2025届北京市海淀区第二十中学数学九上开学教学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份2025届北京市海淀区第二十中学数学九上开学教学质量检测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
2、（4分）如图，矩形ABCD中， E是AD的中点，将沿直线BE折叠后得到，延长BG交CD于点F若， 则FD的长为( )
A．3B．C．D．
3、（4分）若分式的值为零，则x等于（ ）
A．0B．2C．±2D．﹣2
4、（4分）化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
5、（4分）如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA′B′ 的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为（ ）
A．125°B．70°C．55°D．15°
6、（4分）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对
7、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，联结AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．FC：FB=1：3B．CE：CD=1：3C．CE：AB=1：4D．AE：AF=1：1．
8、（4分）若，，，是直线上的两点，当时，有，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知、、是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是________________．
10、（4分）如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件：_____，使得△ABC≌△DCB．
11、（4分）一组数据：24，58，45，36，75，48，80，则这组数据的中位数是_____．
12、（4分）如图，在中，，，，点为的中点，在边上取点，使．绕点旋转，得到（点、分别与点、对应），当时，则___________．
13、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，那么AB＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
15、（8分）已知直线y=kx+b（k≠0）过点（1，2）
（1）填空：b= （用含k代数式表示）；
（2）将此直线向下平移2个单位，设平移后的直线交x于点A，交y于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k值；
（3）当1≤x≤3，函数值y总大于零，求k取值范围．
16、（8分）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上，试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形
（1）以A为顶点的平行四边形；
（2）以A为对角线交点的平行四边形．
17、（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是与的几组对应值，则 .
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）当时，随的增大而 ；当时，的最小值为 .
18、（10分）如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.

（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.
（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.
（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）要使有意义，则x的取值范围是_________.
20、（4分）若关于x的一元二次方程x22x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是______ ．
21、（4分）如图，OP平分∠AOB，PE⊥AO于点E，PF⊥BO于点F，且PE=6cm，则点P到OB的距离是___cm．
22、（4分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.
23、（4分）已知直线经过点，则直线的图象不经过第__________象限．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
25、（10分）（1）计算：
（2）若，，求的值
26、（12分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求的取值范围；
（2）若，直线经过点，与轴交于点，且，求抛物线的解析式；
（3）若点在点左边，在第一象限内，（2）中所得到抛物线上是否存在一点，使直线分的面积为两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．
【详解】
要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，
即中位数．
故选B.
2、C
【解析】
根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，102+（6-x）2=（6+x）2，
解得x=．
故选C．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．
3、D
【解析】
分式的值是1的条件是：分子为1，分母不为1．
【详解】
∵x2-4=1，
∴x=±2，
当x=2时，2x-4=1，∴x=2不满足条件．
当x=-2时，2x-4≠1，∴当x=-2时分式的值是1．
故选：D．
本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4、B
【解析】
根据二次根式的性质可得=∣∣，然后去绝对值符号即可．
【详解】
解：=∣∣=，
故选：B．
本题主要考查二次根式的化简，解此题的关键在于熟记二次根式的性质．
5、B
【解析】
据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等可得，即可得到旋转角的度数．
【详解】
，
，
又，
中，，
旋转角的度数为．
故选：．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6、C
【解析】
设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C
7、C
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC
∴△ADE∽△FCE
∴AD:FC=AE:FE=DE:CE
∵AD=3FC
∴AD:FC=3:1
∴FC:FB=1:4，故A错误；
∴CE：CD=1：4，故B错误；
∴CE:AB=CE:CD=1:4，故C正确；
∴AE：AF=3:4，故D错误.
故选C．
8、B
【解析】
x1＜x2时，有y1＞y2，说明y随x的最大而减小，即可求解．
【详解】
时，有，说明随的最大而减小，
则，即，
故选．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，主要分析y随x的变化情况即可．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y2【解析】
解：反比例函数当x<0时为减函数且y<0，由x1当x>0时，y>0，由x3>0，所以y3>0
综上所述可得y2故答案为：y210、∠ABC＝∠DCB．
【解析】
有一个直角∠A＝∠D＝90°相等，有一个公共边相等，可以加角，还可以加边，都行，这里我们选择加角∠ABC＝∠DCB
【详解】
解：因为∠A＝∠D＝90°，BC=CB，∠ABC＝∠DCB，所以△ABC≌△DCB，故条件成立
本题主要考查三角形全等
11、1
【解析】
把给出的此组数据中的数按一定的顺序排列，由于数据个数是7，7是奇数，所以处于最中间的数，就是此组数据的中位数；
【详解】
按从小到大的顺序排列为：24 36 45 1 58 75 80；
所以此组数据的中位数是1．
此题主要考查了中位数的意义与求解方法．
12、2或4
【解析】
根据题意分两种情况，分别画出图形，证明△是等边三角形，根据直角三角形的性质求出OD，即可得到答案.
【详解】
若绕点D顺时针旋转△AED得到△，连接,
∵，，
∴∠A=30°，
∵,
∴AB=4，
∵点D是AB的中点，
∴AD=2，
∵,
∴AD==2，∠=60°，
∴△是等边三角形，
∴=，∠D=60°，且∠EAD=30°，
∴AE平分∠D，
∴AE是的垂直平分线，
∴OD=AD=，
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴DE，
∴2；
若绕点D顺时针旋转△AED得到△，
同理可求=4，
故答案为：2或4.
此题考查旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，等边三角形的判定及性质，三角函数.
13、1
【解析】
根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴＝，
∵BC＝6，
∴AB＝1．
故答案为1．
本题主要考查含30度角的直角三角形的知识点，此题较简单，需要同学们熟记直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°
【解析】
（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．
15、（1）2﹣k；（2）k=±2；（3）当k＞1或﹣1＜k＜1时，函数值y总大于1．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b（k≠1）过点（1，2），
∴k+b=2，
∴b=2﹣k．
故答案为2﹣k；
（2）由（1）可得y=kx+2﹣k，
向下平移2个单位所得直线的解析式为y=kx﹣k，
令x=1，得y=﹣k，令y=1，得x=1，
∴A（1，1），B（1，﹣k），
∵C（1+k，1），
∴AC=|1+k﹣1|=|k|，
∴S△ABC=AC•|yB|=|k|•|﹣k|=k2，
∴k2=2，解得k=±2；
（3）依题意，当自变量x在1≤x≤3变化时，函数值y的最小值大于1．
分两种情况：
ⅰ）当k＞1时，y随x增大而增大，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为k+2﹣k=2＞1，
∴当 k＞1时，函数值总大于1；
ⅱ）当k＜1时，y随x增大而减小，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为3k+2﹣k=2k+2，
由2k+2＞1得k＞﹣1，
∴﹣1＜k＜1．
综上，当k＞1或﹣1＜k＜1时，函数值y总大于1．
16、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）直接利用平行四边形的性质分析得出答案；
（2）直接利用菱形的性质得出符合题意的答案．
【详解】
解：（1）如图所示：平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示：平行四边形DEFM即为所求．
此题考查应用设计与作图，正确应用网格分析是解题关键．
17、（1）；（2）详见解析；（3）增大；
【解析】
（1）把x=代入函数解析式即可得到结论；
（2）根据描出的点，画出该函数的图象即可；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【详解】
解：（1）把x=代入y=x3得，y=；
故答案为：；
（2）如图所示:
（3）根据图象得，当x＜0时，y随x的增大而增大；
当时，的最小值为-1．
故答案为：增大；.
本题考查了函数的图象与性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．
18、（1）见解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.
【解析】
（1）由菱形的性质可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行线的性质可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得结论；
（2）由矩形的性质和菱形的性质可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的长；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求d的值；点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H；若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．
【详解】
（1）∵四边形APEF是菱形
∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，
∵四边形PBCD是菱形
∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP
∴∠APE＝∠PDC
∴∠FPE＝∠BDP
∴PF∥BD，且AP∥EF
∴四边形四边形FGBP是平形四边形；
（2）若四边形DFPG恰为矩形
∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，
∴PD＝2EF
∵四边形APEF是菱形，四边形PBCD是菱形
∴AP＝EF，PB＝PD
∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10
∴FG=PB＝.
（3）如图，点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10
∴AP+PB＝5EG＝10
∴EG＝2，
∴AP＝4，PB＝6＝BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3
∴AH＝13
∴AC＝＝14
若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10，
∴3EG＝10
∴EG＝
∴BP＝BC＝
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝
∴AH＝
∴AC＝
综上所述：d＝14或.
本题考查菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的计算.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、.
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可解答.
【详解】
∵有意义，
∴2x+5≥0，
解得，.
故答案为：.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义被开方数为非负数是解决问题的关键.
20、m≤1
【解析】
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21、1
【解析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得点P到OB的距离等于点P到OA的距离，即点P到OB的距离等于PE的长度．
【详解】
解： ∵OP平分∠AOB，PE⊥AO于点E，PF⊥BO于点F，
∴PE=PF=1cm
故答案为：1．
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
22、1．
【解析】
∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝1
故答案为1
23、四
【解析】
根据题意求出b,再求出直线即可.
【详解】
∵直线经过点，
∴b=3
∴
∴不经过第四象限.
本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=200x+74000（10≤x≤30）
（2）有三种分配方案，
方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；
方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；
方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；
（3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高．
【解析】
（1）根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题；
（3）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
【详解】
解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，
∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）；
（2）由题意可得，
200x+74000≥79600，得x≥28，
∴28≤x≤30，x为整数，
∴x=28、29、30，
∴有三种分配方案，
方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；
方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；
方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；
（3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高，
理由：∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，
∴当x=30时，y取得最大值，此时y=80000，
∴派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高．
本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和不等式的性质解答．
25、（1）1；（2）.
【解析】
（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简及零指数幂的性质依次计算后，再合并即可求解；（2）先计算出a+b=-1，ab=，再把化为，最后整体代入求值即可.
【详解】
（1）
=
=1；
（2）∵，，
∴a+b=+（）=-1，ab=（）×（）=，
∴=.
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解决问题的关键.
26、（1）m≠-1；（1）y=-x1+5x-6；（3）点P（，-）或（1，0）．
【解析】
（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可据此求出m的取值范围．
（1）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×BD=5，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=（m-4）1+11（m-1）=m1+4m+4=（m+1）1＞0，
∴m≠-1．
（1）∵y=-x1-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（1-m，0）；
则：D（0，-1），
则有：AD×BD=，
解得：m=1（舍去）或-1，
∴m=-1，
抛物线的表达式为：y=-x1+5x-6①；
（3）存在，理由：
如图所示，点C（0，-6），点D（0，-1），点A（1，0），
直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，
即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），
将点H、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线HA的表达式为：y=x-1或y=x-5②，
联立①②并解得：x=或1，
故点P（，-）或（1，0）．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
…
…
…
…
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200