浙教版七年级数学上册同步精品讲义第30课角和角的度量(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第30课角和角的度量(学生版+解析)，共29页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
A．B．C．D．
知识点01 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
A．B．C．D．
知识点02 角的度量
角的度量单位：度、分、秒
1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
能力拓展
考点01 角的相关概念
【典例1】下图中标注的角可以用∠O来表示的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．C．D．
考点02 角的度量
【典例2】下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°
【即学即练2】用度、分、秒表示：（35）°＝ ；用度表示：38°24′＝ ．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（ ）
A．B．C．D．
2.若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′B．5°7′12″C．5°7′2″D．5°10′2″
3.下列各角中是钝角的是（ ）
A．周角B．平角C．周角D．2直角
4. 如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（ ）
A．距离学校1200米处B．北偏东65°方向上的1200米处
C．南偏西65°方向上的1200米处D．南偏西25°方向上的1200米处
5.有 的两条 组成的图形叫做角．角也可以看成是一条 而形成的图形．
6.如图，图中角的顶点是 ，边是 ．用三种不同的表示方法表示这个角为 ．
7.下面四个图中的角表示正确的有 （把你认为正确的序号都填上）
①②③④
8.如图中共有 个角，分别是 ．
9.用“度分秒”来表示：8.31度＝ 度 分 秒．
10. 22.5°＝ 度 分；12°24′＝ 度．
11.若B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，则A地在B地的 方向，距离B地 km处．
12.如图，写出全部符合条件的角．
（1）能用一个大写字母表示的角；
（2）能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示出来；
（3）以D为顶点且小于平角的角；
（4）以A为顶点且小于平角的角．
13.A，B两地的地理位置如图所示，C地的具体位置不太清楚，只知道C地位于A地的北偏东30°，位于B地的东偏南60°方向，试确定C地的具体位置．
题组B 能力提升练
14.如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°
15.如图所示，图中小于平角的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
16.如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠AB．∠ABCC．∠DD．∠1
17.1800″＝ °＝ ′．
18.如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
19.如图，总共有 个角．
20.如图所示，写出图中符合下列条件的角．
（1）能用一个大写字母表示的角；
（2）以B为顶点的角；
（3）图中所有小于平角的角．
21.完成以下各题．
（1）写出图中能用一个字母表示的角；
（2）写出图中以A为顶点的角；
（3）图中共有几个角？
题组C 培优拔尖练
22.如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
22. 钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度．
23.由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？
24.（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．
（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？
学习目标
1.进一步认识角的有关概念.
2.会用符号、字母表示角.
3.掌握度、分、秒单位及其换算.
∠1
∠BAD
∠α
∠β
∠3
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第30课 角和角的度量
目标导航
知识精讲
A．B．C．D．
知识点01 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
A．B．C．D．
知识点02 角的度量
角的度量单位：度、分、秒
1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
能力拓展
考点01 角的相关概念
【典例1】下图中标注的角可以用∠O来表示的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．进而得出符合题意的答案．
【解析】解：A、必须三个字母表示，故此选项错误；
B、必须三个字母表示，故此选项错误；
C、必须三个字母表示，故此选项错误；
D、可以一个字母表示，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键．
【即学即练1】如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据角的表示方法进行逐一分析，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
【解析】解：A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确；
C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角的三种表示方法是解答此题的关键．
考点02 角的度量
【典例2】下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°
【思路点拨】根据度、分、秒之间的换算关系求解．
【解析】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：1°＝60′，1′＝60″，难度较小．
【即学即练2】用度、分、秒表示：（35）°＝ 35°20′ ；用度表示：38°24′＝ 38.4° ．
【思路点拨】根据1°＝60′，进行计算即可．
【解析】解：（35）°＝35°20′；
38°24′＝38.4°，
故答案为：35°20′；38.4°．
【点睛】此题主要考查了度分秒的计算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据角的表示方法和图形进行判断即可．
【解析】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
C、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
2.若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′B．5°7′12″C．5°7′2″D．5°10′2″
【思路点拨】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解析】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1°＝60′，1′＝60″．
3.下列各角中是钝角的是（ ）
A．周角B．平角C．周角D．2直角
【思路点拨】根据大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角、等于360°的角叫周角、等于180°的角叫平角、等于90°的角叫直角来解答．
【解析】解：A、×360°＝72°，是锐角；
B、×180°＝120°，是钝角；
C、×360°＝90°，是直角；
D、2×90°＝180°，是锐角．
故选：B．
【点睛】此题考查了钝角、直角、平角、周角的概念，属于基础题，难度不大，熟悉概念即可进行正确计算．
4. 如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（ ）
A．距离学校1200米处B．北偏东65°方向上的1200米处
C．南偏西65°方向上的1200米处D．南偏西25°方向上的1200米处
【思路点拨】根据以正西，正南方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可．
【解析】解：180°﹣115°＝65°，
由图形知，学校在小明家的北偏东65°方向上的1200米处，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了方向角，解题的关键是掌握方向角的描述方法．
5.有 公共端点 的两条 射线 组成的图形叫做角．角也可以看成是一条 射线绕着它的端点旋转 而形成的图形．
【思路点拨】此题考查了角的动态定义和静态定义，由两条射线组成的角为角的静态定义，由一条射线旋转得到的角为角的动态定义．
【解析】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
【点睛】此题考查了对角的定义的掌握，要分清动态定义和静态定义，属于基本概念．
6.如图，图中角的顶点是 O点 ，边是 OA和OB ．用三种不同的表示方法表示这个角为 ∠AOB，∠α，∠O ．
【思路点拨】根据角的概念，观察图形，顶点处只有一个角，故可用多种方法表示该角．
【解析】解：图中角的顶点是O点，边是OA和OB．用三种不同的表示方法表示这个角为∠AOB，∠α，∠O．
故答案为O点，OA和OB，∠AOB，∠α，∠O．
【点睛】此题考查了角的表示方法，一般有以下几种：①一个大写字母，②一个希腊字母，③一个阿拉伯数字，④三个大写字母．
要注意，当顶点处有多个角时，不能用一个大写字母表示，以免混淆．
7.下面四个图中的角表示正确的有 ②④ （把你认为正确的序号都填上）
①②③④
【思路点拨】依据角的概念进行判断，即可得出结论．
【解析】解：①表示的角为∠BAC，故错误；
②表示的角为平角∠AOB，故正确；
③射线AB不是周角，故错误；
④表示∠CAB，故正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查了角的概念，角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．
8.如图中共有 3 个角，分别是 ∠AOB，∠AOC，∠BOC ．
【思路点拨】根据角的定义，从一边按照一定的顺序计数即可．
【解析】解：图中的角有∠AOB，∠AOC，∠BOC，共3个角．
故答案为：3；∠AOB，∠AOC，∠BOC．
【点睛】本题主要考查的是角的定义，掌握角的定义是解题的关键．
9.用“度分秒”来表示：8.31度＝ 8 度 18 分 36 秒．
【思路点拨】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．将度的小数部分化为分，将分的小数部分化为秒．
【解析】解：∵0.31°＝0.31×60′＝18.6′，0.6×60″＝36″，
∴8.31°＝8°18′36″．
故答案为8、18、36．
【点睛】此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
10.22.5°＝ 22 度 30 分；12°24′＝ 12.4 度．
【思路点拨】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
【解析】解：22.5°＝22°+（0.5×60）′＝22°30′；
12°24′＝12°+（24÷60）°＝12.4°．
故答案为22、30、12.4．
【点睛】此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．
11.若B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，则A地在B地的 北偏西30° 方向，距离B地 30 km处．
【思路点拨】描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，直接利用方向角的定义解答即可．
【解析】解：因为B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，
所以A地在B地的北偏西30°方向，距离B地30km处．
故答案为：北偏西30°，30．
【点睛】此题主要考查了方向角．正确把握方向角的定义是解题关键．方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
12.如图，写出全部符合条件的角．
（1）能用一个大写字母表示的角；
（2）能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示出来；
（3）以D为顶点且小于平角的角；
（4）以A为顶点且小于平角的角．
【思路点拨】（1）根据已知和图形得出即可；
（2）∠1和∠2是能用一个数字表示的角；
（3）以D为顶点且小于平角的角有两个，写出即可；
（4）以A为顶点且小于平角的角有3个，写出即可．
【解析】解：（1）能用一个大写字母表示的角是∠B；
（2）能用一个数字表示的角是∠1可用∠ABD（∠ABC，∠ABE，∠B）表示；∠2可用∠CAD表示；
（3）以D为顶点且小于平角的角是∠ADC和∠ADB；
（4）以A为顶点且小于平角的角有∠BAD，∠DAC（∠2）和∠BAC．
【点睛】本题考查了有关角的表示方法的应用，注意角的表示方法．
13.A，B两地的地理位置如图所示，C地的具体位置不太清楚，只知道C地位于A地的北偏东30°，位于B地的东偏南60°方向，试确定C地的具体位置．
【解析】解：由方向角的概念可知：∠DBE＝60°，∠CAF＝30°，
则点C即为所求．
【点睛】本题考查的是方向角，熟知方向角的概念是解答此题的关键
题组B 能力提升练
14.如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°
【思路点拨】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．
【解析】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，
∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
15.如图所示，图中小于平角的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【思路点拨】按一定的规律数．
【解析】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把他们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有＝6个．
故选：C．
【点睛】此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，值得关注．
16.如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠AB．∠ABCC．∠DD．∠1
【思路点拨】先表示出各个角，再根据角的表示方法选出即可．
【解析】解：图中的角有∠A、∠1、∠ADC、∠ABC，∠B，
即表示方法不正确的有∠D，
故选：C．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，关键是学生对角的表示方法的理解和掌握．
17.1800″＝ 0.5 °＝ 30 ′．
【思路点拨】根据1°＝60′，1′＝60″得到1800″＝（1800÷60）′＝30′＝（30÷60）°．
【解析】解：1800″＝（1800÷60）′＝30′＝（30÷60）°＝0.5°．
故答案为0.5，30．
【点睛】本题考查了度分秒的换算：1°＝60′，1′＝60″．
18.如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
【思路点拨】角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
【解析】解：把同一个角用不同的表示方法表示出来，如下表：
故答案为：∠EAD，∠2，∠C，∠D，∠B．
【点睛】本题考查了角的概念，解决本题的关键是掌握角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
19.如图，总共有 10 个角．
【思路点拨】根据图形分别表示出所有角即可．
【解析】解：图中的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，共有10个角．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键．
20.如图所示，写出图中符合下列条件的角．
（1）能用一个大写字母表示的角；
（2）以B为顶点的角；
（3）图中所有小于平角的角．
【思路点拨】（1）根据图中以B、C为顶点的角只有一个即可得出结论；
（2）根据以B为顶点的角有3个，再根据角的表示方法即可得出结论；
（3）根据角的表示方法即可得出结论．
【解析】解：（1）∵图中以B、C为顶点的角只有一个，
∴能用一个大写字母表示的角有∠A，∠C；
（2）以B为顶点的角有3个，分别为：∠1（或∠ABD），∠2（或∠DBC），∠ABC；
（3）图中所有小于平角的角有：∠A，∠C，∠1，∠2，∠ABC，∠3，∠4．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示
21.完成以下各题．
（1）写出图中能用一个字母表示的角；
（2）写出图中以A为顶点的角；
（3）图中共有几个角？
【思路点拨】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念即可得到答案．
【解析】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D；
（2）以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE；
（3）图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B．
【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有3种．
题组C 培优拔尖练
22.如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【思路点拨】根据钟面角的特征得出钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角为30°，再根据时针与分针旋转过程中所成角度之间的变化关系求出∠AOF即可．
【解析】解：如图，8：20时针与分针所处的位置如图所示：
由钟面角的特征可知，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝×360°＝30°，
由时针与分针旋转过程中所成角度的变化关系可得，
∠AOF＝30°×＝10°，
∴∠AOB＝30°×4+10°＝130°，
故选：B．
【点睛】本题考查钟面角，掌握钟面上相邻两个数字之间所对应的圆心角的度数为30°以及时针与分针旋转过程中所成角度的变化关系是正确解答的关键．
22. 钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度．
【解析】解：由题意得：
30°+×30°＝45°，
∴钟面上4时30分，时针与分针的夹角是45度，
由题意得：
5×30°﹣45×0.5°
＝150°﹣22.5°
＝127.5°，
∴15分钟后时针与分针的夹角是127.5度，
故答案为：45，127.5．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键．
23.由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？
【思路点拨】因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆，并结合周角、平角的特点，进行分析、进而判断即可．
【解析】解：平角的特点是两条边成一条直线，不能说直线是平角；周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线；
【点睛】本题主要考查角的概念，熟练各种角的概念是解题的关键
24.（1）数一数图①中共有 3 个角，图②中共有 6 个角；图③中共有 10 个角．
（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？
【思路点拨】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．
【解析】解：（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．
故答案为：3，6，10；
（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，
∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n﹣1）＝＝．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键．学习目标
1.进一步认识角的有关概念.
2.会用符号、字母表示角.
3.掌握度、分、秒单位及其换算.
∠1
∠BAD
∠α
∠β
∠3
ㅤ∠EADㅤ
ㅤ∠2ㅤ
ㅤ∠Cㅤ
ㅤ∠Dㅤ
ㅤ∠Bㅤ
∠1
∠BAD
∠α
∠β
∠3
∠EAD
∠2
∠C
∠D
∠B