初中数学人教版（2024）九年级上册23.1 图形的旋转课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册23.1 图形的旋转课后测评，共46页。

2.能够按要求作出简单平面满图形旋转后的图形，并能利用旋转的性质进行规律的探究，利用旋转进行简单的图案设计。
知识点1：旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.

注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
知识点2 ：旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
知识点3：旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
【题型1 生活中的旋转现象】
【典例1】（2022秋•新丰县期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-1】（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）
A．钟表上的时针运动
B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动
D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【变式1-2】（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯
【变式1-3】（2023春•洛宁县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向左平移
D．逆时针旋转90°，向左平移
【题型2 利用旋转的性质求角度】
【典例2】（2023春•新邵县期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接BB'，若AC'∥BB'，∠CAB'＝60°，则∠AB′B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【变式2-1】（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．150°
【变式2-2】（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为​（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式2-3】（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【变式2-4】（2023春•德化县期末）如图，△AED是由△ABC点A顺时针旋转得到的，若点C恰好在DE的延长线上，且∠BCD＝50°，则∠EAB等于（ ）
​
A．120°B．125°C．130°D．135°
【题型3 利用旋转的性质求线段长度】
【典例3】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）
A．2B．C．5D．
【变式3-1】（2023•和田市校级二模）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式3-2】（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
【变式3-3】（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．4B．2C．3D．
【题型4 旋转中的坐标与图形变换】
【典例4】（2023春•越城区期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将坐标原点O绕点A顺时针旋转90°得到点O'，则点 O'的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣4，2）D．（﹣2，4）
【变式4-1】（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）
A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）
【变式4-2】（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）
【题型5 作图-旋转变换】
【典例5】（2023春•温江区校级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A3BC3的点C3的坐标为 ．
（4）△ABC的面积为 ．

【变式5-1】（2023春•锡山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）已知△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则点A的对应点A′的坐标为 ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A″B″C″，画出△A″B″C″；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【变式5-2】（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．
【变式5-3】（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）计算△A1B1C1的面积．
【题型6 旋转对称图形】
【典例6】（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2023•东城区模拟）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2023•吉林模拟）如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．180°
【题型7 旋转中周期性问题】
【典例7】（2023•中牟县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO＝2，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后，点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2023春•忠县期末）已知平面直角坐标系中质点从点A0（1，0）出发，第1次向上移动1个单位后往逆时针转90°方向作第2次移动，第n（n为正整数）次移动n个单位后往逆时针转90°方向作第n+1次移动．设质点第n次移动后到达点An，则点A2023为（ ）
A．（1013，1013）B．（1013，﹣1012）
C．（﹣1011，﹣1012）D．（﹣1011，1011）
【变式7-2】（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）
【变式7-3】（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
1．（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
2．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AEC．∠ACE＝∠ADED．CE＝BD
3．（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，4）D．（﹣3，3）
5．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 ．
6．（2023•枣庄）银杏是著名的活化石植物，​其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．
7．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 ．
1．（2023•肇东市校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．130°
2．（2023•顺庆区校级二模）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正八边形
3．（2023•衡水模拟）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝8cm．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（ ）
A．10cmB．13cmC．15cmD．17cm
4．（2022秋•遵义期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
5．（2023•市北区一模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
6．（2022秋•南宁期末）以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（﹣3，0）C．（3，3）D．（0，﹣3）
7．（2023•三亚一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
8．（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DECB．∠ADC＝45°C．AD＝ACD．AE＝AB+CD
9．（2023•繁昌县校级模拟）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
10．（2023春•巴州区期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
11．（2023春•遂平县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
12．（2023春•惠来县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D刚好落在AC边上，连接EC．
（1）若∠BAC＝50°，求∠BCE的度数；
（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形ABCE的面积．
第01讲 图形的旋转
1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
2.能够按要求作出简单平面满图形旋转后的图形，并能利用旋转的性质进行规律的探究，利用旋转进行简单的图案设计。
知识点1：旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.

注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
知识点2 ：旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
知识点3：旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
【题型1 生活中的旋转现象】
【典例1】（2022秋•新丰县期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头的转动，是旋转现象．
属于旋转的有③④，共有2个．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）
A．钟表上的时针运动
B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动
D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】A
【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确；
B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误；
C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误；
D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误；
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯
【答案】B
【解答】解：由题意知，匀速转动的摩天轮属于旋转，
故选：B．
【变式1-3】（2023春•洛宁县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向左平移
D．逆时针旋转90°，向左平移
【答案】A
【解答】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．
故选：A．
【题型2 利用旋转的性质求角度】
【典例2】（2023春•新邵县期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接BB'，若AC'∥BB'，∠CAB'＝60°，则∠AB′B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，
∴∠BAB′＝100°，AB＝AB′，
∴△ABB′为等腰三角形，
∴∠ABB′＝＝＝40°．
故选：C．
【变式2-1】（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：B．
【变式2-2】（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为​（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝∠ADB＝＝65°，
又∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【变式2-3】（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
故选：B．
【变式2-4】（2023春•德化县期末）如图，△AED是由△ABC点A顺时针旋转得到的，若点C恰好在DE的延长线上，且∠BCD＝50°，则∠EAB等于（ ）
​
A．120°B．125°C．130°D．135°
【答案】C
【解答】解：∵△AED是由△ABC点A顺时针旋转得到的，
∴∠BCA＝∠ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝50°，
∴∠D+∠ACD＝50°，
∴∠DAE+∠CAE＝∠DAC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BAC+∠CAE＝130°，
∴∠EAB＝130°，
故选：C．
【题型3 利用旋转的性质求线段长度】
【典例3】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）
A．2B．C．5D．
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∵，
∴BM＝3，
在Rt△BMC中，由勾股定理得，
CM＝＝5，
∵将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，
∴CM＝CE＝5，
∴BE＝2，
在Rt△CBE中，由勾股定理得，CE＝＝2，
设点M到直线CE的距离为h，
则S△MCE＝，
∴h＝，
∴点M到直线CE的距离是2，
故选：D．
【变式3-1】（2023•和田市校级二模）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点A在边B′C上，
∴CB′＝CB＝5，
∴AB′＝CB′﹣CA＝5﹣3＝2．
故选：D．
【变式3-2】（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
【答案】B
【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，
∴PE＝＝＝，
故选：B．
【变式3-3】（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．4B．2C．3D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，
∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝＝2，
∴BB'＝2，
故选：B．
【题型4 旋转中的坐标与图形变换】
【典例4】（2023春•越城区期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将坐标原点O绕点A顺时针旋转90°得到点O'，则点 O'的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣4，2）D．（﹣2，4）
【答案】D
【解答】解：观察图象可知O′（﹣2，4），
故选：D．
【变式4-1】（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）
A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）
【答案】A
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（2，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，
∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，
∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，•
∴∠ACO＝∠BAD，
在△AOC和△BAD中，
，
∴△AOC≌△BAD（AAS），
∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，
∴OD＝AD+OA＝6，
∴C（6，2）．
故答案为：A．
【变式4-2】（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）
【答案】C
【解答】解：过A′作A'C⊥x轴于点C，
由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴OC＝OB+BC＝7，
∴点A'坐标为（7，4）．
故选：C．
【题型5 作图-旋转变换】
【典例5】（2023春•温江区校级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A3BC3的点C3的坐标为 （2，﹣1） ．
（4）△ABC的面积为 1.5 ．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，（2，﹣1）；
（4）1.5．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3BC3的即为所求，点C3的坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）；
（4）△ABC的面积为＝2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2＝1.5．
故答案为：1.5．
【变式5-1】（2023春•锡山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）已知△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则点A的对应点A′的坐标为 （2，﹣3） ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A″B″C″，画出△A″B″C″；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）（2，﹣3）；
（2）见解答；
（3）（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，3）．
【解答】解：（1）点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图，△A″B″C″即为所求作．
（3）D点的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，3）．
【变式5-2】（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.
（2）如图，线段DE即为所求．
【变式5-3】（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）计算△A1B1C1的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝4×2﹣＝．
【题型6 旋转对称图形】
【典例6】（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；
B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；
C、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；
D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-1】（2023•东城区模拟）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：A、最小旋转角度＝＝120°；
B、最小旋转角度＝＝90°；
C、最小旋转角度＝＝72°；
D、最小旋转角度＝＝60°；
故选：D．
【变式6-2】（2023•吉林模拟）如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．180°
【答案】B
【解答】解：正六边形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圆心角是60°，
因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．
则α最小值为60度．
故选：B．
【题型7 旋转中周期性问题】
【典例7】（2023•中牟县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO＝2，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后，点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，
∴AH＝AB•cs60°＝1，BH＝AH＝，
∵∠BOH＝30°，
∴OB＝2BH＝2，B（3，），
由题意B1（3，﹣），B2（0，﹣2），B3（﹣3，﹣），B4（﹣3，），B5（0，2），…，6次一个循环，
∵2023÷6＝337……1，
∴B2023（3，﹣），
故选：A．
【变式7-1】（2023春•忠县期末）已知平面直角坐标系中质点从点A0（1，0）出发，第1次向上移动1个单位后往逆时针转90°方向作第2次移动，第n（n为正整数）次移动n个单位后往逆时针转90°方向作第n+1次移动．设质点第n次移动后到达点An，则点A2023为（ ）
A．（1013，1013）B．（1013，﹣1012）
C．（﹣1011，﹣1012）D．（﹣1011，1011）
【答案】C
【解答】解：由题意知，
A1（1，1），A2（﹣1，1），A3（﹣1，﹣2），A4（3，﹣2），
A5（3，3，），A6（﹣3，3），A7（﹣3，﹣4），A8（5，﹣4），
A9（5，5），A10（﹣5，5），A11（﹣5，﹣6），A12（7，﹣6）..．
∴A4n+1（2n+1，2n+1），A4n+2（﹣2n﹣1，2n+1），A4n+3（﹣2n﹣1，﹣2n﹣2），A4n+4（2n+3，﹣2n﹣2），n≥0且n为整数．
∵2023＝4×505+3，
∴A2023（﹣1011，﹣1012）．
故选：C．
【变式7-2】（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）
【答案】C
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴，B2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，
则2023÷8＝252…7，
∴点B2023的坐标为；
故选：C．
【变式7-3】（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B
1．（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：B．
2．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AEC．∠ACE＝∠ADED．CE＝BD
【答案】A
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．
3．（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
4．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，4）D．（﹣3，3）
【答案】A
【解答】解：连接AP，A1P．
∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，
∴A的对应点为A1，
∴∠APA1＝90°，
∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），
故选：A．
5．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 75° ．
【答案】75°．
【解答】解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，
依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，
∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．
故答案为：75°．
6．（2023•枣庄）银杏是著名的活化石植物，​其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 （﹣3，1） ．
【答案】（﹣3，1）．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（﹣1，﹣3），
作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点A′，
则点A′的坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
7．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 （﹣5，4） ．
【答案】（﹣5，4）．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
1．（2023•肇东市校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣55°﹣20°＝105°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝105°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°
∴旋转角α的度数是75°，
故选：B．
2．（2023•顺庆区校级二模）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正八边形
【答案】A
【解答】解：∵等边△ABC的中心角为360÷3＝120°，
∴旋转120°后即可和原来的正多边形重合．
故选：A．
3．（2023•衡水模拟）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝8cm．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（ ）
A．10cmB．13cmC．15cmD．17cm
【答案】D
【解答】解：根据题意可得，
8﹣8＜AB＜8+8，
即0＜AB＜16．
所以圆规的半径不可能是17．
故选：D．
4．（2022秋•遵义期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】C
【解答】解：如图，
∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，
∴连接ER、FP、GQ，
作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过C，
即旋转中心是C．
故选：C．
5．（2023•市北区一模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
【答案】D
【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
6．（2022秋•南宁期末）以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（﹣3，0）C．（3，3）D．（0，﹣3）
【答案】A
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由图可知：B（0，3）；
故选：A．
7．（2023•三亚一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
8．（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DECB．∠ADC＝45°C．AD＝ACD．AE＝AB+CD
【答案】D
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DEC，AD＝AC，
∴AE＝AD+DE＝CD+AB，故选项A，B，C正确，D错误，
故选：D．
9．（2023•繁昌县校级模拟）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【答案】D
【解答】解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，
∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴α＝90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴AC∥DE，
∴α＝180°﹣45°＝135°，
故选：D．
10．（2023春•巴州区期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，A2（﹣2，2）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标（﹣2，2）．
11．（2023春•遂平县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
【答案】（1）△AEF为等腰直角三角形；
（2）25．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAC＝∠D＝∠ABC＝90°，
∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴BF＝DE，∠D＝∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°，
∴F点在CB的延长线上，
∴四边形AECF的面积＝S△ABF+S四边形AECB＝S△ADE+S四边形AECB＝S正方形ABCD，
∵CF＝7，
∴CB+BF＝CB+DE＝7，
而DE＝CD﹣CE＝CB﹣CE＝CB﹣3，
∴CB+CB﹣3＝7，解得CB＝5，
∴四边形AECF的面积＝S正方形ABCD＝52＝25．
12．（2023春•惠来县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D刚好落在AC边上，连接EC．
（1）若∠BAC＝50°，求∠BCE的度数；
（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形ABCE的面积．
【答案】（1）105°；
（2）16．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝50°，
∴∠BCA＝40°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝40°+65°＝105°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝＝5，
S△ABC＝×3×4＝6，
由旋转可得DE＝AC＝5，∠ADE＝∠B＝90°，
∴S△ACE＝×5×4＝10，
∴S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝6+10＝16．