浙教版七年级数学上册同步精品讲义第34课直线的相交(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第34课直线的相交(学生版+解析)，共40页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点01 相交线和对顶角的概念
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
知识点02 对顶角的性质
对顶角的性质：对顶角相等
知识点03 垂线及其性质
1.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
2.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
能力拓展
考点01 相交线和对顶角的概念
【典例1】下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】下列图中是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
考点02 对顶角的性质
【典例2】∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．50°C．130°D．50°或130°
【即学即练2】如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，则∠AOC的度数是 度．
考点03 垂线及其性质
【典例3】1.如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
2.如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
【即学即练3】1.小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳，一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．C．D．
2.如图，直线AB与CD相交于，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC＝∠EOD，求∠AOC的度数．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C．D．
2.在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A．B．C．D．
3.如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝30°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．130°
4.如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．80°D．90°
5.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B． C．D．
6.如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
7.如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝ ．
8.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠COE的余角是 ．（请符合条件的角都写出来）；
（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
① ；② ；③ ．
（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度数（请写出解答过程）．
9.如图，OE⊥CD．OF⊥AB．
（1）已知过直线AB上O点有OC，OD，OE，OF4条射线，∠DOF＝65°，求∠BOE，∠AOC的度数；
（2）若直线AB与直线CD相交于点O，∠DOF＝2∠DOB，求图中各锐角的度数．
题组B 能力提升练
10.如图，表示点A到BC距离的是（ ）
A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度
11.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
12.如图，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段ABB．AD＞AC
C．点A到BC的距离是线段AD的长度D．AD＜BD
13.如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138°B．128°C．117°D．102°
14.如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOD＝40°，若过点O作OE⊥AB，则∠COE的度数为（ ）
A．50°B．130°C．50°或90°D．50°或130°
15.有以下5个说法：①两点之间，线段最短：②相等的角是对顶角：③互补的两个角中必定一个是锐角一个钝角；④两个锐角的和一定是锐角：⑤同角或等角的余角相等．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
16.如图，AO⊥BO于点O，直线CD经过点O，且∠BOD：∠AOC＝2：5，则∠AOD的度数为 30 度．
17.如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3
（1）求∠EOB的度数；
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
题组C 培优拔尖练
18．三条直线相交于一点，形成（ ）对顶角．
A．3对B．4对C．5对D．6对
19.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，则点B到直线AC的距离等于 ；点C到直线AB的垂线段是线段 ．
20.已知∠AOB＝110°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 ．
21.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：4．
（1）求∠EOD的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
22.如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．
（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；
（2）若DO⊥OE，求n的值；
（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．
23.平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
学习目标
1.了解相交线和对顶角的概念.
2.理解对顶角相等.
3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算.
4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线.
5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直”
6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念.
第34课 直线的相交
目标导航
知识精讲
知识点01 相交线和对顶角的概念
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
知识点02 对顶角的性质
对顶角的性质：对顶角相等
知识点03 垂线及其性质
1.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
2.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
能力拓展
考点01 相交线和对顶角的概念
【典例1】下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据对顶角的定义作出判断即可．
【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有C图中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是．
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【即学即练1】下列图中是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据两条直线相交，所成的角中，相对的一组是对顶角，可判断对顶角．
【解析】解：A、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
B、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
C、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
D、∠1和∠2是对顶角，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角，两条直线相交所成的角，位置相对是解题关键．
考点02 对顶角的性质
【典例2】∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．50°C．130°D．50°或130°
【思路点拨】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．
【解析】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3＝50°，
∴∠2＝130°，
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义．
【即学即练2】如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，则∠AOC的度数是 30 度．
【思路点拨】根据角平分线的定义和对顶角相等可求得．
【解析】解：∵AB、CD相交于点O，∠DOE＝60°，OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠DOE＝×60°＝30°，
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及对顶角的性质，比较简单．
考点03 垂线及其性质
【典例3】1.如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可计算；
（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解决问题．
【解析】（1）解：∵BF⊥AE，
∴∠EBF＝∠ABF＝90°，
∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，
∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．
证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，
∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，
∵∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．
【点睛】本题考查角度的计算，关键是掌握垂直的定义，对顶角相等．
2.如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
【思路点拨】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解析】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
【即学即练3】1.小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳，一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．C．D．
【思路点拨】由于C点到踏板P最近，则C点到踏板P的垂线段的长为跳远成绩．
【解析】解：跳远成绩应该为身体的接触点中到踏板P的垂线段长的最小值．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线段最短：实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2.如图，直线AB与CD相交于，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC＝∠EOD，求∠AOC的度数．
【思路点拨】（1）由已知可得∠EOF＝360°﹣（∠BOE+∠DOF+∠BOD），再将已知代入即可；
（2）令∠AOC＝x，则∠BOD＝x，由已知可得∠EOD＝4x，再由∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE，得到x＝4x﹣90°，求出x即为所求．
【解析】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE＝90°，∠COF＝90°，
∵∠BOD＝40°，
∴∠EOF＝360°﹣（∠BOE+∠DOF+∠BOD）＝360°﹣（90°+90°+40°）＝140°；
（2）令∠AOC＝x，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD＝x，
∵∠AOC＝∠EOD，
∴∠EOD＝4x，
∵∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE，
∴x＝4x﹣90°，
∴x＝30°，
∴∠AOC＝30°．
【点睛】本题考查对顶角，邻补角，垂直的定义，熟练掌握对顶角，邻补角，垂直的定义，数形结合解题是关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C．D．
【思路点拨】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、∠1与∠2是对顶角，故A选项正确；
B、∠1与∠2不是对顶角，故B选项错误；
C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．
2.在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【解析】解：图A、B、D中，线段PQ不与直线L垂直，故线段PQ不能表示点P到直线L的距离；
图C中，线段PQ与直线L垂直，垂足为点Q，故线段PQ能表示点P到直线L的距离；
故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的概念．
3.如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝30°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．130°
【思路点拨】根据垂直的定义和对顶角相等即可求出∠BOE的度数．
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠BOE＝∠EOD+∠BOD＝90°+30°＝120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，比较简单．
4.如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．80°D．90°
【思路点拨】由垂直的定义可知∠AOC＝90°，再余角的定义可得∠BOC的度数．
【解析】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠BOC＝90°﹣∠1＝70°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角的定义，角的和差及角的计算，求出∠AOC＝90°是解题的关键．
5.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B． C．D．
【思路点拨】点到直线的距离是指垂线段的长度．
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
6.如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【思路点拨】根据垂线段的性质，可得答案．
【解析】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
7.如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝ 36° ．
【思路点拨】根据垂直的定义知∠AOB＝∠COD＝90°，然后由周角的定义即可求得∠BOC的度数．
【解析】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°；
又∵∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD＝360°，∠AOD＝144°，
∴∠BOC＝36°；
故答案是：36°．
【点睛】本题考查了垂线的定义．要注意领会由垂直得直角这一要点．
8.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠COE的余角是 ∠AOC，∠EOF，∠BOD ．（请符合条件的角都写出来）；
（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
① ∠AOC＝∠EOF ；② ∠AOC＝∠BOD ；③ ∠EOF＝∠BOD ．
（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度数（请写出解答过程）．
【思路点拨】（1）根据图形及余角的定义可得出答案．
（2）根据图形可找出三对相等角．
（3）观察图形根据∠AOF＝3∠COE，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，由此可得出答案．
【解析】解：（1）图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（请符合条件的角都写出来）；
（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．
（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，
∴∠COE＝∠AOC，
∵OE⊥AB，
∴∠COE+∠AOC＝90°，
∴∠COE＝45°．
故∠COE的度数是45°．
故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD．
【点睛】本题考查余角和补角的知识，有一定难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．
9.如图，OE⊥CD．OF⊥AB．
（1）已知过直线AB上O点有OC，OD，OE，OF4条射线，∠DOF＝65°，求∠BOE，∠AOC的度数；
（2）若直线AB与直线CD相交于点O，∠DOF＝2∠DOB，求图中各锐角的度数．
【思路点拨】（1）已知过直线AB上O点有OC，OD，OE，OF4条射线，∠DOF＝65°，求∠BOE，∠AOC的度数；
（2）若直线AB与直线CD相交于点O，∠DOF＝2∠DOB，求图中各锐角的度数．
【解析】解：（1）∵OE⊥CD．OF⊥AB，
∴∠DOE＝90°，∠FOB＝90°，
∵∠DOF＝65°，
∴∠BOD＝∠FOB﹣DOF＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣25°＝65°，
∠AOC＝∠BOD＝25°．
答：∠BOE，∠AOC的度数为65°，25°；
（2）∵∠DOF＝2∠DOB，∠FOB＝90°，
∴∠DOF+∠DOB＝90°，
∴3∠DOB＝90°，
∴∠DOB＝30°，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
答：图中各锐角的度数为∠DOF＝∠BOE＝60°，∠AOC＝∠BOD＝30°．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线、对顶角、邻补角定义．
题组B 能力提升练
10.如图，表示点A到BC距离的是（ ）
A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度
【思路点拨】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．
【解析】解：A．线段AD的长度表示点A到BC的距离，符合题意；
B．线段AE的长度表示点A到CE的距离，不符合题意；
C．线段的BE长度表示点B到CE的距离，不符合题意；
D．线段CE的长度表示点C到AB的距离，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．
11.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
【思路点拨】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
【点睛】此题考查知识点垂线段最短．
12.如图，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段ABB．AD＞AC
C．点A到BC的距离是线段AD的长度D．AD＜BD
【思路点拨】根据三角形的三边关系和垂线段最短即可得到结论．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴点C到AB的垂线段是线段AC，故A不符合题意；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故C符合题意；
在Rt△ADC中，AD是直角边，AC是斜边，故AD＜AC，故B不符合题意；
在Rt△ABD中，AD和BD都是直角边，故无法判断AD、BD的大小，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，垂线段最短，正确的识别图形是解题的关键．
13.如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（ ）
A．138°B．128°C．117°D．102°
【思路点拨】根据垂直的定义，可得∠DOE的度数，根据角的和差，可得∠DOF的度数，根据角的倍分关系，可得∠BOF的度数，根据∠BOF与∠AOF是邻补角，可得答案．
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOF＝142°，
∴∠DOF＝142°﹣90°＝52°．
∵∠BOD：∠BOF＝1：3，
∴∠BOD＝∠DOF＝26°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝78°，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣78°＝102°．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出∠DOF，再求出∠BOF，最后得出答案．
14.如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOD＝40°，若过点O作OE⊥AB，则∠COE的度数为（ ）
A．50°B．130°C．50°或90°D．50°或130°
【思路点拨】根据题意画出图形，根据垂直定义可得∠AOE＝90°，根据对顶角相等可得∠AOC＝40°，然后可得答案．
【解析】解：如图1，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠EOC＝130°；
如图2，∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠EOC＝50°，
综上所述：∠COE的度数为50°或130°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线，关键是正确画出图形，分情况讨论，不要漏解．
15.有以下5个说法：①两点之间，线段最短：②相等的角是对顶角：③互补的两个角中必定一个是锐角一个钝角；④两个锐角的和一定是锐角：⑤同角或等角的余角相等．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】根据对顶角，邻补角的定义，线段的性质，余角和补角的性质判断即可．
【解析】解：①两点之间，线段最短，正确；
②相等的角，且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故②是假命题；
③互补的两个角可能都是直角，所以互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角是假命题；
④两个锐角的和不一定是锐角，故④是假命题；
⑤同角或等角的余角相等，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的定义，线段的性质，余角和补角的性质，熟记定义和性质是解题的关键．
16.如图，AO⊥BO于点O，直线CD经过点O，且∠BOD：∠AOC＝2：5，则∠AOD的度数为 30 度．
【思路点拨】利用余角的定义计算即可．
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOD+∠BOD＝90°，
设∠AOD＝x，则∠BOD＝90°﹣x，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣x，
∵∠BOD：∠AOC＝2：5，
∴（90°﹣x）：（180°﹣x）＝2：5，
解得x＝30°，
所以∠AOC＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是平角、余角的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．
17.如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3
（1）求∠EOB的度数；
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
【思路点拨】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，然后根据比例求解即可；
（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，OF在∠BOC的内部时，∠DOF＝∠DOE+∠EOF进行计算即可得解．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
∵∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴∠BOE＝80°×＝32°；
（2）∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝80°﹣32°＝48°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
OF在∠AOD的内部时，
∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE
＝90°﹣48°，
＝42°，
OF在∠BOC的内部时，
∠DOF＝∠DOE+∠EOF
＝90°+48°，
＝138°，
综上所述∠DOF＝42°或138°．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
18．三条直线相交于一点，形成（ ）对顶角．
A．3对B．4对C．5对D．6对
【思路点拨】两条直线相交于一点，形成两对对顶角，把三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，再判断对顶角的对数．
【解析】解：三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，因为两条直线相交于一点，形成两对对顶角，所以三条直线相交于一点，有3个两对对顶角，共6对对顶角．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
19.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，则点B到直线AC的距离等于 ；点C到直线AB的垂线段是线段 ．
【思路点拨】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”“从直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫做垂线段．”填空．
【解析】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点B到直线AC的距离等于BC的长度，即为4．
点C到直线AB的垂线段是线段CD．
故填4，CD．
【点睛】此题主要考查了垂线段、点到直线距离的定义．
20.已知∠AOB＝110°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 ．
【思路点拨】根据题意，可以分四种情况画图讨论计算．
【解析】解：（1）如图1所示：
当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4∠BOC＝4α，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴3α+∠AOD＝3∠AOD，
∴∠AOD＝α，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝α+4α＝110°，
∴α＝20°，
∴∠DOC＝60°
②如图2所示，若射线OD在∠AOC外部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝4α﹣α＝α＝110°，
∴α＝．
∴∠DOC；
（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜35°，∠AOD＝∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能；
①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，
∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝5α，
设∠AOD＝β，则∠AOC＝3β，
∴3β＝5α+β，
∴β＝α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α+α＝α＝110°，
∴α＝，
∴∠DOC＝5α＝；
②若射线OD在∠AOB外部，如图4所示，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，
∵∠AOB＝110°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝4α﹣110°，
∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+110°，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴3（4α﹣110°）＝α+110°
解得α＝40°＞35°，
此种情况不符合题意，
综上所述：∠COD的度数为：60°，，．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分四种情况讨论．比较复杂，不容易做对．
21.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：4．
（1）求∠EOD的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
【思路点拨】（1）设∠BOE＝3x，则∠EOD＝4x，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC再由题意可得3x+4x＝70°，即可算出x的值，即可得出答案；
（2）根据题意可分为两种情况，①当射线OF在射线OA，OD之间，由垂线的性质可得∠FOE＝90°，根据（1）中结论，由∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE即可得出答案；②当射线OF在射线OB，OC之间，由垂线的性质可得∠FOE＝90°，根据（1）中结论，由∠DOF＝∠FOE﹣∠BOE即可得出答案．
【解析】解：设∠BOE＝3x，则∠EOD＝4x，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵∠BOD＝∠BOE+∠DOE，
∴3x+4x＝70°，
∴x＝10°，
∴∠EOD＝4×10°＝40°；
（2）如图1，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠DOE＝40°，
∴∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE＝90°﹣40°＝50°；
如图2，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
又∵∠EOD＝40°（已求），
∴∠DOF＝∠FOE+∠EOD＝90°+40°＝130°．
∴∠DOF的度数是50°或130°．
【点睛】本题主要考查了垂线，对顶角，熟练应用垂线，对顶角的定义进行求解是解决本题的关键．
22.如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．
（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；
（2）若DO⊥OE，求n的值；
（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．
【思路点拨】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，由n＝3，即可算出∠EOC的度数，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案；
（2）设∠AOD＝x，根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE＝90°，即可算出∠COE＝90°﹣∠COD的度数，由∠BOC＝n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
（3）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC 关于α的表达式，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案．
【解析】解：（1）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝24°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵n＝3，
∴∠BOC＝3∠EOC＝132°，
∴，
∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°；
（2）设∠AOD＝x，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x，
∵∠BOC＝n∠EOC，
∴180°﹣2x＝n（90°﹣x），
∴n＝2；
（3）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α，
∵n＝4，
∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α，
∴＝45，
∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝45＝45．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
23.平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【解析】解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；
（2）∵∠AOE＝x°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴；
∴∠AOE＝2∠BOD；
（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．学习目标
1.了解相交线和对顶角的概念.
2.理解对顶角相等.
3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算.
4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线.
5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直”
6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念.