人教版九年级数学上册重难考点专题04一元二次方程单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)

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专题04 一元二次方程单元过关（基础版） 考试范围：第二十一章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．（2022秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）一元二次方程x2－2x＝0的根的是（    ）A．2 B．0 C．0和2 D．12．（2023·天津河东·统考一模）方程22x+1x−3=0的两根分别为（    ）A．12和3 B．−12和3 C．12和−3 D．−12和−33．（2023·上海·九年级专题练习）把一元二次方程2x−12=x−5化为一般形式后，若二次项系数为4，则一次项的系数是（    ）A．−5 B．−3 C．4 D．64．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为x，则方程可以列为（    ）A．31+x=13 B．31+x2=13C．3+31+x2=13 D．3+31+x+31+x2=135．（2022秋·宁夏固原·九年级校考阶段练习）一元二次方程xx−2=x的根是(　　)A．0 B．2 C．3或0 D．0或-36．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个实数根是x=1，则m的值为（    ）A．1 B．−14 C．0 D．27．（2023秋·四川·九年级校考阶段练习）α，β是关于x的一元二次方程x2−x−6=0的两根，则1α+1β=（    ）．A．1 B．−1 C．−6 D．−168．（2023·安徽·九年级专题练习）秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x，那么所列方程正确的是（    ）A．1001+x2=196 B．1001+2x=196C．1961−x2=100 D．100+1001+x+1001+x2=1969．（2023秋·四川德阳·九年级校考期中）已知实数(x2−x)2−4x2−x−12=0，则代数式x2−x+1的值为(　　)A．−1 B．7 C．−1或7 D．以上全不正确10．（2023·湖北荆州·统考中考真题）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m,p※q,n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,3※4,5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1,x※5−2k,k=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ）A．k0元，万源黑鸡蛋每盒降价5a元，灯影牛肉数量在（1）问最多的数量下增加130a，万源黑鸡蛋数量在（1）问最少的数量下增加80a盒，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元多95a元，求a的值．25．（2023春·浙江·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 53 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．专题04 一元二次方程单元过关（基础版） 考试范围：第二十一章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．（2022秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）一元二次方程x2－2x＝0的根的是（    ）A．2 B．0 C．0和2 D．1【答案】C【详解】解：∵x2−2x=0∴xx−2=0 x1=0，x2=2故选：C2．（2023·天津河东·统考一模）方程22x+1x−3=0的两根分别为（    ）A．12和3 B．−12和3 C．12和−3 D．−12和−3【答案】B【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】∵22x+1x−3=0，∴2x+1=0，x−3=0，∴x1=−12，x2=3故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．（2023·上海·九年级专题练习）把一元二次方程2x−12=x−5化为一般形式后，若二次项系数为4，则一次项的系数是（    ）A．−5 B．−3 C．4 D．6【答案】A【分析】通过移项，把已知方程转化为一般形式，然后根据一次项系数的定义作出选择．【详解】解：由（2x-1）2=x-5以及二次项的系数为4，得到：4x2-5x+6=0．所以一次项的系数是-5．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为x，则方程可以列为（    ）A．31+x=13 B．31+x2=13C．3+31+x2=13 D．3+31+x+31+x2=13【答案】D【分析】根据题意可知12月的第二周营业收入为31+x，12月的第三周营业收入为31+x2，然后问题可求解．【详解】解：由题意可列方程为3+31+x+31+x2=13；故选D．【点睛】本题主要考查增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键．5．（2022秋·宁夏固原·九年级校考阶段练习）一元二次方程xx−2=x的根是(　　)A．0 B．2 C．3或0 D．0或-3【答案】C【分析】将原式进行移项去括号合并同类项后，进行因式分解即可求得方程的根；【详解】解：将原式移项得，x(x-2)-x=0，去括号得，x2−2x−x=0，即x2−3x=0，左边分解因式得，x(x-3)=0，即x=0或x-3=0，解得x=0或x=3，故选C.【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键.6．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个实数根是x=1，则m的值为（    ）A．1 B．−14 C．0 D．2【答案】A【分析】根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x2−2x+m=0的一个实数根是x=1，∴12−2×1+m=0，解得m=1，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．7．（2023秋·四川·九年级校考阶段练习）α，β是关于x的一元二次方程x2−x−6=0的两根，则1α+1β=（    ）．A．1 B．−1 C．−6 D．−16【答案】D【分析】先求出方程的根α、β，代入到1α+1β计算即可．【详解】x2−x−6=x−3x+2=0，解得α=3，β=−2，（或α=−2，β=3，计算结果相等）代入到∴1α+1β=13+1−2=−16．故选：D．【点睛】此题考查一元二次方程根与系数关系，但由于此方程的根易于解得，因此先求出根，再把根代入到所求值的代数式中也可．8．（2023·安徽·九年级专题练习）秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x，那么所列方程正确的是（    ）A．1001+x2=196 B．1001+2x=196C．1961−x2=100 D．100+1001+x+1001+x2=196【答案】A【分析】设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为x，根据第一季度及第三季度的利润，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为x，根据题意得：100（1＋x）2＝196，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出题目中的等量关系式：第一季度的利润×（1+平均增长率）2=第三季度的利润．9．（2023秋·四川德阳·九年级校考期中）已知实数(x2−x)2−4x2−x−12=0，则代数式x2−x+1的值为(　　)A．−1 B．7 C．−1或7 D．以上全不正确【答案】B【详解】令y=x2−x ，则原式变为y2−4y−12=0 ，分解因式得y−6y+2=0 ，解得y1=6，y2=−2 ，则有x2−x=6 或x2−x=−2 ，在方程x2−x+2=0中，Δ=−12−4×1×2=−70元，万源黑鸡蛋每盒降价5a元，灯影牛肉数量在（1）问最多的数量下增加130a，万源黑鸡蛋数量在（1）问最少的数量下增加80a盒，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元多95a元，列出方程求解即可．【详解】解：（1）设至少卖出万源黑鸡蛋x盒，则卖出灯影牛肉2000−x听，由题意得：50x+122000−x≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出万源黑鸡蛋800盒；（2）∵（1）中最少卖出万源黑鸡蛋800盒，∴灯影牛肉卖出的听数为：2000−800=1200（听）．由题意得：12−a1200+130a+50−5a800+80a=54400+95a化简得530a2−265a=0解得a1=0（舍），a2=12，∴a的值为12．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列式求解．25．（2023春·浙江·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 53 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)4(2)当 t=9−35 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形【分析】（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=12×6×8=24，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=12S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列43 t＝8﹣2t，解方程即可．【详解】（1）解：当t=3时，AD=5，AP=3，∵PD⊥AC ，∴PD=4；（2）解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， AD=53t，∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t， 又∵PD⊥AC，∴PD=AD2−AP2=43t，∵∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=12×6×8=24，∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=12 S△ABC，∴24−12⋅2t⋅(6−t)−12⋅t⋅43t=12 ，解得 t=9±35 ，t=9+35 （不合题意，应舍去），∴当 t=9−35 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；（3）解：存在 ，由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，即： 43 t＝8﹣2t解得t＝2.4． 答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题