人教版九年级数学上册重难考点04二次函数的最值问题通关专练特训(原卷版+解析)

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微专题04 二次函数的最值问题通关专练 一、单选题1．（2023春·九年级课时练习）函数y=(x+1)2－2的最小值是（    ）A．1 B．－1 C．2 D．－22．（2023秋·浙江·九年级期中）如果二次函数y=x2−6x+8在x的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x的取值范围可以是（    ）A．−1≤x≤5 B．1≤x≤6 C．−2≤x≤4 D．−1≤x≤13．（2023秋·天津河西·九年级校考期末）已知二次函数y=x2−2x+3，当−2≤x≤2，下列说法正确的是（　　）A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值34．（2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）某店加工烤鸭时，烤鸭的口感系数y和加工时间t（h）之间的关系式为y＝－0.2t2＋1.4t－2，口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为（   ）A．3 B．3或4 C．3.5 D．3或55．（2022秋·全国·九年级专题练习）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（    ）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米6．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知平面内一点Pm−1,3n2−1，实数m，n满足m−n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为（    ）．A．7105 B．7 C．125 D．5+17．（2022秋·北京西城·九年级北京市第三中学校考期中）二次函数y=x2−2x−3的最小值为（    ）A．5 B．0 C．−4 D．−58．（2023秋·吉林松原·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+cc≠0的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．a<0,b<0,c>0 B．−b2a=1C．a+b+c<0 D．关于ax2+bx+c=−1的方程有两个不相等的实数根9．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）函数y=(x+1)2−3的最小值是（    ）A．1 B．−1 C．3 D．−310．（2022春·江苏·九年级专题练习）二次函数y=ax2−2ax+b中，当−1≤x≤4时，−2≤y≤3，则b−a的值为（  ）A．−6 B．−6或7 C．3 D．3或−211．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=−(x−1)2+2的最大值是 （    ）A．−2 B．2 C．−1 D．112．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）已知抛物线y=x2+2mx−4m，若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）A．m≥−4 B．00时，在顶点处取得最小值为4ac−b24a.    ( )24．（2022秋·九年级单元测试）抛物线 y=−x2+bx+c 的最高点为 −1，3，则 b= ____，c= ____．25．（2023秋·北京·九年级北京四中校考期中）二次函数y=−2x2−4x+1的最大值为_______．26．（2023秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）二次函数y=(x−2)2+1的最小值为___________．27．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）二次函数y=−12x2+2x−1的最大值是______．28．（2023秋·辽宁大连·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系xoy中，开口向上的抛物线与y轴交于点A0,1，顶点B的坐标为2,−3．（1）求抛物线的解析式；（2）当t≤x≤t+2时，函数的最小值为−3，则t的取值范围是______．29．（2023秋·九年级单元测试）现有总长为8 m的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛，当这个扇形的半径为___m时，可以使这个扇形花坛的面积最大？最大面积是__________m2．30．（2023秋·全国·九年级统考期中）军事演习在内蒙古平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=−15x2+10x．经过________秒时间炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________米．微专题04 二次函数的最值问题通关专练 一、单选题1．（2023春·九年级课时练习）函数y=(x+1)2－2的最小值是（    ）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】D【分析】抛物线y=(x+1)2－2开口向上，有最小值，顶点坐标为(－1，－2)，顶点的纵坐标－2即为函数的最小值．【详解】解：根据二次函数的性质，当x=－1时，二次函数y=(x+1)2－2的最小值是－2．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把解析式配方成顶点式．2．（2023秋·浙江·九年级期中）如果二次函数y=x2−6x+8在x的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x的取值范围可以是（    ）A．−1≤x≤5 B．1≤x≤6 C．−2≤x≤4 D．−1≤x≤1【答案】D【分析】利用二次函数的增减性逐项判断即可得．【详解】y=x2−6x+8化为顶点式y=(x−3)2−1A、当−1≤x≤3时，y随x的增大而减小；当30 B．−b2a=1C．a+b+c<0 D．关于ax2+bx+c=−1的方程有两个不相等的实数根【答案】D【分析】A、利用二次函数开口方向，对称轴在y轴右侧，二次函数与y轴的交点即可判断，B、利用二次函数过x轴上的点（1，0），另一交点在（1，0）的右侧，对称轴一定比1大，C、利用二次函数过x轴上的点（1，0），代入得a+b+c=0即可判断，D、利用二次函数的最大值为1得4ac−b2=4a，关于ax2+bx+c=−1，Δ=b2−4ac=−4a>0即可．【详解】A．二次函数开口向下，a<0，对称轴在y轴右侧，－b2a>0，b>0，二次函数交y轴于负半轴，c<0，则A不正确，B． 二次函数的对称轴与x轴的交点应在（1，0）右侧，−b2a>1，则B不正确，C． 二次函数过（1，0）点，把（1，0的坐标代入解析式a+b+c=0，则C不正确，D． 二次函数的最大值为1，4ac−b24a=1，4ac−b2=4a，关于ax2+bx+c=−1，Δ=b2−4ac=−4a>0，ax2+bx+c=−1的方程有两个不相等的实数根，正确．故选择：D．【点睛】本题考查二次函数有关性质，掌握二次函数的性质．利用数形结合的思想抓住二次函数的开口方向，与y轴的交点，最值，与x轴的交点，对称轴的位置，是解决问题的关键．9．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）函数y=(x+1)2−3的最小值是（    ）A．1 B．−1 C．3 D．−3【答案】D【分析】利用二次函数的顶点式求函数的最小值即可．【详解】∵a=1>0 ∴ 当x=−1 时，y有最小值为-3故选：D．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握顶点式的有关性质是解题的关键．10．（2022春·江苏·九年级专题练习）二次函数y=ax2−2ax+b中，当−1≤x≤4时，−2≤y≤3，则b−a的值为（  ）A．−6 B．−6或7 C．3 D．3或−2【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据a的符号分类讨论，利用二次函数的最值即可得出结论．【详解】解：二次函数y=ax2−2ax+b的对称轴为直线x=−−2a2a=1当a＞0时，∵当−1≤x≤4时，−2≤y≤3，∴当x=1时，y最小=a－2a＋b=-a＋b=-2；当a＜0时，∵∵当−1≤x≤4时，−2≤y≤3，∴当x=1时，y最大=a－2a＋b=-a＋b=3；综上：b−a的值为3或−2故选D．【点睛】此题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数最值求法和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．11．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=−(x−1)2+2的最大值是 （    ）A．−2 B．2 C．−1 D．1【答案】B【分析】根据二次函数的性质进行判断．【详解】解：二次函数y=−(x−1)2+2的图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，图象有最高点，函数有最大值2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，熟悉相关性质是解题的关键．12．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）已知抛物线y=x2+2mx−4m，若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）A．m≥−4 B．00，∴当x=1时，y有最小值，最小值为-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．21．（2023·江苏泰州·统考一模）已知y=13(x−1)2+(x−3)2+(x−2)2，当x=______时，y的值最小．【答案】2【分析】将原式进行化简为二次函数形式，然后根据二次函数的性质求最值．【详解】解：y=13(x−1)2+(x−3)2+(x−2)2y=13x2−2x+1+x2−6x+9+x2−4x+4y=133x2−12x+14y=x2−4x+143∵a=1＞0∴当x=−b2a=−−42×1=2时，y有最小值为22−4×2+143=23故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的最值，掌握整式的混合运算顺序和计算法则及二次函数的性质，准确计算是解题关键．22．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是_____．【答案】-4【详解】分析：用配方法把二次函数y=x2+2x﹣3化成顶点式，根据二次函数的性质写出答案即可.详解：∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2-4,∴二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是-4.故答案为-4.点睛：利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图像与系数的关系，利用4ac−b24a 求出顶点纵坐标.23．（2023·全国·九年级统考假期作业）二次函数y=ax2+bx+ca≠0，当a>0时，在顶点处取得最小值为4ac−b24a.    ( )【答案】√【分析】根据二次函数图象性质可得,当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c有最低点，最低点坐标为(−b2a,4ac−b24a) ，当x=−b2a时，y取最小值，最小值是4ac−b24a.【详解】因为a>0，所以当x=−b2a时，y取最小值，最小值是4ac−b24a.故答案为: √.【点睛】本题主要考查二次函数图象性质，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.24．（2022秋·九年级单元测试）抛物线 y=−x2+bx+c 的最高点为 −1，3，则 b= ____，c= ____．【答案】 −2 2【分析】利用二次函数的对称轴和最值公式求解即可．【详解】解：∵二次函数y=−x2+bx+c的二次项系数−1＜0，∴该函数的图象的开口方向向下，∴二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点坐标−1，3就是该函数的顶点坐标，∴−1=b2，即b=−2①，3=−4c−b2−4，b2+4c−12=0②，由①②解得，b=−2，c=2；故答案为：−2，2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点坐标−1，3就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．25．（2023秋·北京·九年级北京四中校考期中）二次函数y=−2x2−4x+1的最大值为_______．【答案】3【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解．【详解】将解析式配方成顶点式为：y=−2x2−4x+1=−2(x+1)2+3．所以当x=−1时，函数有最大值3．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键．26．（2023秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）二次函数y=(x−2)2+1的最小值为___________．【答案】1．【分析】根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值.【详解】解：在二次函数y=x−22+1中，∵a=1>0，∴当x=2时，函数有最小值1；故答案为：1.【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出函数的最小值.27．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）二次函数y=−12x2+2x−1的最大值是______．【答案】1【分析】把二次函数配成顶点式即可求解．【详解】解：由y=−12x2+2x−1可得：y=−12x−22+1，∵−12<0，∴该二次函数的最大值为1；故答案为1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．28．（2023秋·辽宁大连·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系xoy中，开口向上的抛物线与y轴交于点A0,1，顶点B的坐标为2,−3．（1）求抛物线的解析式；（2）当t≤x≤t+2时，函数的最小值为−3，则t的取值范围是______．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2−4x+1；（2）0≤t≤2【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分三种情况：所给范围在对称轴左侧，右侧及包含对称轴，分别利用二次函数的性质讨论即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为2,−3，∴设抛物线的解析式为y=ax−22−3．∵抛物线与y轴交于点0,1，∴ 1=a0−22−3．解得a=1．∴ y=x−22−3．∴抛物线的解析式为y=x2−4x+1．（2）由顶点坐标可知抛物线的对称轴为x=2，当t≥2时，t≤x≤t+2位于对称轴右侧，y随着x的增大而增大，此时当x=t时，y=x2−4x+1取最小值，即y=t2−4t+1=−3，解得t=2；当t+2≤2时，即t≤0时，t≤x≤t+2位于对称轴左侧，y随着x的增大而减小，此时当x=t+2时，y=x2−4x+1取最小值，即y=t+22−4t+2+1=−3，解得t=0；当t<2t+2>2时，即0