北师大版八年级数学上册基础知识专项讲练 专题4.9 待定系数法求一次函数的解析式（知识讲解）（附答案）

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专题4.9 待定系数法求一次函数的解析式（知识讲解）【学习目标】理解待定系数法的含义；理解并掌握待定系数法的解题步骤；【要点梳理】要点一、待定系数法的内涵待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。要点二、待定系数法求一次函数的解析式第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）;第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组;第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值;第四步（写）：写出该函数的解析式。 【典型例题】1．已知一次函数，当时，，当时，．(1)求该一次函数的解析式；(2)判断点M（2，1）是否在该一次函数的图象上．【答案】(1) (2) 在【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）求出当x=2时的函数值，即可求解．解：（1）∵当时，，当时，，∴，解得：，∴该一次函数的解析式为； （2）当x=2时，y=2×2-3=1，∴点M（2，1）在该一次函数的图象上．【点拨】本题主要考查了求一次函数的解析式，求函数值，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】已知，如图，一次函数y=kx+b的图像分别与x轴，y轴相交于点A（3，0）和点B（0，-4）．求一次函数y=kx+b的解析式；点M在y轴上，且△ABM的面积为7.5，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)(2)点M的坐标为（0，1）或（0，-9）．【分析】（1）把点A（3，0）和点B（0，-4）代入y=kx+b得方程组，解方程组即可得到结论；（2）设M（0，m），根据三角形的面积公式列方程，即可得到结论．解：（1）∵一次函数y=kx+b的图像分别与x轴，y轴相交于点A（3，0）和点B（0，-4）．∴，∴，∴一次函数的解析式为y=x-4；解：设M（0，m），∵△ABM的面积为7.5，∴|m+4|×3=7.5，∴m+4=±5，∴m=1或m=-9，∴点M的坐标为（0，1）或（0，-9）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．【变式2】已知一次函数的图象经过两点A（4，9），B（6，1）．求这个一次函数的表达式；当时，求y的值．【答案】(1) (2) 17【分析】（1）设出函数解析式为y=kx+b，再将点A（4，9），B（6，1）代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式；（2）将代入中求出y的值即可．（1）解：设一次函数的表达式为，依题意得 ，解得 ，则所求一次函数的表达式为；（2）解：当时，．【点拨】本题考查待定系数法求函数表达式以及已知自变量求函数值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．2．如图，在直角坐标系xOy中，直线l过和两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点．求直线l的函数解析式．若点C在x轴上，且的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 或【分析】（1）直接利用待定系数法求解；（2）表示出点C的坐标，根据的面积为6，求出线段OC的长，分类讨论即可得出结果．（1）解：设直线l的函数解析式为．直线l过和两点，解得直线l的函数解析式为；点C在x轴上，设 ，当时， ，，的面积为6，，点C的坐标为或．【点拨】本题考查一次函数，点坐标的求法，熟练掌握待定系数法，灵活运用直角坐标系中的面积计算是解题的关键，分类讨论C点的坐标是易错点．举一反三：【变式1】已知某一次函数的图象经过点，，三点，求a的值．【答案】【分析】根据点A（0，2），B（1，3）的坐标求出函数解析式，再将C（a，1）代入解析式求出a的值．解：设一次函数的解析式为，将点，的坐标分别代入解析式得：，解得，∴函数解析式为， 将的坐标代入解析式得：，解得．【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟悉待定系数法是解题的关键．【变式2】已知一次函数y=kx＋b的图像过点A(m，3)和B(m，-3)，且m、n满足 +=0．(1 )填空m=_____，n=_____(2) 求一次函数y=kx+b的解析式．【答案】(1)2，(2)【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性可计算得m和n的值；（2）用待定系数法，将A和B点的坐标带入到一次函数式子即可求得．（1）解：由题意可得，，且+=0，则m-2=0，n+1=0，∴m=2，n=-1；（2）解：由题意可得，将A和B带入到解析式里，得，解得．所以该一次函数的解析式为．【点拨】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，待定系数法求解；解题的关键是用待定系数法求解．