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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题12算术平方根、平方根、立方根、实数(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题12算术平方根、平方根、立方根、实数(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了求代数式的平方根，利用算术平方根的非负性解题，与算术平方根有关的规律探索题，利用平方根、立方根解方程等内容，欢迎下载使用。
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分 考点四 与算术平方根有关的规律探索题
考点五 求代数式的平方根 考点六 利用平方根、立方根解方程
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
考点二 利用算术平方根的非负性解题
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
考点四 与算术平方根有关的规律探索题
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
考点五 求代数式的平方根
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
考点六 利用平方根、立方根解方程
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0 (2)8（x+1）3=125
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)； (2)．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0； (2)（x﹣1）2； (3)8（x﹣1）3
一、选择题
1．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2B．C．－2D．4
2．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）有关16的平方根表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·河北·雄县板东中学七年级阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．－4是16的一个平方根
C．0.02的算术平方根是0.0004D．27的立方根是3
5．（2022·四川省广元市宝轮中学七年级阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
二、填空题
6．（2022·天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级期末）计算：的结果等于______．
7．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）比较实数大小：_____（填“”“”或“”）
8．（2022·山东·巨野县麒麟镇第一中学八年级阶段练习）的算术平方根是________；36的平方根是________．
9．（2021·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________．
10．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知：的整数部分是，的小数部分是，则_________．
三、解答题
11．（2022·北京市西罗园学校七年级期中）计算：．
12．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）.
13．（2022·山东·平原县江山国际学校七年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
14．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）求满足下列条件的的值
(1)； (2)．
15．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知实数和是正数的两个平方根．
(1)求和的值；
(2)求的立方根．
16．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______， ______，的小数部分______．
(2)已知：，其中是整数；且，求的相反数．
17．（2022·广西·南宁高新技术产业开发区桂鼎学校八年级阶段练习）已知，，满足．
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
18．（2021·宁夏·同心县第五中学七年级期中）阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：，；
______________，_______________；
通过以上计算：猜想得出（，）=_________________．
(2)运用（1）中的结论进行化简：
例如：；．
请化简①
②
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
专题12 算术平方根、平方根、立方根、实数
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分 考点四 与算术平方根有关的规律探索题
考点五 求代数式的平方根 考点六 利用平方根、立方根解方程
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【答案】 ±1 2 3
【解析】
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：1的平方根为，8的立方根为2，9的算术平方根为3．
故答案为：；2；3．
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根．
【详解】
解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
【答案】 2 -3
【解析】
【分析】
根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：25的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是-3．
故答案为：；2；-3．
【点睛】
本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根．
考点二 利用算术平方根的非负性解题
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得、的值，相加即可．
【详解】
解：，而，，
，，
解得，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入ab计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a+1=0，b-2021=0，
∴a=-1，b=2021，
∴ab=(-1)2021=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：，
，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【答案】．
【解析】
【分析】
先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.
【详解】
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
【点睛】
此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为：-3.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【解析】
【详解】
试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
考点四 与算术平方根有关的规律探索题
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【答案】(1)6；6；20；20；规律见解析；
(2)9
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：（a≥0，b≥0），据此判断即可．
（2）根据进行解答即可．
（3）根据，，可得，据此解答即可．
(1)
∵，，，，
∴总结出的规律是：（a≥0，b≥0）．
故答案为：6；6；20；20
(2)
；
(3)
∵，，
∴，
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
【答案】5，0.5，0，5，；（1）不一定， ＝；（2）－3.14
【解析】
【分析】
原式各项计算即可求得；
（1）根据计算结果观察可发现规律；
（2）原式利用得出规律计算即可得到结果．
【详解】
解：，，，
，
故答案为：5 , 0.5 , 0 , 5 , ；
（1）不一定等于a，
＝
（2）
【点睛】
本题考查了算数平方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②.
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴，；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，；
故答案为：，；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
考点五 求代数式的平方根
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
(1)
解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
(2)
解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】
此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意已知式子的算数平方根和平方根求出式子的值，继而可求出，，并求出的整数部分，然后把、、的值代入即可得出本题答案．
【详解】
解：根据题意可得
，解得；
，把代入可得；
因为是的整数部分，所以；
把，，代入得
；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了已知式子的算数平根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【答案】±．
【解析】
【分析】
分别根据2b+1的平方根是±3，3a+2b-1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出2b+3a的值，求出其平方根即可．
【详解】
解：由题意可知：
2b+1=（±3）2=9，
∴b=4，
3a+2b-1=42=16，
∴3a+8-1=16，
∴a=3，
∴2b+3a=8+9=17，
∴2b+3a的平方根±．
【点睛】
本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可．
【详解】
∵与互为相反数，
∴+＝0，
又∵≥0，≥0，
∴m+1=0，2-n-0，
∴m=-1，n=2，
∵k是64的平方根，
∴k=8；
当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为；
当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；
综合上述可得：m-n+k的平方根为．
【点睛】
考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．
考点六 利用平方根、立方根解方程
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0 (2)8（x+1）3=125
【答案】(1)x1，x2
(2)x＝1.5
【解析】
【分析】
（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；
（2）根据立方根的定义，开立方求出x．
(1)
解：4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2，
x1，x2；
(2)
8（x+1）3＝125，
（x+1）3，
x+1，
x＝1.5．
【点睛】
本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过系数化为1、开立方进行求解．
(1)
系数化为1，得，
开平方，得，
解得或；
(2)
系数化为1，得，
开立方，得，
解得．
【点睛】
此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0； (2)（x﹣1）2； (3)8（x﹣1）3
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的定义解方程;
（2）根据平方根的定义解方程；
（3）根据立方根的定义解方程
(1)
或
(2)
（x﹣1）2
或
(3)
8（x﹣1）3
【点睛】
本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2B．C．－2D．4
【答案】A
【分析】直接计算算术平方根，即可得到答案
【详解】解：；
故选：A
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是熟记定义进行计算
2．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）有关16的平方根表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方根的表示方法即可解答．
【详解】解：一般的，数a（a≥0）的平方根是，
∴16的平方根表示为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的表示方法，一般的，数a（a≥0）的平方根是．
3．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、绝对值的性质逐项判断即可．
【详解】A. ，故错误；
B. 由于，所以，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质．
4．（2022·河北·雄县板东中学七年级阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．－4是16的一个平方根
C．0.02的算术平方根是0.0004D．27的立方根是3
【答案】C
【分析】根据平方根定义，算术平方根定义及立方根定义依次判断．
【详解】解：A．的平方根是，故该项不符合题意；
B．－4是16的一个平方根，故该项不符合题意；
C．0.0004的算术平方根是0.02，故该项符合题意；
D．27的立方根是3，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了求一个数的平方根．立方根．算术平方根，正确掌握各定义是解题的关键．
5．（2022·四川省广元市宝轮中学七年级阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
【答案】D
【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．
二、填空题
6．（2022·天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级期末）计算：的结果等于______．
【答案】-3
【分析】利用立方根的意义解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
7．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）比较实数大小：_____（填“”“”或“”）
【答案】＞
【分析】先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用作差法解答是解题的关键．
8．（2022·山东·巨野县麒麟镇第一中学八年级阶段练习）的算术平方根是________；36的平方根是________．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，其算术平方根是，
36的平方根是±6
故答案为：；±6．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的知识，注意第一个要先算，避免误以为是求25的算术平方根．
9．（2021·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________．
【答案】9
【分析】利用一个正数的两个不同平方根a-1和5-2a互为相反数可求解．
【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a，
∴a-1+5-2a=0，
∴a=4，
∴这个数为．
故答案为：9．
【点睛】本题利用了平方根的性质，关键是求完a后再求这个数．
10．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知：的整数部分是，的小数部分是，则_________．
【答案】
【分析】先估算出的整数部分，也就是a的值，然后再估算出的整数部分，然后可求得b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴，
∴
∴的整数部分是
∵2＜＜3
∴，
∴的整数部分是，
∴小数部分是
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·北京市西罗园学校七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，立方根和算术平方根的概念计算即可．
【详解】解∶原式=
=．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，立方根和算术平方根的概念等知识，掌握相关知识并能正确运算是解题的关键．
12．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）.
【答案】
【分析】根据算术平方根与立方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．
13．（2022·山东·平原县江山国际学校七年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根定义及性质、算术平方根定义及性质化简后计算即可；
（2）根据平方运算、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质化简后计算即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到平方运算、绝对值、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关定义及运算法则是解决问题的关键．
14．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）求满足下列条件的的值
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】利用平方根定义，即一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，以及立方根的定义，即一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，进行求解即可．
（1）
解：，
，
开方得：，
则或；
（2）
解：，
，
开方得：，
．
【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解方程，灵活运用整体思想是解题的关键．
15．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知实数和是正数的两个平方根．
(1)求和的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可求解；
（2）利用立方根的定义即可求解．
（1）
由题意得，，
解得：，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴的立方根为．
【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
16．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______， ______，的小数部分______．
(2)已知：，其中是整数；且，求的相反数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）估算无理数的大小即可得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）估算无理数的大小得到，的值，求的相反数即可．
（1）
，
，
，
，
，
，
的整数部分是，
的小数部分是，
故答案为：，，；
（2）
，
，
，，
的相反数．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
17．（2022·广西·南宁高新技术产业开发区桂鼎学校八年级阶段练习）已知，，满足．
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能，直角三角形，
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根和平方的非负性求解即可；
（2）根据三角形三边关系和勾股定理逆定理判断即可．
（1）
∵，，满足，
∴，，，
∴，，．
（2）
∵，，，
∴，
∴以，，为边能构成三角形．
∵，
∴此三角形是直角三角形，且两直角边边长分别为和，
∴此三角形的面积为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和勾股定理逆定理．熟练掌握上述知识是解题关键．
18．（2021·宁夏·同心县第五中学七年级期中）阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：，；
______________，_______________；
通过以上计算：猜想得出（，）=_________________．
(2)运用（1）中的结论进行化简：
例如：；．
请化简①
②
【答案】(1)20，20，
(2)①；②
【分析】（1）第一个式子：先计算乘法，再计算算术平方根即可得；第二个式子：先计算算术平方根，再计算乘法即可得；通过前面的计算，猜想出规律即可得；
（2）①参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得；
②参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得．
（1）
解：，，
通过计算可知：，，
则猜想得出，
故答案为：20，20，．
（2）
解：①；
②．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，猜想出是解题关键．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分 考点四 与算术平方根有关的规律探索题
考点五 求代数式的平方根 考点六 利用平方根、立方根解方程
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
考点二 利用算术平方根的非负性解题
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
考点四 与算术平方根有关的规律探索题
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
考点五 求代数式的平方根
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
考点六 利用平方根、立方根解方程
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0 (2)8（x+1）3=125
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)； (2)．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0； (2)（x﹣1）2； (3)8（x﹣1）3
一、选择题
1．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2B．C．－2D．4
2．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）有关16的平方根表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·河北·雄县板东中学七年级阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．－4是16的一个平方根
C．0.02的算术平方根是0.0004D．27的立方根是3
5．（2022·四川省广元市宝轮中学七年级阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
二、填空题
6．（2022·天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级期末）计算：的结果等于______．
7．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）比较实数大小：_____（填“”“”或“”）
8．（2022·山东·巨野县麒麟镇第一中学八年级阶段练习）的算术平方根是________；36的平方根是________．
9．（2021·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________．
10．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知：的整数部分是，的小数部分是，则_________．
三、解答题
11．（2022·北京市西罗园学校七年级期中）计算：．
12．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）.
13．（2022·山东·平原县江山国际学校七年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
14．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）求满足下列条件的的值
(1)； (2)．
15．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知实数和是正数的两个平方根．
(1)求和的值；
(2)求的立方根．
16．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______， ______，的小数部分______．
(2)已知：，其中是整数；且，求的相反数．
17．（2022·广西·南宁高新技术产业开发区桂鼎学校八年级阶段练习）已知，，满足．
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
18．（2021·宁夏·同心县第五中学七年级期中）阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：，；
______________，_______________；
通过以上计算：猜想得出（，）=_________________．
(2)运用（1）中的结论进行化简：
例如：；．
请化简①
②
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
专题12 算术平方根、平方根、立方根、实数
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点二 利用算术平方根的非负性解题
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分 考点四 与算术平方根有关的规律探索题
考点五 求代数式的平方根 考点六 利用平方根、立方根解方程
考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【答案】 ±1 2 3
【解析】
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：1的平方根为，8的立方根为2，9的算术平方根为3．
故答案为：；2；3．
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根．
【详解】
解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
【答案】 2 -3
【解析】
【分析】
根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：25的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是-3．
故答案为：；2；-3．
【点睛】
本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根．
考点二 利用算术平方根的非负性解题
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得、的值，相加即可．
【详解】
解：，而，，
，，
解得，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入ab计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a+1=0，b-2021=0，
∴a=-1，b=2021，
∴ab=(-1)2021=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：，
，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三 求算术平方根的整数部分与小数部分
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【答案】．
【解析】
【分析】
先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.
【详解】
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
【点睛】
此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为：-3.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【解析】
【详解】
试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
考点四 与算术平方根有关的规律探索题
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【答案】(1)6；6；20；20；规律见解析；
(2)9
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：（a≥0，b≥0），据此判断即可．
（2）根据进行解答即可．
（3）根据，，可得，据此解答即可．
(1)
∵，，，，
∴总结出的规律是：（a≥0，b≥0）．
故答案为：6；6；20；20
(2)
；
(3)
∵，，
∴，
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
【答案】5，0.5，0，5，；（1）不一定， ＝；（2）－3.14
【解析】
【分析】
原式各项计算即可求得；
（1）根据计算结果观察可发现规律；
（2）原式利用得出规律计算即可得到结果．
【详解】
解：，，，
，
故答案为：5 , 0.5 , 0 , 5 , ；
（1）不一定等于a，
＝
（2）
【点睛】
本题考查了算数平方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②.
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴，；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，；
故答案为：，；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
考点五 求代数式的平方根
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
(1)
解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
(2)
解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】
此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意已知式子的算数平方根和平方根求出式子的值，继而可求出，，并求出的整数部分，然后把、、的值代入即可得出本题答案．
【详解】
解：根据题意可得
，解得；
，把代入可得；
因为是的整数部分，所以；
把，，代入得
；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了已知式子的算数平根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【答案】±．
【解析】
【分析】
分别根据2b+1的平方根是±3，3a+2b-1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出2b+3a的值，求出其平方根即可．
【详解】
解：由题意可知：
2b+1=（±3）2=9，
∴b=4，
3a+2b-1=42=16，
∴3a+8-1=16，
∴a=3，
∴2b+3a=8+9=17，
∴2b+3a的平方根±．
【点睛】
本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可．
【详解】
∵与互为相反数，
∴+＝0，
又∵≥0，≥0，
∴m+1=0，2-n-0，
∴m=-1，n=2，
∵k是64的平方根，
∴k=8；
当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为；
当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；
综合上述可得：m-n+k的平方根为．
【点睛】
考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．
考点六 利用平方根、立方根解方程
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0 (2)8（x+1）3=125
【答案】(1)x1，x2
(2)x＝1.5
【解析】
【分析】
（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；
（2）根据立方根的定义，开立方求出x．
(1)
解：4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2，
x1，x2；
(2)
8（x+1）3＝125，
（x+1）3，
x+1，
x＝1.5．
【点睛】
本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过系数化为1、开立方进行求解．
(1)
系数化为1，得，
开平方，得，
解得或；
(2)
系数化为1，得，
开立方，得，
解得．
【点睛】
此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0； (2)（x﹣1）2； (3)8（x﹣1）3
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的定义解方程;
（2）根据平方根的定义解方程；
（3）根据立方根的定义解方程
(1)
或
(2)
（x﹣1）2
或
(3)
8（x﹣1）3
【点睛】
本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2B．C．－2D．4
【答案】A
【分析】直接计算算术平方根，即可得到答案
【详解】解：；
故选：A
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是熟记定义进行计算
2．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）有关16的平方根表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方根的表示方法即可解答．
【详解】解：一般的，数a（a≥0）的平方根是，
∴16的平方根表示为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的表示方法，一般的，数a（a≥0）的平方根是．
3．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、绝对值的性质逐项判断即可．
【详解】A. ，故错误；
B. 由于，所以，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质．
4．（2022·河北·雄县板东中学七年级阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．－4是16的一个平方根
C．0.02的算术平方根是0.0004D．27的立方根是3
【答案】C
【分析】根据平方根定义，算术平方根定义及立方根定义依次判断．
【详解】解：A．的平方根是，故该项不符合题意；
B．－4是16的一个平方根，故该项不符合题意；
C．0.0004的算术平方根是0.02，故该项符合题意；
D．27的立方根是3，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了求一个数的平方根．立方根．算术平方根，正确掌握各定义是解题的关键．
5．（2022·四川省广元市宝轮中学七年级阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
【答案】D
【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．
二、填空题
6．（2022·天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级期末）计算：的结果等于______．
【答案】-3
【分析】利用立方根的意义解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
7．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）比较实数大小：_____（填“”“”或“”）
【答案】＞
【分析】先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用作差法解答是解题的关键．
8．（2022·山东·巨野县麒麟镇第一中学八年级阶段练习）的算术平方根是________；36的平方根是________．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，其算术平方根是，
36的平方根是±6
故答案为：；±6．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的知识，注意第一个要先算，避免误以为是求25的算术平方根．
9．（2021·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________．
【答案】9
【分析】利用一个正数的两个不同平方根a-1和5-2a互为相反数可求解．
【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a，
∴a-1+5-2a=0，
∴a=4，
∴这个数为．
故答案为：9．
【点睛】本题利用了平方根的性质，关键是求完a后再求这个数．
10．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知：的整数部分是，的小数部分是，则_________．
【答案】
【分析】先估算出的整数部分，也就是a的值，然后再估算出的整数部分，然后可求得b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴，
∴
∴的整数部分是
∵2＜＜3
∴，
∴的整数部分是，
∴小数部分是
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·北京市西罗园学校七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，立方根和算术平方根的概念计算即可．
【详解】解∶原式=
=．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，立方根和算术平方根的概念等知识，掌握相关知识并能正确运算是解题的关键．
12．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）.
【答案】
【分析】根据算术平方根与立方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．
13．（2022·山东·平原县江山国际学校七年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根定义及性质、算术平方根定义及性质化简后计算即可；
（2）根据平方运算、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质化简后计算即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到平方运算、绝对值、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关定义及运算法则是解决问题的关键．
14．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）求满足下列条件的的值
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】利用平方根定义，即一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，以及立方根的定义，即一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，进行求解即可．
（1）
解：，
，
开方得：，
则或；
（2）
解：，
，
开方得：，
．
【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解方程，灵活运用整体思想是解题的关键．
15．（2022·河南·漯河市第三中学七年级阶段练习）已知实数和是正数的两个平方根．
(1)求和的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可求解；
（2）利用立方根的定义即可求解．
（1）
由题意得，，
解得：，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴的立方根为．
【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
16．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______， ______，的小数部分______．
(2)已知：，其中是整数；且，求的相反数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）估算无理数的大小即可得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）估算无理数的大小得到，的值，求的相反数即可．
（1）
，
，
，
，
，
，
的整数部分是，
的小数部分是，
故答案为：，，；
（2）
，
，
，，
的相反数．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
17．（2022·广西·南宁高新技术产业开发区桂鼎学校八年级阶段练习）已知，，满足．
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能，直角三角形，
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根和平方的非负性求解即可；
（2）根据三角形三边关系和勾股定理逆定理判断即可．
（1）
∵，，满足，
∴，，，
∴，，．
（2）
∵，，，
∴，
∴以，，为边能构成三角形．
∵，
∴此三角形是直角三角形，且两直角边边长分别为和，
∴此三角形的面积为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和勾股定理逆定理．熟练掌握上述知识是解题关键．
18．（2021·宁夏·同心县第五中学七年级期中）阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：，；
______________，_______________；
通过以上计算：猜想得出（，）=_________________．
(2)运用（1）中的结论进行化简：
例如：；．
请化简①
②
【答案】(1)20，20，
(2)①；②
【分析】（1）第一个式子：先计算乘法，再计算算术平方根即可得；第二个式子：先计算算术平方根，再计算乘法即可得；通过前面的计算，猜想出规律即可得；
（2）①参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得；
②参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得．
（1）
解：，，
通过计算可知：，，
则猜想得出，
故答案为：20，20，．
（2）
解：①；
②．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，猜想出是解题关键．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
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