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苏科版（2024）八年级上册3.1 勾股定理课时作业
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这是一份苏科版（2024）八年级上册3.1 勾股定理课时作业，共68页。
【题型目录】
考点一 勾股定理的证明方法
考点二 勾股树问题
考点三 用勾股定理构造图形解决问题
考点四 勾股定理的折叠问题
考点五 勾股定理的逆定理
考点六 最短路径问题
考点七 勾股定理的其他应用
【考点一 勾股定理的证明方法】
【例题1】我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A．B．
C．D．
【变式1-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【变式1-3】我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边． 如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9，小正方形面积为5，则直角三角形中股和勾的差值为________．
【变式1-4】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【考点二 勾股树问题】
【例题2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）A．B．C．D．
【变式2-2】如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是_________．
【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________．
【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【考点三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6B．5C．13D．12
【变式3-1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【变式3-2】如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．
【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______．
【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m．
(1)请在图中画出牧童回家的最短路线；
(2)求出牧童回家最短路线的长度．
【考点四 勾股定理的折叠问题】
【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式4-1】如图，在中，，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么线段AD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．
【变式4-3】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
【变式4-4】如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
(1)求证：．
(2)求的长．
【考点五 勾股定理的逆定理】
【例题5】下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．在中，
C．三边长的平方之比为D．三边长分别为a，b，c，且．
【变式5-1】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（ ）
A．南偏西30°B．南偏东60°C．北偏西30°或南偏东30°D．南偏东60°或北偏西60°
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为_______．
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
【变式5-4】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【考点六 最短路径问题】
【例题6】如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【变式6-2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．
【变式6-3】如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_______．（取3）
【变式6-4】如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【考点七 勾股定理的其他应用】
【例题7】如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【变式7-1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（ ）
A．600mB．800mC．1000mD．无法计算
【变式7-2】如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动________m．
【变式7-3】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
【变式7-4】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【亮点训练】
1．下面几组数：①，，；②，，；③，，（均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．③④
2．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ）
A．8B．36C．64D．6
3．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）
A．132B．121C．120D．以上答案都不对
4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
5．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
6．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______．
8．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
10．动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
11．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长．
(2)求斜边边上的高．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)当t＝4.5秒时，求；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
14．如图，已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，E为AB边上一点.
(1)试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
(2)求证：AE2+BE2=EF2
15．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》
专题复习 勾股定理章末重难点题型
【题型目录】
考点一 勾股定理的证明方法
考点二 勾股树问题
考点三 用勾股定理构造图形解决问题
考点四 勾股定理的折叠问题
考点五 勾股定理的逆定理
考点六 最短路径问题
考点七 勾股定理的其他应用
【考点一 勾股定理的证明方法】
【例题1】我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理．
【详解】解：图1和图3：∵，，
∴，
∴，
∴，故图1和图3都可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
∴，
∴．故图2可以验证勾股定理；
图4不可以验证勾股定理．
综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个．
故选：C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
【变式1-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判新能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、大正方形的面积等于，也等于，
∴，
不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
C、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、梯形的面积等于，也等于2个直角三角形和一个等腰直角三角形的面积和，
∴，即
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
【变式1-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【答案】a2+b2＝c2
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
【变式1-3】我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边． 如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9，小正方形面积为5，则直角三角形中股和勾的差值为________．
【答案】1
【分析】设勾为x，股为y，根据面积求出xy＝2，根据勾股定理求出x2+y2＝5，根据完全平方公式求出y﹣x即可．
【详解】设勾为x，股为y（x＜y），
∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，
∴4×xy+5＝9，
∴xy＝2，
∵x2+y2＝5，
∴y﹣x＝＝＝＝1，
∴y﹣x＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此题的关键．
【变式1-4】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①3，②
(3)
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，．
（1）
解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）
①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）
如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
【考点二 勾股树问题】
【例题2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝77．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
【详解】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
【变式2-2】如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是_________．
【答案】
【分析】设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，根据正方形的面积公式和勾股定理依次计算即可．
【详解】如图，设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，且a=3，b=5，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．
所以，
所以
=
=47，
所以边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________．
【答案】 11，60，61 和
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵，
，
∴，
又∵，且为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：和．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【答案】(1)（49﹣1），（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，证明过程详见解析
(3)m，
【分析】（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．
（1）
解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）；
（2）
当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）．
如证明（ⅰ）：弦﹣股＝；
如证明（ⅱ）：；
（3）
当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，．
【点睛】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般．
【考点三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6B．5C．13D．12
【答案】C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半，即为尺，如图，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度为：（尺，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式3-1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【答案】D
【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．
【答案】10
【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．BE=CD，AE长度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根据勾股定理求出AC长．
【详解】
如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．
EB=CD=4m，EC=8m．
AE=AB－EB=10－4=6m．连接AC，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：
m，
故答案为10
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型，运用数学知识求解．
【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______．
【答案】1.5米
【分析】设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的一条直角边CD是0.8米，另一条直角边是人工湖BD为x米，斜边BC是竹竿的长米．根据勾股定理得，即可解答．
【详解】解：设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，由题意得，
，
解之得：
故答案为：1.5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．
【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m．
(1)请在图中画出牧童回家的最短路线；
(2)求出牧童回家最短路线的长度．
【答案】(1)见解析
(2)牧童回家最短路线的长度为1300 m
【分析】(1)作A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于P点，即为所求作的点；
(2)最短路程即是A'B的距离，过A'作A'F⊥BD的延长线于F，根据勾股定理求得即
可．
（1）
作A关于直线CD的对称点A'，连接A' B交CD于P点，即为所求作的点．
（2）
由作图可得最短路程为A' B的距离，过A'作A' F⊥BD的延长线于F，
则DF= A'C= AC = 500m，
A'F= CD = 500m，
BF= 700 + 500 = 1200m，
根据勾股定理可得，
A'B=( m)．
【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键综合运用勾股定理的知识．
【考点四 勾股定理的折叠问题】
【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，
在Rt△ABC中， ，
∴AB＝10，
BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得，
解得x＝3，
即CD＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【变式4-1】如图，在中，，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么线段AD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，然后利用折叠的性质求出AC′的长，在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．
∴AC′=10-6=4．
在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理得
．
解得x=3．
∴AD=8-x=5．
故选B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．
【答案】5
【分析】根据折叠是性质可知CD=，BC=，∠C=∠=90°，设DC=x，在△中，将三条边都表示出来，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=cm，
∵△BCD沿BD折叠得到△，
∴CD=，BC=，∠C=∠=90°，
设CD=x，则=x，AD=AC-CD=8-x，=AB-=10-6=4cm，
在Rt△中，根据勾股定理得：，
，解得：x=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质，根据折叠得到对应边和对应角之间的关系，并根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．
【变式4-3】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
【答案】或5
【分析】分两种情况进行分类讨论：①当时，求CE的长；②当时，求CE的长．
【详解】解：①如图1，当时，，
，
，
，是的中点，
．
②如图2，当时，由折叠性质知，
，
三点共线．
，
在中，，
设，
，
在中，，
．
综上所述，CE的长为：5或．
【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
【变式4-4】如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得证；
（2）先说明点D、E、F三点共线，再根据勾股定理即可求解．
（1）
证明：将沿折叠，使点落在长方形内点处，
，
，
是直角三角形，
；
（2）
解：由折叠的性质得：，，
又，
，
点，，在一条直线上，
四边形是矩形，
，，，
设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即．
解得：．
．
【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理、矩形的性质，解决本题的关键是勾股定理及其逆定理的运用．
【考点五 勾股定理的逆定理】
【例题5】下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．在中，
C．三边长的平方之比为D．三边长分别为a，b，c，且．
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和为180°进行判断能否构成直角三角形即可．
【详解】A、由三内角之比为可得最大角为，不是直角三角形，故此选项合题意；
B、由变形得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由三边长的平方之比为设三边长的平方为可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不合题意；
D、由1+ 2= 3，可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练应用知识点是解题的关键．
【变式5-1】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（ ）
A．南偏西30°B．南偏东60°C．北偏西30°或南偏东30°D．南偏东60°或北偏西60°
【答案】D
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【详解】解：如图：
∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，
∴甲客轮走了40×15=600（m），乙客轮走了40×20=800（m），
∵A、B两点的直线距离为1000m，
∴6002+8002=10002，
∴∠AOB=90°，
∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
同理可得：乙客轮的航行方向也可能是北偏西60°．
综上所述：乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为_______．
【答案】150°##150度
【分析】连接BD，根据AB=AD=6，∠A=60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD=8，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ADC=150°
【详解】解：连接BD，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，∠ADB=60°，
∵BC=10，CD=8，
则BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=150°
故答案为：150°
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
【答案】4.8##
【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴
∴是直角三角形，且
∴
∴，
∵，
∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理逆定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
【变式5-4】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【答案】(1)的长为
(2)的面积是
(3)和的周长的差是
【分析】（1）由勾股定理逆定理可确定为直角三角形，且．再由等积法即可求出AD的长；
（2）根据三角形中线的性质可求出，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据三角形中线的性质可得，即可求出．
（1）
∵，
∴，
∴为直角三角形，且．
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）
∵是的中线，
∴，
∴；
（3）
∵为边上的中线，
∴，
∴，
即和的周长的差是．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，三角形中线的性质．确定出为直角三角形，且是解题关键．
【考点六 最短路径问题】
【例题6】如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，分两种情况讨论，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：第一种情况如图所示，将长方体正面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）；
第二种情况如图所示，将长方体上面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）．
，
苍蝇所经过的最短距离为5cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，利用了两点之间线段最短的性质，将长方体展开成平面图，分类讨论是解题的关键．
【变式6-1】一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=；
如图2所示，，
如图3所示，，
∵，
∴蚂蚁所行的最短路线为5cm
故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题的根据．注意有三种不同的展开方式．
【变式6-2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．
【答案】25
【分析】根据长方体的侧面展开图计算后比较即可．
【详解】按照正面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得BE=AD=20，AE=BC+CD=15，
所以AB==25；
按照上面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得AD=10，BD=BC+CD=25，
所以AB=
故最小值为25；
故答案为：25．
【点睛】本题考查了长方体的侧面展开图，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．
【变式6-3】如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_______．（取3）
【答案】15厘米##
【分析】要想求得最短路程，首先要把和展开到一个平面内．根据两点之间线段最短、勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程即可．
【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，则即为最短路程（两点之间线段最短）．
由题意可知，这个矩形中，等于圆柱的底面周长的一半，即为厘米，等于圆柱的高，即为12厘米，
则（厘米），
即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米，
故答案为：15厘米．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内是解题关键．
【变式6-4】如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【答案】100cm
【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
【详解】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角△中，，，
．
最短路线长为．
【点睛】本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离.
【考点七 勾股定理的其他应用】
【例题7】如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【答案】B
【分析】先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
【变式7-1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（ ）
A．600mB．800mC．1000mD．无法计算
【答案】C
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，
∴OB＝40×20＝800（m），
OA＝40×15＝600（m），
在直角△OAB中，AB＝＝1000（m），
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．
【变式7-2】如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动________m．
【答案】2
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【详解】如图所示：
题意可得，AC＝6m，AB＝10m，
则BC＝＝＝8（m），
A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，
故B′C＝＝＝6（m），
则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C＝8﹣6＝2（m）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
【变式7-3】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
【答案】18
【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
【详解】
如图，过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，
由勾股定理得：（米），
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30米，
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式7-4】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
（1）
解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）
解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
【亮点训练】
1．下面几组数：①，，；②，，；③，，（均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．③④
【答案】B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边长，就是看是不是满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可．
【详解】解：①∵，
∴不能成为直角三角形的三边长；
②∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
③∵
=
=
=
∴能成为直角三角形的三边长．
④∵
=
≠
∴不能成为直角三角形的三边长；
∴②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时应该是两较短边的平方和等于最长边的平方．
2．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ）
A．8B．36C．64D．6
【答案】D
【分析】设正方形A的边长为，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设正方形A的边长为，
根据图形可知．
解得（负值舍去）
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
3．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）
A．132B．121C．120D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】设另外两边是a、b，根据勾股定理变形，即可解答．
【详解】解：设另外两边是a、b（a＞b）
则根据勾股定理，得：121
∵另外两边的长都是自然数
∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1
即另外两边的和是121，
故三角形的周长是132．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，根据另外两边的长都是自然数，熟练进行因式分解和因数分解是解题的关键．
4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出BC，即可判断．
【详解】解：如图，AB=10米，AC=6米，
在Rt△ABC中，=8米，
∵8<9，
∴大树倒下时不能砸到张大爷的房子，
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
5．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【分析】过点A作于H，在BC上截取，则的最小值是的长．
【详解】解：过A作于H，在BC上截取，
∵的平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴的最小值是的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AE+EF的最小值为4.8．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．
6．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解．
【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键．
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______．
【答案】136
【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得．
【详解】解：，
，
在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，，
在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，
， ，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
8．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
【答案】4
【分析】运用全等三角形的判定与性质、勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
则．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积是解决问题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
【答案】或
【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，
由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH，
∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，
∴BC＝10，
∵CD＝BC，
∴，
∵DE⊥AC，DE＝2
∴，
∴DH＝CD＝，
∴EH＝ED+DH＝2+＝，
设PC＝x，则PH＝x，PE＝x-，
∵，
∴ ，
解得，x＝，
即CP＝；
当P点在E点右边时，如图2，
由折叠知，DH＝DC＝，
∴EH＝DH﹣DE＝，
设PC＝a，则PE＝CE-PC＝-a，PH＝a，
∵ ，
∴，
解得，a＝，
即PC＝；
综上，PC＝或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
10．动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】3或5##5或3
【分析】分，两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解．
【详解】解：当时，
将沿直线折叠，点A的对应点为F，
，，
，，
，，
，
，
在中，．
，
，
当时，点与点重合时，，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠问题与勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长．
(2)求斜边边上的高．
【答案】(1)
(2)斜边AB边上的高是4.8
【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长；
（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高．
（1）
解：（1）∵在中，是边上的高，，，
∴，即，解得，
∵在中，，，
∴；
（2）
解：作于点F，
∵，，
∴，
解得，即斜边AB边上的高是4.8．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)当t＝4.5秒时，求；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)34
(2)6.5秒或12秒或秒
【分析】（1）由t＝4.5秒计算出BP，再用勾股定理计算即可；
（2）分BP＝AB，AP＝AB，PA＝PB三种情况讨论即可．
（1）
解：（1）由题意得：BP＝2t，
∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，
∵BC＝12，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，
∵∠ACP＝90°，
∴由勾股定理得：；
（2）
（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴，
①当BP＝AB＝13=2t时，t＝13÷2＝6.5秒；
②当AP＝AB时，△ABP是等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴C是BP的中点，（三线合一）
∴BP＝2BC＝24，则t＝24÷2＝12秒；
③当PA＝PB＝2t时，
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，，即
解得：t＝秒；
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或秒．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的存在性问题，等腰三角形的性质，根据题意分类讨论和用勾股定理列方程是解题的关键．
13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2)秒
(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时(如图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12(cm)，易求得t；③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
（1）
解： BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴；
（2）
解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝，
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）
解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ＝CQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm，
∴CQ＝AQ＝AC＝5cm，
∴BC＋CQ＝11cm，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如图2，
则BC＋CQ＝12cm，
∴t＝12÷2＝6秒；
③当BC＝BQ时，如图3，过B点作BE⊥AC于点E，则CE=EQ，
则BE＝＝4.8cm，
∴，即CE＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC＋CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
14．如图，已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，E为AB边上一点.
(1)试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
(2)求证：AE2+BE2=EF2
【答案】(1)AE=BF，见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCF即可得到AE=BF；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC=45°，利用全等三角形的性质得到∠CBF=∠A=45°，求出∠EBF=90°，即可得到结论．
（1）
AE=BF，理由如下：
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
（2）
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CBF=∠A=45°，
∴∠EBF=90°，
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
【答案】(1)见解析
(2)当为直角三角形时， 或；
(3)当为等腰三角形时，或或．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得．
（1）
在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∵，
∴△ABC为直角三角形；
（2）
若为直角三角形，由题意知BP=t，
①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合，
BP=BC=3，t=3，
②如图2所示，当为直角时，CP=t-3，
在中，根据勾股定理，
，
在，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为直角三角形时， 或；
（3）
若为等腰三角形时，由题意知BP=t，
①如图3所示，当时，，
②如图4所示，当时，
∵，
∴，
∴，
③如图5所示，当BP=AP时，，，
在中，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质．
【题型目录】
考点一 勾股定理的证明方法
考点二 勾股树问题
考点三 用勾股定理构造图形解决问题
考点四 勾股定理的折叠问题
考点五 勾股定理的逆定理
考点六 最短路径问题
考点七 勾股定理的其他应用
【考点一 勾股定理的证明方法】
【例题1】我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A．B．
C．D．
【变式1-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【变式1-3】我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边． 如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9，小正方形面积为5，则直角三角形中股和勾的差值为________．
【变式1-4】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【考点二 勾股树问题】
【例题2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）A．B．C．D．
【变式2-2】如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是_________．
【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________．
【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【考点三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6B．5C．13D．12
【变式3-1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【变式3-2】如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．
【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______．
【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m．
(1)请在图中画出牧童回家的最短路线；
(2)求出牧童回家最短路线的长度．
【考点四 勾股定理的折叠问题】
【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式4-1】如图，在中，，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么线段AD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．
【变式4-3】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
【变式4-4】如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
(1)求证：．
(2)求的长．
【考点五 勾股定理的逆定理】
【例题5】下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．在中，
C．三边长的平方之比为D．三边长分别为a，b，c，且．
【变式5-1】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（ ）
A．南偏西30°B．南偏东60°C．北偏西30°或南偏东30°D．南偏东60°或北偏西60°
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为_______．
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
【变式5-4】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【考点六 最短路径问题】
【例题6】如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【变式6-2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．
【变式6-3】如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_______．（取3）
【变式6-4】如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【考点七 勾股定理的其他应用】
【例题7】如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【变式7-1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（ ）
A．600mB．800mC．1000mD．无法计算
【变式7-2】如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动________m．
【变式7-3】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
【变式7-4】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【亮点训练】
1．下面几组数：①，，；②，，；③，，（均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．③④
2．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ）
A．8B．36C．64D．6
3．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）
A．132B．121C．120D．以上答案都不对
4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
5．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
6．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______．
8．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
10．动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
11．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长．
(2)求斜边边上的高．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)当t＝4.5秒时，求；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
14．如图，已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，E为AB边上一点.
(1)试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
(2)求证：AE2+BE2=EF2
15．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》
专题复习 勾股定理章末重难点题型
【题型目录】
考点一 勾股定理的证明方法
考点二 勾股树问题
考点三 用勾股定理构造图形解决问题
考点四 勾股定理的折叠问题
考点五 勾股定理的逆定理
考点六 最短路径问题
考点七 勾股定理的其他应用
【考点一 勾股定理的证明方法】
【例题1】我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理．
【详解】解：图1和图3：∵，，
∴，
∴，
∴，故图1和图3都可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
∴，
∴．故图2可以验证勾股定理；
图4不可以验证勾股定理．
综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个．
故选：C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
【变式1-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判新能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、大正方形的面积等于，也等于，
∴，
不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
C、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、梯形的面积等于，也等于2个直角三角形和一个等腰直角三角形的面积和，
∴，即
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
【变式1-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【答案】a2+b2＝c2
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
【变式1-3】我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边． 如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9，小正方形面积为5，则直角三角形中股和勾的差值为________．
【答案】1
【分析】设勾为x，股为y，根据面积求出xy＝2，根据勾股定理求出x2+y2＝5，根据完全平方公式求出y﹣x即可．
【详解】设勾为x，股为y（x＜y），
∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，
∴4×xy+5＝9，
∴xy＝2，
∵x2+y2＝5，
∴y﹣x＝＝＝＝1，
∴y﹣x＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此题的关键．
【变式1-4】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①3，②
(3)
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，．
（1）
解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）
①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）
如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
【考点二 勾股树问题】
【例题2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝77．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
【变式2-1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
【详解】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
【变式2-2】如图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是_________．
【答案】
【分析】设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，根据正方形的面积公式和勾股定理依次计算即可．
【详解】如图，设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，且a=3，b=5，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．
所以，
所以
=
=47，
所以边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2-3】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________．
【答案】 11，60，61 和
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵，
，
∴，
又∵，且为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：和．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
【变式2-4】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【答案】(1)（49﹣1），（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，证明过程详见解析
(3)m，
【分析】（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．
（1）
解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）；
（2）
当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）．
如证明（ⅰ）：弦﹣股＝；
如证明（ⅱ）：；
（3）
当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，．
【点睛】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般．
【考点三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例题3】如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6B．5C．13D．12
【答案】C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半，即为尺，如图，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度为：（尺，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式3-1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【答案】D
【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m．
【答案】10
【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．BE=CD，AE长度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根据勾股定理求出AC长．
【详解】
如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．
EB=CD=4m，EC=8m．
AE=AB－EB=10－4=6m．连接AC，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：
m，
故答案为10
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型，运用数学知识求解．
【变式3-3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______．
【答案】1.5米
【分析】设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的一条直角边CD是0.8米，另一条直角边是人工湖BD为x米，斜边BC是竹竿的长米．根据勾股定理得，即可解答．
【详解】解：设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，由题意得，
，
解之得：
故答案为：1.5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．
【变式3-4】如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m．
(1)请在图中画出牧童回家的最短路线；
(2)求出牧童回家最短路线的长度．
【答案】(1)见解析
(2)牧童回家最短路线的长度为1300 m
【分析】(1)作A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于P点，即为所求作的点；
(2)最短路程即是A'B的距离，过A'作A'F⊥BD的延长线于F，根据勾股定理求得即
可．
（1）
作A关于直线CD的对称点A'，连接A' B交CD于P点，即为所求作的点．
（2）
由作图可得最短路程为A' B的距离，过A'作A' F⊥BD的延长线于F，
则DF= A'C= AC = 500m，
A'F= CD = 500m，
BF= 700 + 500 = 1200m，
根据勾股定理可得，
A'B=( m)．
【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键综合运用勾股定理的知识．
【考点四 勾股定理的折叠问题】
【例题4】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，
在Rt△ABC中， ，
∴AB＝10，
BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得，
解得x＝3，
即CD＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【变式4-1】如图，在中，，按图中所示方法将沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么线段AD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，然后利用折叠的性质求出AC′的长，在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．
∴AC′=10-6=4．
在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理得
．
解得x=3．
∴AD=8-x=5．
故选B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．
【答案】5
【分析】根据折叠是性质可知CD=，BC=，∠C=∠=90°，设DC=x，在△中，将三条边都表示出来，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=cm，
∵△BCD沿BD折叠得到△，
∴CD=，BC=，∠C=∠=90°，
设CD=x，则=x，AD=AC-CD=8-x，=AB-=10-6=4cm，
在Rt△中，根据勾股定理得：，
，解得：x=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质，根据折叠得到对应边和对应角之间的关系，并根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．
【变式4-3】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
【答案】或5
【分析】分两种情况进行分类讨论：①当时，求CE的长；②当时，求CE的长．
【详解】解：①如图1，当时，，
，
，
，是的中点，
．
②如图2，当时，由折叠性质知，
，
三点共线．
，
在中，，
设，
，
在中，，
．
综上所述，CE的长为：5或．
【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
【变式4-4】如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得证；
（2）先说明点D、E、F三点共线，再根据勾股定理即可求解．
（1）
证明：将沿折叠，使点落在长方形内点处，
，
，
是直角三角形，
；
（2）
解：由折叠的性质得：，，
又，
，
点，，在一条直线上，
四边形是矩形，
，，，
设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即．
解得：．
．
【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理、矩形的性质，解决本题的关键是勾股定理及其逆定理的运用．
【考点五 勾股定理的逆定理】
【例题5】下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．在中，
C．三边长的平方之比为D．三边长分别为a，b，c，且．
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和为180°进行判断能否构成直角三角形即可．
【详解】A、由三内角之比为可得最大角为，不是直角三角形，故此选项合题意；
B、由变形得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由三边长的平方之比为设三边长的平方为可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不合题意；
D、由1+ 2= 3，可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练应用知识点是解题的关键．
【变式5-1】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（ ）
A．南偏西30°B．南偏东60°C．北偏西30°或南偏东30°D．南偏东60°或北偏西60°
【答案】D
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【详解】解：如图：
∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，
∴甲客轮走了40×15=600（m），乙客轮走了40×20=800（m），
∵A、B两点的直线距离为1000m，
∴6002+8002=10002，
∴∠AOB=90°，
∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
同理可得：乙客轮的航行方向也可能是北偏西60°．
综上所述：乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为_______．
【答案】150°##150度
【分析】连接BD，根据AB=AD=6，∠A=60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD=8，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ADC=150°
【详解】解：连接BD，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，∠ADB=60°，
∵BC=10，CD=8，
则BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=150°
故答案为：150°
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
【答案】4.8##
【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴
∴是直角三角形，且
∴
∴，
∵，
∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理逆定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
【变式5-4】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【答案】(1)的长为
(2)的面积是
(3)和的周长的差是
【分析】（1）由勾股定理逆定理可确定为直角三角形，且．再由等积法即可求出AD的长；
（2）根据三角形中线的性质可求出，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据三角形中线的性质可得，即可求出．
（1）
∵，
∴，
∴为直角三角形，且．
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）
∵是的中线，
∴，
∴；
（3）
∵为边上的中线，
∴，
∴，
即和的周长的差是．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，三角形中线的性质．确定出为直角三角形，且是解题关键．
【考点六 最短路径问题】
【例题6】如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，分两种情况讨论，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：第一种情况如图所示，将长方体正面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）；
第二种情况如图所示，将长方体上面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）．
，
苍蝇所经过的最短距离为5cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，利用了两点之间线段最短的性质，将长方体展开成平面图，分类讨论是解题的关键．
【变式6-1】一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=；
如图2所示，，
如图3所示，，
∵，
∴蚂蚁所行的最短路线为5cm
故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题的根据．注意有三种不同的展开方式．
【变式6-2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．
【答案】25
【分析】根据长方体的侧面展开图计算后比较即可．
【详解】按照正面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得BE=AD=20，AE=BC+CD=15，
所以AB==25；
按照上面和右侧进行展开，如图所示：
根据题意，得AD=10，BD=BC+CD=25，
所以AB=
故最小值为25；
故答案为：25．
【点睛】本题考查了长方体的侧面展开图，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．
【变式6-3】如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_______．（取3）
【答案】15厘米##
【分析】要想求得最短路程，首先要把和展开到一个平面内．根据两点之间线段最短、勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程即可．
【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，则即为最短路程（两点之间线段最短）．
由题意可知，这个矩形中，等于圆柱的底面周长的一半，即为厘米，等于圆柱的高，即为12厘米，
则（厘米），
即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米，
故答案为：15厘米．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内是解题关键．
【变式6-4】如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【答案】100cm
【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
【详解】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角△中，，，
．
最短路线长为．
【点睛】本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离.
【考点七 勾股定理的其他应用】
【例题7】如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【答案】B
【分析】先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
【变式7-1】放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，那么贝贝家与京京家的距离是（ ）
A．600mB．800mC．1000mD．无法计算
【答案】C
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵两人行走的速度都是40m/min．贝贝用15min到家，京京用20min到家，
∴OB＝40×20＝800（m），
OA＝40×15＝600（m），
在直角△OAB中，AB＝＝1000（m），
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．
【变式7-2】如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动________m．
【答案】2
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【详解】如图所示：
题意可得，AC＝6m，AB＝10m，
则BC＝＝＝8（m），
A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，
故B′C＝＝＝6（m），
则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C＝8﹣6＝2（m）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
【变式7-3】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
【答案】18
【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
【详解】
如图，过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，
由勾股定理得：（米），
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30米，
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式7-4】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
（1）
解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）
解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
【亮点训练】
1．下面几组数：①，，；②，，；③，，（均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．③④
【答案】B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边长，就是看是不是满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可．
【详解】解：①∵，
∴不能成为直角三角形的三边长；
②∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
③∵
=
=
=
∴能成为直角三角形的三边长．
④∵
=
≠
∴不能成为直角三角形的三边长；
∴②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时应该是两较短边的平方和等于最长边的平方．
2．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ）
A．8B．36C．64D．6
【答案】D
【分析】设正方形A的边长为，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设正方形A的边长为，
根据图形可知．
解得（负值舍去）
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
3．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）
A．132B．121C．120D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】设另外两边是a、b，根据勾股定理变形，即可解答．
【详解】解：设另外两边是a、b（a＞b）
则根据勾股定理，得：121
∵另外两边的长都是自然数
∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1
即另外两边的和是121，
故三角形的周长是132．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，根据另外两边的长都是自然数，熟练进行因式分解和因数分解是解题的关键．
4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出BC，即可判断．
【详解】解：如图，AB=10米，AC=6米，
在Rt△ABC中，=8米，
∵8<9，
∴大树倒下时不能砸到张大爷的房子，
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
5．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【分析】过点A作于H，在BC上截取，则的最小值是的长．
【详解】解：过A作于H，在BC上截取，
∵的平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴的最小值是的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AE+EF的最小值为4.8．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．
6．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解．
【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键．
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______．
【答案】136
【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得．
【详解】解：，
，
在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，，
在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，
， ，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
8．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
【答案】4
【分析】运用全等三角形的判定与性质、勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
则．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积是解决问题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
【答案】或
【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，
由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH，
∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，
∴BC＝10，
∵CD＝BC，
∴，
∵DE⊥AC，DE＝2
∴，
∴DH＝CD＝，
∴EH＝ED+DH＝2+＝，
设PC＝x，则PH＝x，PE＝x-，
∵，
∴ ，
解得，x＝，
即CP＝；
当P点在E点右边时，如图2，
由折叠知，DH＝DC＝，
∴EH＝DH﹣DE＝，
设PC＝a，则PE＝CE-PC＝-a，PH＝a，
∵ ，
∴，
解得，a＝，
即PC＝；
综上，PC＝或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
10．动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】3或5##5或3
【分析】分，两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解．
【详解】解：当时，
将沿直线折叠，点A的对应点为F，
，，
，，
，，
，
，
在中，．
，
，
当时，点与点重合时，，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠问题与勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长．
(2)求斜边边上的高．
【答案】(1)
(2)斜边AB边上的高是4.8
【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长；
（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高．
（1）
解：（1）∵在中，是边上的高，，，
∴，即，解得，
∵在中，，，
∴；
（2）
解：作于点F，
∵，，
∴，
解得，即斜边AB边上的高是4.8．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)当t＝4.5秒时，求；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)34
(2)6.5秒或12秒或秒
【分析】（1）由t＝4.5秒计算出BP，再用勾股定理计算即可；
（2）分BP＝AB，AP＝AB，PA＝PB三种情况讨论即可．
（1）
解：（1）由题意得：BP＝2t，
∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，
∵BC＝12，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，
∵∠ACP＝90°，
∴由勾股定理得：；
（2）
（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴，
①当BP＝AB＝13=2t时，t＝13÷2＝6.5秒；
②当AP＝AB时，△ABP是等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴C是BP的中点，（三线合一）
∴BP＝2BC＝24，则t＝24÷2＝12秒；
③当PA＝PB＝2t时，
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，，即
解得：t＝秒；
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或秒．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的存在性问题，等腰三角形的性质，根据题意分类讨论和用勾股定理列方程是解题的关键．
13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2)秒
(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时(如图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12(cm)，易求得t；③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
（1）
解： BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴；
（2）
解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝，
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）
解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ＝CQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm，
∴CQ＝AQ＝AC＝5cm，
∴BC＋CQ＝11cm，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如图2，
则BC＋CQ＝12cm，
∴t＝12÷2＝6秒；
③当BC＝BQ时，如图3，过B点作BE⊥AC于点E，则CE=EQ，
则BE＝＝4.8cm，
∴，即CE＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC＋CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
14．如图，已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，E为AB边上一点.
(1)试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
(2)求证：AE2+BE2=EF2
【答案】(1)AE=BF，见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCF即可得到AE=BF；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC=45°，利用全等三角形的性质得到∠CBF=∠A=45°，求出∠EBF=90°，即可得到结论．
（1）
AE=BF，理由如下：
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
（2）
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CBF=∠A=45°，
∴∠EBF=90°，
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
【答案】(1)见解析
(2)当为直角三角形时， 或；
(3)当为等腰三角形时，或或．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得．
（1）
在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∵，
∴△ABC为直角三角形；
（2）
若为直角三角形，由题意知BP=t，
①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合，
BP=BC=3，t=3，
②如图2所示，当为直角时，CP=t-3，
在中，根据勾股定理，
，
在，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为直角三角形时， 或；
（3）
若为等腰三角形时，由题意知BP=t，
①如图3所示，当时，，
②如图4所示，当时，
∵，
∴，
∴，
③如图5所示，当BP=AP时，，，
在中，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质．
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