2024-2025学年辽宁省抚顺市雷锋高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市雷锋高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是( )
A. BA1B. BD1C. BC1D. BB1
2.如图，AB圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，E为A1B1中点，则异面直线AD1与BE所成角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
4.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA= 6，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5.已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，且AB=a，AD=b，AA′=c，则a⋅(2a−b+3c)=( )
A. 1B. 2C. −1D. 3
6.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM=xOA+13OB+13OC，则x的值为 ( )
A. 1B. 0C. 3D. 13
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.已知a=(λ+1,2μ−1,1)，b=(6,0,λ).若a//b，则λ与μ的值可以是( )
A. λ=2,μ=12B. λ=−3,μ=12C. λ=−3，μ=2D. λ=12,μ=2
8.已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕，将BAD折起，使∠BDC成直角，则以下结论正确的有( )
A. 折后△ABC是直角三角形B. 面ABD⊥面BDC
C. 二面角B−AD−C的大小为90°D. ∠BAC=60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.若平面α//平面β，A，C∈α，B，D∈β，线段AB与线段CD交于点P，且AP=8，BP=9，CD=34，则CP= ______．
10.正方形ABCD在平面M的同一侧，若A、B、C三点到M的距离分别是2、3、4，则直线BD与平面M的位置关系是______．
11.棱长为a的正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为______，外接球的体积V= ______．
四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题12分)
如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
求：
(1)求点D到平面AEC的距离；
(2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积．
13.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE//平面PAD；
(2)若AP=2AB，求证：BE⊥CD．
14.(本小题13分)
如图所示，已知α⊥β，在α与β的交线上取线段AB= 3，且AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC=1，BD=2，求CD的长．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.B
6.D
7.AB
8.BCD
9.16
10.BD/​/平面M
11.13 68πa3
12.解：(1)因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，
所以D1D⊥AD，D1D⊥DC，
因为正方体棱长为a，E为DD1的中点，
所以AE=CE= a2+a24= 52a．
因为AC= 2a，所以S△ABC=12× 2a× 54a2−24a2= 64a2．
13× 6a24d=13×12a2×a2，d= 6a6．
(2)该球的直径为面对角线长，2R= 2a，
4R2=2a2，
该球的表面积4πR2=2a2π.
13.解：(1)证明：如图，；
取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形，
∴EM//PD，BM/​/AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM//平面APD；
而BE⊂平面EBM，
∴BE/​/平面PAD；
(2)如图，；
取PD的中点F，连接FE，
则FE//DC，BE/​/AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE/​/AF，
∴BE⊥平面PDC．
14.解：如图，

连接BC，∵α⊥β，α∩β=AB，BD⊂β，BD⊥AB，∴BD⊥α，
又∵BC⊂α，∴BD⊥BC，则△CBD为直角三角形．
在Rt△BAC中，有BC= AB2+AC2= 3+1=2，
在Rt△CBD中，有CD= BC2+BD2= 4+4=2 2．