北师大版八年级数学上册基础知识专项讲练 专题4.7 一次函数（知识讲解）（附答案）

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专题4.7 一次函数（知识讲解）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2.根据一次函数的条件列出解析式。【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点二、一次函数和正比例函数的关系当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点三、一次函数的表达式求解一次函数表达式时，应结合生产和生活实际，求解一次函数表达式。【典型例题】类型一、一次函数的识别1．下列式子中，表示是的一次函数的是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断某函数是一次函数，只要符合y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)即可．解：A. ，不是一次函数，故不符合题意；B. ，不是一次函数，故不符合题意；C. ，是一次函数，故符合题意；D. ，不是一次函数，故不符合题意.故选：C【点拨】本题考查了一次函数的判断.掌握判断某函数是一次函数，只要符合y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)是解题的关键.举一反三：【变式1】下列一次函数中，常数项是的是（        ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的常数项定义即可解答.解：A. 的常数项是-3，故不符合题意；B. 的常数项是3，故符合题意；C. 的常数项是0，故不符合题意；D. 的常数项是0，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查了一次函数的常数项定义，掌握常数项连同它的符号是解题的关键.【变式2】下列说法不正确的是（       ）A．正比例函数是一次函数的特殊形式 B．一次函数不一定是正比例函数C．是一次函数 D．的图像经过第一、三象限【答案】C【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件(k、b为常数，k≠0)即可判定选项A、B、C；根据正比例函数的性质判定选项D，由此即可解答.解：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0．当k≠0，b=0时，则成为正比例函数y=kx；由此可得选项A、B正确，选项C错误；根据正比例函数的性质可得的图像经过第一、三象限，选项D正确.故选C.【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．类型二、据一次函数的定义求参数2．若关于的函数是一次函数，则=______．【答案】0、【分析】根据一次函数的定义可知，时，关于的函数是一次函数来求解．解：∵关于的函数是一次函数，∴当时，，符合题意；当时，，，符合题意；所以或．故答案为：0、．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解答关键．举一反三：【变式1】函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+2是一次函数，那么m的值为___．【答案】0【分析】根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式进行求解即可．解：由题意得，|m-1|=1且m-2≠0，解得：m=2或m=0且m≠2，∴m=0．故答案为：0．【点拨】本题主要考查了一次函数，一次函数y=kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式2】若y＝（m﹣2）是一次函数函数，则其解析式为_____．【答案】y＝﹣4x+5．【分析】根据一次函数的定义解答即可．解：∵y=（m-2）xm2−3+5是一次函数函数，∴m-2≠0，且m2-3=1，解得：m=-2，∴y=-4x+5，故答案为y=-4x+5．【点拨】此题考查待定系数法求一次函数解析式，关键是根据一次函数的定义得出m的值．类型三、求一次函数自变量或函数值3.若与x成正比例，时，，求y与x之间的函数关系式，并求出时x的值．【答案】，【分析】设，代入x=2，y=8，即可求得k的值，再代入到中，即可得到函数关系式，将y=－4代入求得的y与x之间的函数关系式中，即可求得x的值．解：∵y－2与x成正比例，∴设，代入x=2，y=8，得：，∴，将代入中，∴y与x之间的函数关系式为；将y=－4代入y与x之间的函数关系式为得：，∴．【点拨】本题主要考查一次函数的相关知识，难度不大，熟练掌握正比例解析式是解题关键．举一反三：【变式1】已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？【答案】一次函数，【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再把a和b的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可．解：∵，∴，，∴， ∴函数是一次函数，当x时，．【点拨】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式2】已知点和都在直线（为常数）上，求的值．【答案】2【分析】将代入求出k，再将代入中即可求解．解：将代入中，得：．再将代入中，得：．【点拨】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．类型四、一次函数表达式4．如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；（2）当时，求的值．【答案】（1），是的一次函数；（2）140【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．解：（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距100km∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km∴y=100+80x∴y是x的一次函数；（2）当时，得：y=100+80×0.5=140．【点拨】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．举一反三：【变式1】已知与成正比例，且时，．（1）求与的函数关系式；   （2）当时，求的值；（3）将所得函数图象平移，使它过点（2， －1）．求平移后直线的解析式．【答案】（1）y=2x+3；（2）2；（3）y=2x-5【分析】(1)根据题意设y与x的关系式为y-3=kx（k≠0）；然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)把代入一次函数解析式可求得；(3)因为函数图象平移，所以k不变，设平移后直线的解析式为y=2x+b，把点(2，-1)代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式．解：(1)∵y-3与x成正比例，∴设y-3=kx(k≠0)，把x=2时，y=7代入，得7-3=2k，k=2；∴y与x的函数关系式为：y=2x+3，故答案为：y=2x+3；(2)当时代入，解得：，故答案为：2；(3)∵函数图像平移，∴k不变，设平移后的函数解析式为：y=2x+b，代入点(2,-1)，∴-1=2×2+b，解得b=-5，故平移后的函数解析式为：y=2x-5，故答案为：y=2x-5．【点拨】本题要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．【变式2】将长为、宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为．（1）求张白纸黏合的长度；（2）设张白纸黏合后的总长为，写出与的函数关系式；（标明自变量的取值范围）（3）用这些白纸黏合的长度能否为，并说明理由．【答案】（1）张白纸黏合的长度为；（2）（x≥1，且x为整数）；（3）能，理由见分析．【分析】（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=8cm，所以总长就可得到；（2）x张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm，所以总长可以表示出来；（3）解当y=362时得到的方程，若x为自变量取值范围内的值则能，反之则不能．解：（1）；答：张白纸黏合的长度为；（2）（x≥1，且x为整数）；（3）能，当y=362时，得到：36x+2=362，解得x=10．【点拨】考查了函数关系式和函数值的应用，解题关键是能根据题意列出函数关系式．