】（1）分别作出点A，B，C向左平移5个单位长度后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后根据弧长公式计算出点B旋转到点B2所经过的路径长；（3）线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积S=S△OCB+S扇形COC2−S扇形BOB2−S△OC2B2=S扇形COC2−S扇形BOB2，即可得出线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积．【详解】（1）△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1如图所示．（2）如图，△A2B2C2为所作，OB=22+42=25，∴点B经过的路径长=90π×25180=5π，故答案为：5π．（3）∵OC=32+42=5，OB=25∴△ABC绕O顺时针旋转90ºBC边扫过的面积S△OCB+S扇形COC2−S扇形BOB2−S△OC2B2=S扇形COC2−S扇形BOB2=142π⋅25−2π⋅(25)2=54π．【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，31．（2022秋·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？【答案】11.44πkg【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量．【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m，圆锥的高为300mm=0.3m，则圆锥的母线长为：0.32+0.42＝0.5m．∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），∵圆柱的高为800mm=0.8m．圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2），∵每平方米用锌0.11kg，∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg，∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式．32．（2023春·江西·八年级统考期末）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的长．【答案】AB=4.【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【详解】RtΔABC，∵AC2+BC2=AB2，∴π⋅AC24+π⋅BC24=π⋅AB24，即：S半圆AC+S半圆BC=S半圆AB，根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则S1+S2=SΔABC，∵S1+S2=5，∴SΔABC=12AC⋅BC=5，∴AC⋅BC=10.∵AC+BC=6，∴AC+BC2−2AC⋅BC=AC2+BC2 =62−2×10=16，即AB2=16，∴AB=4.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．33．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE．（2）求证：直线CF为⊙O的切线．（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）π−2【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；（3）连接OD，利用三角形中位线和扇形面积公式解答即可．【详解】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC∴∠DBE=∠DEB∴DB=DE；（2）证明：连接CD，则∠CDB=90°∵点E为△ABC的内心，∴DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴BD=CD=DF∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°∴∠BCF=90°∴BC⊥CF即CF是⊙O的切线（3）连接OD∵O、D是BC、BF的中点，CF=4，∴OD=2∵∠BCF=90°，∴∠BOD=90°∴图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积=90π×22360−12×2×2=π−2；【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、扇形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．34．（2022·全国·九年级假期作业）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．  （1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为3−π3．【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；（2）求出AC，AE的长，得出∠AOD=120°，根据扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OE、OD，如图，  ∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵OB＝OD，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，在△AOE和△DOE中OA=OD∠1=∠2OE=OE,∴△AOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE＝∠OAE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵⊙O半径为1，∴AB＝2，∵∠BAC＝90°，BC＝4，∴∠C＝30°，AC＝BC2−AB2=42−22=23，∴∠B＝60°，∴∠AOD＝2∠B＝120°，又∵点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝3，∴图中阴影部分的面积＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×12×3×1﹣120°×π×12360°＝3﹣π3．【点睛】本题考查的是三角形和圆的相关知识点，关键在于对三角形和圆的性质的运用.35．（2023·江苏徐州·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．(1)求证：直线CE是⊙O的切线：(2)若∠ABC=30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见详解．(2)163π−43【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB，即可得出BD∥OC，从而推出OC⊥DE，即证明得出结论；（2）过点O作OF⊥CB于F，利用S阴影=S扇形OBC−S△OBC即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DCB，∴∠OCB=∠DCB，∴BD∥OC，∵BD⊥CE于点D，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：过点O作OF⊥CB于F，如图，∵∠ABC=30°，OB=4，∴OF=2，BF=OB⋅cos30°=23，∴BC=2BF=43，∴S△OBC=12BC⋅OF=12×43×2=43，∵∠BOF=90°−30°=60°，∴∠BOC=2∠BOF=120°，∴S扇形OBC=120°360°×π×42=163π，∴S阴影=S扇形OBC−S△OBC=163π−43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．