北师大版八年级数学上册基础知识专项讲练 专题4.6 正比例函数的图象与性质（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题4.6 正比例函数的图象与性质（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列函数中，属于正比例函数的是（       ）A． B． C． D．2．若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（       ）A． B．2 C． D．33．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜04．是点关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为（       ）A． B． C． D．5．如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①；②；③，则、、的大小关系是（       ）.A． B． C． D．6．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y＝﹣x图象上的两个点，则y1、y2的大小关系是（　　）A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定7．下列关于函数的描述，正确的是（       ）A．无论x取何值，y的值都小于0 B．图象经过第一、三象限C．y的值随x值的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大8．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下列函数图象近似地刻画，这个图象是（       ）A． B．C． D．9．如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（     ）A． B．C．或 D．或10．如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（       ）A． B． C． D．二、填空题11．若函数是关于的正比例函数，则常数m的值是__________．12．若函数y=（m+1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限．13．已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______．14．当﹣1≤x≤3时，不等式mx+4＞0始终成立，则m的取值范围是______．15．如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 _____．16．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了______kg.”17．已知在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m），点B在x轴的负半轴上，过点A作直线AC∥x轴，交∠AOB的平分线OC于点C，那么点C到直线OA的距离等于_____．18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为__________．三、解答题19．已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．20．如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．(1) 求m，n的值；(2) 在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值．21．已知函数是关于x的正比例函数．（1）求正比例函数的解析式；（2）若它的图象有两点，当时，试比较的大小．22．已知点A（a，3），B（b，6），C（5，c），AC⊥x轴，BC⊥y轴，且点B在第二象限的角平分线上．（1）求出A，B，C三点的坐标．（2）求△ABC的面积．23．如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限．过点A做AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5．（1）求该正比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．近年来国际石油价格猛涨，我国也受其影响，部分出租车为了降低营运成本进行了改装，改装后的出租车可以用液化气代替汽油. 假设一辆出租车日平均行程为300km.（1）使用汽油的出租车，每升汽油能行驶12km，汽油价格为4.8元/L，设行驶时间为天时所耗汽油费用为元；使用液化气的出租车，每升液化气能行驶15km，液化气价格为5元/L，设行驶时间为天时所耗液化气费用为元，分别求出、与之间的函数解析式；（2）若改装一辆出租车的费用为8000元，请在（1）的基础上，计算出改装后多少天节省的燃料费用就足够抵消改装费用.参考答案1．D【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；D．是正比例函数，故本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．2．A【分析】根据题意，，m+1＜0，验证判断即可．解：∵函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，∴，m+1＜0，∴m=2或m=-2，且m＜-1，∴m=2不符合题意，舍去，∴m=-2，故选A．【点拨】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数ｋ的关系是解题的关键．3．B【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），∴点A，B分别在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故选：B．【点拨】此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．4．D【分析】先求得的坐标，然后设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出k的值即可．解：是点关于x轴的对称点．，设该正比例函数的解析式为，正比例函数的图象经过点，，解得，这个正比例函数的表达式是．故选：D．【点拨】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．C【分析】根据正比例函数图象的性质分析，k>0，经过一、三象限；k<0，经过二、四象限，图像越靠近y轴越大，即可得到答案.解：根据图像可知，①与②经过一、三象限，③经过二、四象限，∴，，，∵②越靠近y轴，则，∴大小关系为：；故选择：C.【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越靠近y轴，则|k|越大．6．C【分析】由k＝﹣1＜0结合一次函数的性质即可得出该正比例函数为减函数，再结合﹣1＜2即可得出结论．解：∵k＝﹣1＜0，∴正比例函数y随x增大而减小，∵﹣1＜2，∴y1＞y2．故选：C．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是得出y=-x为减函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数确定一次函数的增减性是关键．7．C【分析】根据正比例函数的图象与性质逐项进行判断即可得解.解：A.当x=0时，y=0，故选项A错误；B.∵m≠0，∴-m2＜0∴函数图象经过第二、四象限，故选项B错误；C.∵-m2＜0∴y的值随x值的增大而减小，故选项C正确；D. ∵-m2＜0∴y的值随x值的增大而减小，故选项D错误.故选C.【点拨】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，熟练运用正比例函数的性质解决问题是本题的关键．8．A【分析】国旗的高度是徐徐上升的，高度从0开始，不断增大，图象为正比例函数图象，即可得出答案．解：根据题意：徐徐上升的国旗的高度与时间的变化是稳定的，即为直线上升，图象为正比例函数图象．∴只有A符合题意，故选：A．【点拨】本题考查函数图象的判定，根据题意，得出徐徐上升的国旗的高度与时间的关系是正比例函数关系是解题的关键．9．C【分析】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式．解：直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，两部分的面积分别为3和6，当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，，解得，，设直线的解析式为，把代入得，解得，此时直线的解析式为；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，，解得，，，设直线的解析式为，把，代入得，解得，此时直线的解析式为，综上所述，直线的解析式为或．故选：．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质．10．A【分析】当AB与直线y=-x垂直时，AB最短，则△OAB是等腰直角三角形，作B如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为BC⊥x轴即可求得OD，BD的长，从而求得B的坐标．解：解析：过点作垂直于直线的垂线，点在直线上运动，，为等腰直角三角形，过作垂直轴垂足为，则点为的中点，则，作图可知在轴下方，轴的右方．横坐标为正，纵坐标为负．所以当线段最短时，点的坐标为．故选A．【点拨】本题考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质的综合应用，正确根据垂线段最短确定：当AB与直线y=-x垂直时，AB最短是关键．11．【分析】根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数m的值．解：∵函数y=（m-2）x+4-m2是关于x的正比例函数,∴4-m2=0且m-2≠0,解得,m=-2或m=2（不符合题意,舍去）．故答案为：m=-2．【点拨】本题考查的是正比例函数的定义,一般地,形如y=kx（k是常数,k≠0）的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数．12．一、三【分析】根据正比例函数即是一次函数，再由一次函数定义可得：|m|=1，且m+1≠0，计算出m的值，再根据一次函数的性质进而可得答案．解：由函数y=（m+1）x|m|是正比例函数得：|m|=1，且m+1≠0，解得：m=1，则m+1=2＞0，得到该函数的图象经过第一、三象限，故答案为：一、三．【点拨】本题主要考查了正比例函数定义和性质，关键是掌握正比例函数是一次函数，因此自变量的指数为1，做题时要灵活运用知识点．13．【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．解：将点 与点 代入 ，得： ，两式相减，得： ，， y随x的增大而减小，当 时，， 当m＞3时，t＜-，故答案为：t＜-.【点拨】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．14．﹣＜m＜4．【分析】根据正比例函数的性质分类讨论即可解答．解：令y=mx，由不等式mx+4＞0得到y＞﹣4，即在﹣1≤x≤3内，y＞﹣4恒成立．①当m＞0时，把（﹣1，﹣4）代入y=mx，得﹣4=﹣m，此时m=4，则0＜m＜4．②当m＜0时，把（3，﹣4）代入y=mx，得﹣4=3m，此时m=﹣，则﹣＜m＜0．③当m=0时，得到：4＞0，不等式mx+4＞0始终成立．综上所述：m的取值范围是﹣＜m＜4．故答案为：﹣＜m＜4．【点拨】考查了正比例函数的性质，解题时，需要注意正比例函数的增减性．15．．【分析】设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积=△OPD面积+梯形PDCB面积-△PAO面积-△ABC面积计算即可．解：设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，∴S△PAB=S△OPD+S四边形PDCB-S△OPA-S△ABC，=，=，=，=，．故答案为：．【点拨】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键．16．20【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解．解：两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k1t，把（1，8）代入得k1=8，∴y=8t．此时小明加工了28千克，∴t=3.5．同理设图2的解析式为：y=k2t，把（7，40），代入得7k2=40，解得：k2=，∴y=t．因为他们用的时间是相等的，∴当t=3.5时，y=20．故答案为20．【点拨】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.17．12．【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，根据角平分线的性质可得出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度，再根据平行线的性质结合点A的坐标即可求出CD的长度，此题得解．解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示，∵正比例函数y=﹣4x的图象经过点A（﹣3，m），∴m=﹣4×（﹣3）=12．∵OC平分∠AOB，∴点C到直线OA的距离等于线段CD的长度．∵AC∥x轴，CD⊥x轴，点A的坐标为（﹣3，12），∴CD=12．故答案为12．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质以及平行线的性质，利用角平分线的性质找出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度是解题的关键．18．【分析】由A1（1，2），OA1=OB1，设，可求得B1为（2，1），同理可得A2（2，4），B2（4，2），找出规律，即可求得B2022的坐标．解：∵点B1在直线上， ∴设B1的坐标为， ∵A1（1，2），OA1=OB1， ∴ ， 解得：a1=2，a2=-2（舍去）， ∴设B1的坐标为（2，1）， 同理可得： A2的坐标为（2，4），B2的坐标为（4，2）， A3的坐标为（4，8），B3的坐标为（8，4）， … 归纳可得：A2022的坐标为，B2022的坐标为， 故答案为．【点拨】本题考查了图形的坐标规律的探究，正比例函数的性质，勾股定理的应用，根据题意求得点的坐标之间的内在联系，是解决问题的关键．19．（1）y＝2x﹣4；（2）3【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）将点A（a，2）代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．解：（1）∵y与x﹣2 成正比例，∴y＝k（x﹣2）．把x＝3时，y＝2代入得：2＝（3﹣2）k．∴k＝2．∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x﹣4．（2）点A（a，2）在此函数图象上，∴2＝2a﹣4．解得：a＝3．∴a的值为3．【点拨】本题考查了正比例函数的定义以及求一次函数对应自变量，正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；一次函数y=kx+b（k≠0），当给定x时，只需将x的值代入解析式的自变量的位置，求出y即可．同理，当给定y时，只需将y的值代入解析式的自变量的位置，求出x即可．20．(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可；（2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， 最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可．(1)解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．∴∴．(2)解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，在Rt△中，∠H＝90°，则，∴PA＋PB的最小值为 ．【点拨】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键．21．（1）；（2）．【分析】（1）由正比例函数的定义可得到a所满足的方程，可求得a的值，可求得函数解析式；（2）利用正比例函数的增减性可比较大小．解：（1）∵是关于x的正比例函数，∴|a|−3＝0且a＋3≠0，解得a＝3，∴y＝−12x；（2）在y＝−12x中，k＝−12＜0，∴y随x的增大而减小，∴当时，．【点拨】本题主要考查正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）是解题的关键．22．（1）A（5，3），B（﹣6，6），C（5，6）；（2）．【分析】（1）由AC⊥x轴，BC⊥y轴，可得a＝5，c＝6，点B在第二象限的角平分线上，即在y＝﹣x上，故b＝﹣6，从而可得A、B、C三点坐标；（2）观察图形可得AC＝3，BC＝11，根据S△ABC＝可得答案．解：（1）∵AC⊥x轴，∴a＝5，∵BC⊥y轴，∴c＝6，∵点B在第二象限的角平分线上，即在y＝﹣x上，故b＝﹣6，∴A（5，3），B（﹣6，6），C（5，6）．（2）∵AC＝6﹣3＝3，BC＝5﹣（﹣6）＝11，AC⊥BC，∴S△ABC＝＝．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，关键是求出A、B、C三点的坐标．23．(1)y=-x；(2)存在， 点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5，∴OH×AH÷2=4.5，∴3×AH÷2=4.5，∴AH=3，∴点A的纵坐标为-3，∴点A的坐标为（3，-3）．∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=-3，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式是y=-x；（2）设OP=x．∵△AOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），∴，∴OP=4，∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．24．（1），；（2）改装后400天节省的燃料费用就足够抵消改装费用.【分析】（1）根据所耗得汽油费用=汽油价格×t天所耗的汽油升数，建立函数关系式；（2）根据上述关系式，表示它们的差等于8000元即可求得天数.解：（1）. .（2），∴. ∴改装后400天节省的燃料费用就足够抵消改装费用.【点拨】考核知识点：正比例函数的应用.理解题意，分清数量关系是关键.