沪科版七年级数学下册举一反三系列专题9.1分式【十大题型】特训(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册举一反三系列专题9.1分式【十大题型】特训(原卷版+解析)，共26页。

专题9.1 分式【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc8144" 【题型1 分式的概念辨析】  PAGEREF _Toc8144 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2692" 【题型2 分式有意义的条件】  PAGEREF _Toc2692 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18476" 【题型3 分式值为零的条件】  PAGEREF _Toc18476 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc9690" 【题型4 分式的求值】  PAGEREF _Toc9690 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22797" 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】  PAGEREF _Toc22797 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27183" 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】  PAGEREF _Toc27183 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18510" 【题型7 分式的规律性问题】  PAGEREF _Toc18510 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1103" 【题型8 分式的基本性质】  PAGEREF _Toc1103 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27746" 【题型9 约分与通分】  PAGEREF _Toc27746 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc16983" 【题型10 运用分式的基本性质求值】  PAGEREF _Toc16983 \h 6【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1 分式的概念辨析】【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x−1,12,2022x中，分式的个数有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1□是分式，则□不可以是（　　）A．3π B．x+1 C．c−3 D．2y【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2x，②x2来说，有下列说法，正确的是（    ）A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？x+1x+2,m−3m,2−b5a,a+3b5,43−2x,1x+y,m−n4,−23y−1,2x2x,1π(x+y)，整式{ _______…}；分式{________…}．【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（    ）A．a−1a2+1 B．a+1a2 C．1a2−1 D．1a+1【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（    ）A．−3 B．−32 C．32 D．3【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x−3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（    ）A．x≠3 B．x≠3且x≠−3 C．x≠0且x≠−3 D．x≠−3【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m−2)(m+3)的值为零，则m=______．【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x2−11−x的值为零，则x的值为________．【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−yx+1的值为0，则x、y满足的条件为______．【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 _____．【题型4 分式的求值】【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值______．【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．解：由xx2+1=13知，x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7.所以x2x4+1=17.该题的解法叫做“倒数法”．已知：xx2−3x+1=15请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值．求2x2−8x+1x2的值．【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为______【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（   ）A．x＞0 B．x＞-4C．x≠0 D．x＞-4且x≠0【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+11−3x的值为负的条件是（   ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＞13 D．x＜13【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x−12的值大于零，则 x 的取值范围是_______________【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x−23x−2的值是负数，则x的取值范围是（    ）.A．2323或x<−2C．−20,S1=1a,S2=−S1−1,S3=1S2,S4=S3−1,S5=1S4，·……，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1），按此规律，S2020=_______________________．【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。【题型8 分式的基本性质】【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（    ）A．−x−y−x+y＝x−yx+y B．a2−b2(a−b)2＝a+bC．a2−b2(a−b)2＝a−b D．x−11−x2＝−1x+1【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.2−0.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，得（　　　）A．x2−0.5+0.01x3=1 B．5x−50+x3=100C．x20−0.5+0.01x3=100 D．5x−50+x3=1【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）A．变为原来的3倍 B．变为原来的13 C．不变 D．变为原来的19【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式2−3x2+x−5x3+2x−3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A．3x2+x+25x3+2x−3 B．3x2−x+25x3+2x−3 C．3x2+x−25x3−2x+3 D．3x2−x−25x3−2x+3【题型9 约分与通分】【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）A．x+1x2−1约分的结果是1xB．分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x﹣1C．2xx2约分的结果是1D．化简x2x2−1﹣1x2−1的结果是1【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的最简公分母是_____________________【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式(1)12x5y2z4−18x3z7(2)m2−3m9−m2(3)a2+aba2+2ab+b2(4)(b−a)22(a−b)【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．（1）12ab3和25a2b2c        （2）a2xy和b3x2（3）3c2ab2和a8bc2        （4）1y−1和1y+1【题型10 运用分式的基本性质求值】【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值为（　　）A．2 B．3 C．－1 D．1【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=________．【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．专题9.1 分式【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc8144" 【题型1 分式的概念辨析】  PAGEREF _Toc8144 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2692" 【题型2 分式有意义的条件】  PAGEREF _Toc2692 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18476" 【题型3 分式值为零的条件】  PAGEREF _Toc18476 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9690" 【题型4 分式的求值】  PAGEREF _Toc9690 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc22797" 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】  PAGEREF _Toc22797 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc27183" 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】  PAGEREF _Toc27183 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18510" 【题型7 分式的规律性问题】  PAGEREF _Toc18510 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc1103" 【题型8 分式的基本性质】  PAGEREF _Toc1103 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc27746" 【题型9 约分与通分】  PAGEREF _Toc27746 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc16983" 【题型10 运用分式的基本性质求值】  PAGEREF _Toc16983 \h 19【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1 分式的概念辨析】【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x−1,12,2022x中，分式的个数有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据分式的定义，即可求解．【详解】解∶分式有1x+y,3y+22x−1,2022x，共3个．故选：B【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如AB（其中A、B都是整式，且B≠0）的式子叫做分式是解题的关键．【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1□是分式，则□不可以是（　　）A．3π B．x+1 C．c−3 D．2y【答案】A【分析】根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：∵1□是分式，∴分母中含字母，而3π是一个常量，故选项A不满足．故选：A．【点睛】本题考查分式的定义，理解形如AB，B中含有字母且B≠0的式子称为分式是解题关键．【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2x，②x2来说，有下列说法，正确的是（    ）A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式【答案】B【分析】根据分式的定义判定即可．【详解】解：①2x是分式，②x2是整式不是分式，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如AB，A、B为整式，且B中含有字母，叫分式．【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？x+1x+2,m−3m,2−b5a,a+3b5,43−2x,1x+y,m−n4,−23y−1,2x2x,1π(x+y)，整式{ _______…}；分式{________…}．【答案】     a+3b5，m−n4，1π(x+y)     x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：a+3b5，m−n4，1π(x+y)的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x的分母中含有字母，因此是分式．故答案为：a+3b5，m−n4，1π(x+y)；x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x．【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简.【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（    ）A．a−1a2+1 B．a+1a2 C．1a2−1 D．1a+1【答案】A【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可．【详解】解：A、分母a2+1≥1故选项正确，符合题意；B、当a=0，分母a2为零，故选项错误，不符合题意；C、当a=±1，分母a2−1为零故选项错误，不符合题意；D、当a=-1，分母a+1为零故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况．【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（    ）A．−3 B．−32 C．32 D．3【答案】B【分析】先将x=3代入分式x−bx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当x=3，x−bx+2b=3−b3+2b，∵分式3−b3+2b没有意义，∴3+2b=0，∴b=−32，故选：B．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x−3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（    ）A．x≠3 B．x≠3且x≠−3 C．x≠0且x≠−3 D．x≠−3【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．【详解】解：∵x2+6x+9≠0，∴（x+3）2≠0，∴x+3≠0，∴x≠−3，∴分式x−3x2+6x+9有意义，x的取值范围x≠−3，故选：D．【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．【答案】1x2+1【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可．【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，∴x2+1≠0，∴1x2+1是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，故答案为：1x2+1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零．【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m−2)(m+3)的值为零，则m=______．【答案】-2【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值．【详解】解：根据题意，得m+2=0，且m−2≠0、m+3≠0；解得m=−2；故答案是：−2．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x2−11−x的值为零，则x的值为________．【答案】x=−1【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即可得到答案．【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x2−1=0，且1−x≠0，解得：x=−1，故答案为：x=−1．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−yx+1的值为0，则x、y满足的条件为______．【答案】x=y且x≠−1【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案．【详解】解：∵x−yx+1=0，∴x+1≠0x−y=0，解得x=y且x≠−1．故答案为：x=y且x≠−1．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 _____．【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．【详解】解：∵分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，则x﹣2＝﹣1．则x＝1故答案为：1．【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．【题型4 分式的求值】【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．【答案】16【分析】设x2=y3=z4=k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．【详解】设x2=y3=z4=k，根据题意有，k≠0，则有x=2k，y=3k，z=4k，即xy−x2yz=2k3k−2k23k4k=6k2−4k212k2=16，故答案为：16．【点睛】本题考查为了分式的求值，设x2=y3=z4=k是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值______．【答案】为-1或3【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．【详解】∵a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，∴(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，∴m=-1；当a+b+c+d≠0时，m-3=0，m=3，综上，m=-1或m=3．故答案为：为-1或3．【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件．【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．解：由xx2+1=13知，x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7.所以x2x4+1=17.该题的解法叫做“倒数法”．已知：xx2−3x+1=15请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值．求2x2−8x+1x2的值．【答案】x2x4+x2+1=163；2x2−8x+1x2=61【分析】计算所求式子的倒数，再将x2x4+x2+1代入可得结论；将2x2−8x+1x2进行变形后代入即可.【详解】解：∵xx2−3x+1=15，且x≠0，∴x2−3x+1x=5，∴x+1x−3=5，∴x+1x=8，∴x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1=63，∴x2x4+x2+1=163∵x+1x=8∴x2-8x=-1 ∴2x2−8x+1x2=x2+1x2+x2−8x=x+1x2-2-1=64-2-1=61【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为______【答案】−16【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x，将y= - 2x代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x，z=-x，代入上式xy+yz+zxx2+y2+z2=x·−2x+−2x·−x+−x·xx2+−2x2+−x2=−2x2+2x2−x2x2+4x2+x2=−x26x2=−16故答案为：−16【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（   ）A．x＞0 B．x＞-4C．x≠0 D．x＞-4且x≠0【答案】D【分析】若x+4x2的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．【详解】解：∵x+4x2＞0，∴x＋4＞0，x≠0，∴x＞−4且x≠0．故选：D．【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式ab（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式ab（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+11−3x的值为负的条件是（   ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＞13 D．x＜13【答案】C【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．【详解】∵x2+1≥0∴若使分式的值为负，则1−3x<0解得x＞13故答案为x＞13．【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x−12的值大于零，则 x 的取值范围是_______________【答案】x＞-1【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.【详解】∵x−12≥0 而x-1≠0∴x−12≻0∵分式x+1x−12的值大于零∴x+1＞0x＞-1故答案为：x＞-1【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x−23x−2的值是负数，则x的取值范围是（    ）.A．2323或x<−2C．−20,3x−2<0或x−2<0,3x−2>0,∴x<−2或230,S1=1a,S2=−S1−1,S3=1S2,S4=S3−1,S5=1S4，·……，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1），按此规律，S2020=_______________________．【答案】−1a+1【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此题得解．【详解】解：S1＝1a，S2＝﹣S1﹣1＝﹣1a﹣1＝﹣1+aa，S3＝1S2＝﹣aa+1，S4＝﹣S3﹣1＝aa+1﹣1＝﹣1a+1，S5＝1S4＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，S7＝1S6＝1a，…，∴Sn的值每6个一循环．∵2020＝336×6+4，∴S2020＝S4＝﹣1a+1故答案为：﹣1a+1【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。【题型8 分式的基本性质】【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（    ）A．−x−y−x+y＝x−yx+y B．a2−b2(a−b)2＝a+bC．a2−b2(a−b)2＝a−b D．x−11−x2＝−1x+1【答案】D【分析】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可．【详解】因为−x−y−x+y=−(x+y)−(x−y)=x+yx−y，所以A错误；因为a2−b2(a−b)2=(a+b)(a−b)(a−b)2=a+ba−b，所以B、C都错误；因为x−11−x2=x−1(1−x)(1+x)=−(1−x)(1−x)(1+x)=−11+x，所以D正确；故选D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因式分解的能力是解题的关键．【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.2−0.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，得（　　　）A．x2−0.5+0.01x3=1 B．5x−50+x3=100C．x20−0.5+0.01x3=100 D．5x−50+x3=1【答案】D【分析】根据分式的基本性质求解．　　【详解】解：将x0.2−0.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，可得5x−50+x3=1．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）A．变为原来的3倍 B．变为原来的13 C．不变 D．变为原来的19【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：3x−3ya⋅3x⋅3y＝13⋅x−yaxy，∴若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的13 ，故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式2−3x2+x−5x3+2x−3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A．3x2+x+25x3+2x−3 B．3x2−x+25x3+2x−3 C．3x2+x−25x3−2x+3 D．3x2−x−25x3−2x+3【答案】D【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式=−(3x2−x−2)−(5x3−2x+3)=3x2−x−25x3−2x+3．故选D．【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．【题型9 约分与通分】【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）A．x+1x2−1约分的结果是1xB．分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x﹣1C．2xx2约分的结果是1D．化简x2x2−1﹣1x2−1的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．【详解】解：A、x+1x2−1＝1x−1 ，故本选项错误；B、分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；C、2xx2＝2x ，故本选项错误；D、x2x2−1﹣1x2−1＝1，故本选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的最简公分母是_____________________【答案】ab(a+b)(a-2b)【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案．【详解】解：分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的分母依次为：a2+ab=a(a+b)，ab+b2=b(a+b)，a2−ab−2b2=(a+b)(a−2b) 故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)故答案为：ab(a+b)(a-2b)【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式(1)12x5y2z4−18x3z7(2)m2−3m9−m2(3)a2+aba2+2ab+b2(4)(b−a)22(a−b)【答案】(1)−2x2y23z3(2)−mm+3(3)aa+b(4)a−b2【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.（1）解：12x5y2z4−18x3z7=−6x3z4⋅2x2y26x3z4⋅3z3=−2x2y23z3；（2）解：m2−3m9−m2=m(m−3)−(m+3)(m−3)=−mm+3；（3）解：a2+aba2+2ab+b2＝a(a+b)(a+b)2=aa+b；（4）解：(b−a)22(a−b)=(a−b)22(a−b)=a−b2．【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．（1）12ab3和25a2b2c        （2）a2xy和b3x2（3）3c2ab2和a8bc2        （4）1y−1和1y+1【答案】（1）5ac10a2b3c，4b10a2b3c；（2）3ax6x2y，2by6x2y；（3）12c38ab2c2，a2b8ab2c2；（4）y+1y2−1，y−1y2−1．【分析】解答此题的关键是求出公分母，再通分．（1）两式的最简公分母为10a2b3c；（2）两式的最简公分母为6x2y；（3）两式的最简公分母为8ab2c2；（4）两式的最简公分母为y2-1.【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，故12ab3=1×5ac2ab3⋅5ac=5ac10a2b3c，25a2b2c=2×2b5a2b2c⋅2b=4b10a2b3c；（2）两式的最简公分母为6x2y，故a2xy=a⋅3x2xy⋅3x=3ax6x2y，b3x2=b⋅2y3x2⋅2y=2by6x2y，（3）两式的最简公分母为8ab2c2，故3c2ab2=3c⋅4c22ab2⋅4c2=12c38ab2c2a8bc2=a⋅ab8bc2⋅ab=a2b8ab2c2，（4）两式的最简公分母为y2-1，故1y−1=y+1y2−1，1y+1=y−1y2−1．【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．【题型10 运用分式的基本性质求值】【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值为（　　）A．2 B．3 C．－1 D．1【答案】D【分析】根据分式的基本性质，将原式化为acabc+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1，从而得到ac1+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1，进而得到bbc+b+1+ac+cac+c+1，再次利用分式的基本性质变形，即可求解．【详解】解：∵abc=1，∴aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=acabc+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1 =ac1+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1 =bbc+b+1+ac+cac+c+1 =bbc+b+1+abc+bcabc+bc+b =bbc+b+1+bc+1bc+b+1 =bc+b+1bc+b+1 =1 ．故选：D【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=________．【答案】−18##-0.125【分析】根据1x−1y=2得出y−x=2xy，然后将x−y+xy2xy−3x+3y进行变形，求值即可．【详解】解：∵1x−1y=2，∴y−x=2xy，x−y+xy2xy−3x+3y=−y−x+xy2xy+3y−x=−2xy+xy2xy+3×2xy=−xy8xy=−18故答案为：−18．【点睛】本题主要考查了代数式求值，由1x−1y=2得出y−x=2xy，将x−y+xy2xy−3x+3y变形为−y−x+xy2xy+3y−x，是解题的关键．【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？【答案】abcbc+ac+ab=13【分析】根据aba+b=1，得出a+bab=1，也即1a+1b=1，同理可得出1b+1c=2，1c+1a=3，继而得出1a+1b+1c=3，通分可得到bc+ac+ababc=3，倒过来即是abcbc+ac+ab=13.【详解】∵aba+b=1，∴a+bab=1，∵bcb+c=12，∴b+cbc=2，∵aca+c=13，∴a+cac=3，∴1a+1b=1，1b+1c=2，1c+1a=3，∴1a+1b+1c=3，∴bc+ac+ababc=3，∴abcbc+ac+ab=13.【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系.【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．【答案】1198【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．【详解】解：由bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，可将每个等式的左右两边相乘得：abcdef5abcdef=1，∴abcdef=1，bcdef⋅aa⋅a=1a2=12，∴a2=2，同理可得：b2=4，c2=8，d2=12，e2=14，f2=18，∴a2+b2+c2+d2+e2+f2=1198；故答案为1198．【点睛】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．