2024年山东省枣庄市枣庄市第四十一中学九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024年山东省枣庄市枣庄市第四十一中学九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）等边三角形的边长为2，则它的面积为
A．B．C．D．1
2、（4分）如图，在中，，，，延长到点，使，交于点，在上取一点，使，连接．有以下结论：①平分；②；③是等边三角形；④，则正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4、（4分）如图，l1∥l2，▱ABCD的顶点A在l1上，BC交l2于点E．若∠C＝100°，则∠1+∠2＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
5、（4分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是( )
A．①③B．②③C．③④D．①④
6、（4分）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图1．两次旋转的角度分别为（ ）
A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°
8、（4分）正方形的边长为，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若x1,x2是方程x2+x−1=0的两个根,则x12+x22=____________.
10、（4分）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．
11、（4分）在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在第_____象限．
12、（4分）若关于x的分式方程无解． 则常数n的值是______．
13、（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某公司欲招聘一名公务人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示：
（1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为作为公务人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
15、（8分）某市教委为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，其中有一项是短跑运动，短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和李亮在课外活动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
成绩统计分析表
（1）张明第2次的成绩为__________秒；
（2）请补充完整上面的成绩统计分析表；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？ 请说明理由.
16、（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣2，1），C（﹣1，1）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，写出△A1B1C1的各顶点的坐标，并画出△A1B1C1．
17、（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．
18、（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元.为了多销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价2元，每天可多售出4箱.
(1)如果要使每天销售饮料获利14000元，则每箱应降价多少元?
(2)每天销售饮料获利能达到15000元吗?若能，则每箱应降价多少元?若不能，请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式=__________.
20、（4分）如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．
21、（4分）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2，则BC的长为______．
22、（4分）如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠且高度恰好相同．此时测得墙上影子高，，（点A、E、C在同一直线上）．已知小明身高EF是1.6m，则楼高AB为______m．
23、（4分）方程x2＝2x的解是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？
25、（10分）如图，直线交x轴于点A，y轴于点B．
（1）求线段AB的长和∠ABO的度数；
（2）过点A作直线L交y轴负半轴于点C，且△ABC的面积为，求直线L的解析式．
26、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
过等边三角形一条边做高,所以底边被分成了相等的两半,用勾股定理求出高等于,再用三角形面积公式可得:2×=.
【详解】
过等边三角形一条边做高,
所以底边被分成了相等的两半,
根据勾股定理可得:
高等于,
由三角形面积公式可得:
2×=.
故选A.
本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用,解决本题的关键熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理.
2、D
【解析】
先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE=60°即可判断①②；利用差可求得结论：∠CDE=∠BCE-∠ACB=60°，即可判断③；证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换即可判断④．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；
所以①②正确；
∵CA=CB，CB=CE，
∴CA=CE，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BCE=180°-15°-15°=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=150°-90°=60°，
∴△ACE是等边三角形；
所以③正确；
∵,∠EDC=60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°，
∴∠ACD=∠GCE=45°，
∵AC=CE，
∴△ACD≌△ECG，
∴EG=AD，
∴DE=EG+DG=AD+DC，
所以④正确；
正确的结论有：①②③④；
故选：D．
本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用．
3、B
【解析】
由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】
11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4、C
【解析】
由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
5、A
【解析】
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【详解】
解：∵直线y1=kx经过第一、三象限，
∴k＞0，故①正确；
∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴，
∴b＜0，故②错误；
∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；
当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误．
故选：A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
6、D
【解析】
当 时，是抛物线的顶点，代入求出顶点坐标即可．
【详解】
由题意得，当 时，是抛物线的顶点
代入到抛物线方程中
∴顶点的坐标为
故答案为：D．
本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．
7、A
【解析】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质. 图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图1中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB．
解：根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图1．
故选A．
8、D
【解析】
作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形，计算GH和BH的长，可解答．
【详解】
解：过G作GH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵四边形AEFG是正方形，AE=AB=2，
∴∠EAG=90°，AG=2，
∴∠HAG=45°，
∵∠AHG=90°，
∴AH=GH=，
∴G（，2+），
故选：D．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，掌握等腰直角三角形各边的关系是关键，理解坐标与图形性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．
【详解】
∵x1，x2是方程x2+x−1=0的两个根，
∴x1+x2=−=−=−1, x1•x2===−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=(−1)2−2×(−1)=1+2=3.
故答案是：3.
本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系.
10、y=x（答案不唯一）
【解析】
试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠1），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞1．
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
11、二
【解析】
根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【详解】
解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0，
∴x＜0，-y＞0，
点B（x，-y）在第二象限，
故答案为：二．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
12、1或
【解析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解，使原方程的分母等于1．
【详解】
解：两边都乘（x−3），得3−2x＋nx−2＝−x＋3，
解得x＝，
n＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
∴当x＝3时分母为1，方程无解，
即＝3，
∴n＝时，方程无解；
故答案为：1或．
本题考查了分式方程无解的条件，掌握知识点是解题关键．
13、1
【解析】
先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．
【详解】
由题意可知，（1+a+7+8+3）÷5=5，
a=3，
这组数据从小到大排列3，3，1，7，8，
所以，中位数是1．
故答案是：1．
考查平均数与中位数的意义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)甲将被录取；(2)乙将被录取.
【解析】
（1）求得面试和笔试的平均成绩即可得到结论；
（2）根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：（1）＝＝89（分），
＝＝87.5（分），
因为＞，
所以认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，甲将被录取；
（2）甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10＝87.6（分），
乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10＝88.4（分），
因为乙的平均分数较高，
所以乙将被录取．
此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．
15、（1）13.4；（2）13.3 ，13.3；（3）选择张明
【解析】
根据折线统计图写出答案即可
根据已知条件求得中位数及平均线即可，中数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
根据平均线一样，而张明的方差较稳定，所以选择张明.
【详解】
（1）根据折线统计图写出答案即可，即13.4；
（2）中数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即是13.3 ，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.即（13.2+13.4+13.1+13.5+13.3）5=13.3；
（3）选择张明参加比赛.理由如下：
因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明的成绩较稳定，所以应该选择张明参加比赛．
本题考查平均数、中位数和方差，熟练掌握计算法则和它们的性质是解题关键.
16、（1）图形见解析；A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（1，﹣2）；（2）图形见解析；A2（1，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣1）；（1）图形见解析；A1（5，1），B1（1，2），C1（1，1）.
【解析】
（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（1）利用网格和旋转的性质画出△A2B1C1，然后写出△A2B1C1的各顶点的坐标．
【详解】
（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，1）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（1，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（1，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣1）；
（1）如图，△A2B1C1为所作，A1（5，1），B1（1，2），C1（1，1）.
17、10cm
【解析】
先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠30°，
∴∠ABC=60°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=DB，
在Rt△CBD中，CD=5cm，∠CBD=30°，
∴BD=10cm．
由勾股定理得，BC=5，
∴AB=2BC=10cm．
本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．
18、（1）每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元.（2）获利不能达到15000元.
【解析】
（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可；
（2）根据题意列出方程，然后用根的判别式去验证．
【详解】
(1)要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，
(120−x)(100+2x)=14000，
整理得x2−70x+1000=0，
解得x1=20，x2=50；
∵为了多销售，增加利润，
∴x=50
答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元.
(2)由题意得：(120−x)(100+2x)=1500，
整理得x2−70x+1500=0，
∵△=702−4×1500<0
∴方程无解，
∴获利不能达到15000元.
考核知识点：一元二次方程的应用.理解题意，列出方程是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据一元二次方程的解的定义得到a2-1a=5，再把8-a2+1a变形为8-（a2-1a），然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：把x=a代入x2-1x-5=0得a2-1a-5=0，
所以a2-1a=5，
所以8-a2+1a=8-（a2-1a）=8-5=1．
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20、
【解析】
利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．
【详解】
解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0），
∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，2）．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
21、
【解析】
由在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半得AC=2AB，再用运用勾股定理，易得BC的值．或直接用三角函数的定义计算.
【详解】
解：∵∠B=90°，∠C=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4，
由勾股定理得：
故答案为：．
本题考查了解直角三角形，要熟练掌握好边角之间的关系、勾股定理及三角函数的定义．
22、21.2
【解析】
过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．
【详解】
解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，
∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，
依题意知EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN， ，
即：，解得：BN=20，
∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2，
答：楼高为AB为21.2米.
本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．
23、x1＝0， x2＝2
【解析】
利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】
解：原方程化为：
所以：
所以： 或
解得：
故答案为：
本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
【解析】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据单价=总价÷数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据题意得：
300
解得：x=1．
经检验，x=1是原方程的解，∴2x=2．
答：购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25、（1）4，；（1）．
【解析】
（1）先分别求出点A、B的坐标，则可求出OA、OB的长，利用直角三角形的性质即可解答；
（1）根据三角形面积公式求出BC，进而求得点C坐标，利用待定系数法求解即可．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=，
∴B（0，），即OB=，
当y=0时，，解得x=1．
∴A（1，0），即OA=1 ，
在直角三角形ABO中，
∴AB===4，
∴ 直角三角形ABO中，OA=AB；
∴∠ABO=30˚；
（1）∵ △ABC的面积为，
∴ ×BC×AO=
∴ ×BC×1=，即BC=
∵ BO=
∴ CO=﹣=2
∴ C（0，﹣2）
设L的解析式为y=kx+b，则
，
解得
，
∴ L的解析式为y=﹣2．
本题考查了一次函数的图象与性质、含30º角的直角三角形、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握一次函数的图象与性质，会利用待定系数法求函数解析式是解答的关键．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证．
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∴∠ABE=∠EAD．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE．
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB．
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
应试者
面试
笔试
甲
86
90
乙
92
83