2025届北京市一零一中学数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】

这是一份2025届北京市一零一中学数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
2、（4分）某中学书法兴趣小组10名成员的年龄情况如下表，则该小组成员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．16，15C．15，17D．14，15
3、（4分）剪纸艺术是中国传统的民间工艺．下列剪纸的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3:2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
5、（4分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
6、（4分）在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为
A．B．C．D．
7、（4分）下列二次根式中，最简二次根式为
A．B．C．D．
8、（4分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成情，得到各人的射击成绩方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知反比例函数的图像过点、，则__________．
10、（4分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
11、（4分）若关于的方程有实数根，则的值可以是_____（写出一个即可）
12、（4分）如图，在长20米、宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路，则草地的面积是______平方米．
13、（4分）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，
则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2＝A1B12，
得方程______，解方程，得x1＝______，x2＝______，∴点B将向外移动______米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
①（问题一）在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
②（问题二）在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．
15、（8分）（问题原型）在图①的矩形中，点、、、分别在、、、上，若，则称四边形为矩形的反射四边形；
（操作与探索）在图②，图③的矩形中，，，点、分别在、边的格点上，试利用正方形网格分别在图②、图③上作矩形的反射四边形；
（发现与应用）由前面的操作可以发现，一个矩形有不同的反射四边形，且这些反射四边形的周长都相等.若在图①的矩形中，，，则其反射四边形的周长为______.
16、（8分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，BH和AF有何数量关系，并说明理由；
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由．
17、（10分）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是BO，CO的中点．
（1）填空：四边形DEFG是 四边形．
（2）若四边形DEFG是矩形，求证：AB＝AC．
（3）若四边形DEFG是边长为2的正方形，试求△ABC的周长．
18、（10分）如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与.
(1)求证：.
(2)求证：.
(3)如图2，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．
20、（4分）如图,矩形的对角线相交于点,过点作交于点,若,的面积为6,则___．
21、（4分）如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.
22、（4分）已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，且∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于P，∠OPC和∠OCP角平分线交于H，∠H=117.5°，则∠A=________
23、（4分）在中，，则___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在数学拓展课上，老师让同学们探讨特殊四边形的做法：
如图，先作线段，作射线（为锐角），过作射线平行于，再作和的平分线分别交和于点和，连接，则四边形为菱形；
（1）你认为该作法正确吗？请说明理由.
（2）若，并且四边形的面积为，在上取一点，使得.请问图中存在这样的点吗？若存在，则求出的长；若不存在，请说明理由.
25、（10分）先化简， 再求值．（其中 p是满足－3＜p＜3 的整数）．
26、（12分）如图，把两个大小相同的含有45º角的直角三角板按图中方式放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个三角板的直角顶点重合于点A，且B，C，D在同一条直线上，若AB＝2，求CD的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合，故此选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、A
【解析】
众数：出现次数最多的数；中位数：从小到大排列，中间位置的数；
【详解】
众数：出现次数最多的数；年龄为15岁的人数最多，故众数为15；
中位数：从小到大排列，中间位置的数；14,14,14,15,15,15,15,16,16,17；
中间位置数字为15,15，所以中位数是（15+15）÷2=15
故选A
本题考查了众数和中位数，属于基本题，熟练掌握相关概念是解答本题的关键.
3、D
【解析】
旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是中心对称图形，不合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、B
【解析】
试题解析：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°-36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°-2×54°=72°
所以∠BDE=180°-∠DOC-∠DEO=18°
故选B．
5、A
【解析】
【分析】根据理解中心对称图形和轴对称图形定义，可以判断.
【详解】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形是中心对称图形，也是轴对称图形；菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．只有选项A符合条件.
故选A
【点睛】本题考核知识点：中心对称图形和轴对称图形.解题关键点：理解中心对称图形和轴对称图形定义.
6、C
【解析】
由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【详解】
如图所示，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故选C．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．
7、C
【解析】
化简得出结果，根据最简二次根式的概念即可做出判断．
【详解】
解：、，故不是最简二次根式；
、，故不是最简二次根式；
、是最简二次根式；
、，故不是最简二次根式。
故选：．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
8、D
【解析】
根据方差的性质即可判断.
【详解】
∵丁的方差最小，故最稳定，
选D.
此题主要考查方差的应用，解题的关键是熟知方差的性质.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据反比例函数的增减性，结合点A和点B的横坐标的大小，即可得到答案．
【详解】
∵m2≥0，
∴m2+2＞m2+1，
∵反比例函数y=，k＞0，
∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
10、1
【解析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=12，解得：x=1．
故答案为：1．
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
11、4
【解析】
根据一元二次方程根的情况结合根的判别式得出关于的关系式，然后进一步求解即可.
【详解】
∵关于的方程有实数根，
∴，
∴，
∴要使原方程有实数根，可取的值为4，
故答案为：4.
本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
12、144米1．
【解析】
将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，分别求出长方形的长和宽，再用长和宽相乘即可．
【详解】
解：将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，
长方形的长为10-1=18（米），宽为10-1=8（米），
则草地面积为18×8=144米1．
故答案为：144米1．
本题考查了平移在生活中的运用，将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形是解题的关键．
13、．
【解析】
解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；
故答案为．
本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) (x＋0.7)2＋22＝2.52 ，0.8，－2.2(舍去)，0.8 ；（2）【问题一】不会是0.9米，理由见解析；【问题二】有可能，理由见解析.
【解析】
（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可；
（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意．
【详解】
(1) (x＋0.7)2＋22＝2.52, 0.8 , －2.2(舍去), 0.8;
（2） 【问题一】不会是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，
∵A1C2＋B1C2≠A1B12，
∴该题的答案不会是0.9米;
【问题二】
有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)．
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.
本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．
15、操作与探索:见解析：发现与应用：10.
【解析】
（1）根据网格作出相等的角即可得到反射四边形；
（2）延长GH交PN的延长线与点A，证明△FPE≌△FPB，根据全等三角形的性质得到AB=2NP,再证明GA=GB,过点G作GK⊥NP于K，根据等腰三角形的性质求出KB=AB=4，再利用勾股定理求出GB的长，即可求出四边形EFGH的周长.
【详解】
（1）作图如下：
（2）延长GH交PN的延长线与点A，过点G作GK⊥NP于K，
∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5，
又PF=PF,∠FPE=∠FPB，
∴△FPE≌△FPB，
∴EF=BF,EP=PB,
同理AH=EH,NA=EN,
∴AB=2NP=8，
∵∠B=90°-∠5=90°-∠1，∠A=90°-∠3，
∴∠A=∠B，∴GA=GB,
则KB=AB=4，∴GB=
∴四边形EFGH的周长为2GB=10.
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
16、（1）BH=AF，见解析；（2）BH=AF，见解析.
【解析】
(1)根据正方形的性质可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
(2)根据正方形的性质得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
(1)BH=AF，理由如下：
在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
在△BEH和△AEF中，
，
∴△BEH≌△AEF(SAS)，
∴BH=AF；
(2)BH=AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，
即∠BEH=∠AEF，
在△BEH与△AEF中，
，
∴△BEH≌△AEF(SAS)，
∴BH=AF.
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，准确找到全等三角形是解题的关键．
17、（1）平行；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）根据三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，FG∥BC，FG=BC，那么DE∥FG，DE=FG，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形DEFG是平行四边形；
（2）先由矩形的性质得出OD=OE=OF=OG．再根据重心的性质得到OB=2OD，OC=2OE，等量代换得出OB=OC．利用SAS证明△BOE≌△COD，得出BE=CD，然后根据中点的定义即可证明AB=AC；
（3）连接AO并延长交BC于点M，先由三角形中线的性质得出M为BC的中点，由（2）得出AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC，再由三角形中位线定理及三角形重心的性质得出BC=2FG=1，AM=AO=6，由勾股定理求出AB=2，进而得到△ABC的周长．
【详解】
（1）解：∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴FG∥BC，FG=BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
故答案为平行；
（2）证明：∵四边形DEFG是矩形，
∴OD=OE=OF=OG．
∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴OB=2OD，OC=2OE，
∴OB=OC．
在△BOE与△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（SAS），
∴BE=CD，
∵E、D分别是AB、AC中点，
∴AB=AC；
（3）解：连接AO并延长交BC于点M．
∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴M为BC的中点，
∵四边形DEFG是正方形，
由（2）可知，AB=AC，
∴AM⊥BC．
∵正方形DEFG边长为2，F，G分别是BO，CO的中点，
∴BC=2FG=1，BM=MC=BC=2，AO=2EF=1，
∴AM=AO=6，
∴AB===2，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=1+1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，矩形的性质，三角形重心的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，其中三角形的中位线性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
18、 (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)△CEF是等腰直角三角形．
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EF=DF=DG,CF=DF=DG,从而得到结论；
（2）根据等边对等角可得再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证；
（3）延长交于，先求出,再根据两直线平行，内错角相等，求出,然后利用ASA证明和全等，根据全等三角形对应边相等，可得EG=DH,EF=FH,再求出CE=CH,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可.
【详解】
解：(1)证明：，点是的中点，
，
∵正方形中，，点是的中点，
，
；
(2)证明：，
，
，
在正方形中，，
，
；
(3)解：是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长交于，
∵，
，
，
，
∵点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
(等腰三角形三线合一)，，
∴△CEF是等腰直角三角形．
本题综合考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，在证明过程中，分解出基础图形是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.
【详解】
如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，
∴BC==8，
CE==6，
∴BE=BC-CE=2（米），
故答案为2.
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
20、
【解析】
首先连接EC，由题意可得OE为对角线AC的垂直平分线，可得CE=AE，S△AOE=S△COE=2，继而可得AE•BC=1，则可求得AE的长，即EC的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】
解：连接EC.
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO，且OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC
∴CE=AE，S△AOE=S△COE=2，
∴S△AEC=2S△AOE=1．
∴AE•BC=1，
又∵BC=4，
∴AE=2，
∴EC=2．
∴BE=
故答案为：
本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，正确做出图形的辅助线是解题的关键．
21、
【解析】
先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积=S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
22、70°
【解析】
根据三角形内角和定理，可得∠HCP+∠HPC=62.5°，由角平分线的性质，得∠OCP+∠OPC=125°，由三角形外角性质，得到∠BOC的度数，然后∠OBC+OCB=55°，然后可以计算得到∠A的度数.
【详解】
解：∵∠H=117.5°，
∴∠HCP+∠HPC=180°-117.5°=62.5°，
∵CH平分∠OCP，PH平分∠OPC，
∴∠OCP+∠OPC=2（∠HCP+∠HPC）= 125°，
∴∠BOC=125°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=110°，
∴∠A=180°-110°=70°；
故答案为：70°.
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用性质求出有关的角度.
23、．
【解析】
根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°；再根据∠A+∠C=120°计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数.
【详解】
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
本题是一道有关平行四边形的题目，掌握平行四边形的性质是解题关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）作法正确（2）或
【解析】
（1）根据作法可以推出，又因为，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，因此作法正确；
（2）作，由面积公式可求出,由菱形的性质可得AD=AB=4，用勾股定理可得，由锐角三角函数得，所以是正三角形.再根据菱形对角线互相垂直的性质，利用勾股定理解得或.
【详解】
（1）作法正确.理由如下：
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形.
故作法正确.
（2）存在.
如图，作
∵，
∴ 且
∴由勾股定理得
∴由锐角三角函数得
∴是正三角形
∴
∵ ∴
∴或
本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理和锐角三角函数，是一个四边形的综合题.
25、,-.
【解析】
本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．在-3【详解】
= .
在−3根据题意,这里p仅能取−1,此时原式=-.
故答案为：-.
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则进行化简.
26、．
【解析】
过点A作AF⊥BC于F，先利用等腰直角三角形的性质求出BC=4，BF=AF=CF=2，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】
如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=4，BF=AF=CF=BC=2，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=4，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=，
∴CD=DF-CF=，
故答案为：．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
年龄/岁
14
15
16
17
人数
3
4
2
1
统计量
甲
乙
丙
丁
方差
0.60
0.62
0.50
0.44