2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知{a,b,c}为空间的一组基底，能与a+b,a−b组成基底的向量是( )
A. aB. bC. a+b+cD. a+2b
2.已知直线方程为x+3y−1=0，则( )
A. 斜率为3B. 倾斜角为arctan(−13)
C. 方向向量(3,1)D. 法向量是(1,3)
3.方程−y= 1−x2表示的曲线是( )
A. x轴上方的半圆B. x轴下方的半圆C. y轴左侧的半圆D. y轴右侧的半圆
4.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，∠ADC=90°，AD=AB=3，PD=4，DC=6，则DB与CP之间的距离为( )
A. 12 1717B. 12 1313C. 3 1717D. 3 1313
5.曲线2x2−y2−xy−8x+8y=0与x=3、x轴正半轴围成的凸四边形面积为( )
A. 133B. 143C. 5D. 163
6.如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=4MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA,PE=nPB,PF=tPC，则1m+1n+1t=( )
A. 154
B. 4
C. 174
D. 92
7.已知点A(−2,0)，B(2,0)，点P为直线l：2x+y−6=0上动点，当∠APB取最大值，点P的横坐标为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知e1,e2是空间单位向量，e1⋅e2=−12，若空间向量b满足b⋅e1=2,b⋅e2=3，且对于任意x,y∈R,|b−(xe1+ye2)|≥|b−(x0e1+y0e2)|=4 63(x0,y0∈R)，则|b|=( )
A. 5 2B. 5C. 5 5D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知：直线l1：csθx+sinθy=1，直线l2：csθx−sinθy=1，直线l3：sinθx+csθy=1，直线l4：sinθx−csθy=1，则下列正确的是( )
A. 对任意的θ∈R，l2⊥l3恒成立B. 对任意的θ∈R，l1//l4恒成立
C. 存在θ∈R，使得l1⊥l3成立D. 存在θ∈R，使得l2//l4成立
10.在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，底面为棱长是1的菱形，∠BAD=π3，若AP=mAD+nAB，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当m=12时，三棱锥P−BC1D1的体积为定值
B. 当n=12时，三棱锥P−BC1D1的体积为定值
C. 当m+n=1时，则PA1+PB1的最小值为 6+ 22
D. 若PD1= 5，则点P的轨迹长度为2π3
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，则下列结论正确的是( )
A. 若点P(1,3)，Q(2,4)，则d(P,Q)=2
B. 若对于三点A，B，C，则“d(A,B)+d(A,C)=d(B,C)”当且仅当“点A在线段BC上”
C. 若点M在圆x2+y2=4上，点P在直线x−2y+8=0上，则d(P,M)的最小值是8−2 5
D. 若点M在圆x2+y2=4上，点P在直线x−2y+8=0上，则d(P,M)的最小值是4− 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)、B(4,3)、C(2,−1)，则∠BAC角平分线所在直线斜率为______．
13.如图，圆台O1O2中，上、下底面半径比为1：2，ABCD为圆台轴截面，母线与底面所成角为π3，上底面中的一条直径EF满足∠DO2E=π3，则AE、BF夹角余弦值为______．
14.已知圆O：x2+y2=4上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2+y1y2=−12，则|3x1+4y1+10|+|3x2+4y2−10|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，过P(1,2)的直线l与坐标轴交于A、B，△OAB面积记为S．
(1)当直线l在x轴上截距为4时，求S的值；
(2)当S=6时，求直线l在x轴上的截距．
16.(本小题12分)
如图所示的几何体是由三棱锥A1−AB1C和三棱锥B−AB1C拼接而成，BB1=AA1=2，AB=A1B1=BC=1，A1C= 6且∠ABC=π2,BB1⊥平面ABC．
(1)求证：A，B，A1，B1四点共面；
(2)求直线B1C与平面AA1C所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，B(2,1)，C(4,3)，D(3,3− 3).
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为矩形，AB=AC=2，AA1=3，且∠CAA1=60°．
(1)求二面角C−A1B1−A的正弦值；
(2)设P为棱B1C1上的一个动点(包含端点)，直线CP与平面A1PB1所成角为θ，求sinθ的范围．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，△ABC满足∠ACB=90°，A(− 13,0)，B( 13,0)．
(1)求点C轨迹Γ的方程；
(2)已知点T在曲线Γ上，过点P(6,0)作⊙T的切线，与y轴交于E、F两点，
若⊙T的半径为1，
(ⅰ)求△PEF面积的范围，并说明理由；
(ⅱ)若⊙T与曲线Γ的两个交点记为M、N，Q(−2,−3)，QM、QN与⊙T分别交于不同于M、N的P1、P2两点，试判断P1P2斜率是否为定值，并说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.A
7.A
8.D
9.ACD
10.AD
11.AD
12.−12
13.0
14.20−10 3
15.解：(1)依题意，直线l过点(4,0)，
则其斜率为2−01−4=−23，方程为y=−23(x−4)，
令x=0，可得y=83，
则S=12×4×83=163；
(2)设直线l在x轴上的截距为a，
则直线l过点(a,0)，
故其斜率为2−01−a=21−a，方程为y=21−a(x−a)，
令x=0，可得y=2aa−1，
则S=12×|a|×|2aa−1|=6，解得a=3± 3或a=−3± 15，
则直线l在x轴上的截距为3± 3或−3± 15．
16.解：(1)证明：∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BC，
∴平面B1BC⊥平面ABC，∵平面B1BC∩平面ABC=BC，
∠ABC=π2，
∴AB⊥平面B1BC①，
∵BB1⊥BC，BB1=AA1=2，AB=A1B1=BC=1，A1C= 6，
∴B1C= BB12+BC2= 5，
∴B1A12+B1C2=AC2=6，
∴A1B1⊥B1C，∵BC⊥A1B1，BC∩B1C=C
∴A1B1⊥平面B1BC②，
由①②得：A1B1/​/AB，
∴A，B，A1，B1四点共面；
(2)∵∠ABC=π2，BB1⊥平面ABC，
∴BB1，BC，BA两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,2)，C(1,0,0)，A(0,1,0)，A1(0,1,2)，
∴B1C=(1,0,−2)，AA1=(0,0,2)，AC=(1,−1,0)，
设平面AA1C的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AA1=2z=0n⋅AC=x−y=0，解得x=1，y=1，z=0，
得平面的一个法向量n=(1,1,0)，
设直线B1C与平面AA1C所成角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅B1C||n|⋅|B1C|= 1010，
∴直线B1C与平面AA1C所成角的余弦值为 1010．
17.解：(1)证明：点AB的中点坐标为(1,2)，直线AB的斜率为−1，
可得线段AB的垂直平分线方程为y−2=x−1，
而线段AC的垂直平分线的方程为x=2，
可得过A，B，C的圆的圆心为(2,3)，半径为2，
即有圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，
代入D的坐标，可得1+3=4，即有D在圆上，故A，B，C，D四点共圆；
(2)若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，且为0，
设直线l的方程为x=my，由|2−3m| 1+m2=2，解得m=0或m=125，
即有直线l的方程为x=0和5x−12y=0；
若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，且不为0，
设直线l的方程为x+y=a(a≠0)，
由|2+3−a| 2=2，解得a=5±2 2，即有直线l的方程为x+y−5−2 2=0，x+y−5+2 2=0．
综上，可得直线l的方程为x=0和5x−12y=0，x+y−5−2 2=0，x+y−5+2 2=0．
18.解：(1)过C点作CD⊥AA1交AA1于D，过D点作DE/​/AB交BB1于E，如图，

因为平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，平面ACC1A1∩平面ABB1A1=AA1，
又CD⊂平面ACC1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，
因为AA1，DE⊂平面ABB1A1，所以CD⊥AA1，CD⊥DE，
因为四边形ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA1，则DE⊥AA1，
故以D为原点，DE，DA，DC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为在Rt△ACD中，AC=2，∠CAA1=60°，则AD=1,CD= 3，又AB=2，AA1=3，
则A(0,−1,0)，A1(0,2,0)，C(0,0, 3)，C1(0,3, 3)，B1(2,2,0)，
所以A1B1=(2,0,0)，A1C=(0,−2, 3)，
设平面CA1B1的法向量为n=(a,b,c)，
则A1B1⋅n=2a=0A1C⋅n=−2b+ 3c=0，取b= 3，则a=0，c=2，故n=(0, 3,2)，
易知平面AA1B1的法向量为m=(0,0,1)，
设二面角C−A1B1−A为α，则结合图象可知其为锐角，即0<α<π2，
所以csα=|cs|=|m⋅n||m||n|=|2|1× 3+4=2 77，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(2 77)2= 217，
所以二面角C−A1B1−A的正弦值为 217．
(2)由(1)得B1C1=(−2,1, 3)，CC1=AA1=(0,3,0)，
因为P为棱B1C1上的一个动点(包含端点)，
设PC1=λB1C1=(−2λ,λ, 3λ)(0≤λ≤1)，则PC=PC1+C1C=(−2λ,λ+3, 3λ)，
设平面A1B1C1的法向量为μ=(x,y,z)，
所以A1B1⋅μ=2x=0B1C1⋅μ=−2x+y+ 3z=0，取y= 3，则x=0，z=−1，故u=(0, 3,−1)，
因为直线CP与平面A1PB1所成角为θ，其中平面A1PB1与平面A1B1C1共面，
所以sinθ=|cs|=|PC⋅μ||PC||μ|=| 3(λ+3)− 3λ| 4λ2+(λ+3)2+3λ2×2=3 32 8λ2+6λ+9，
对于y=8λ2+6λ+9=8(λ+38)2+638(0≤λ≤1)，
所以y=8λ2+6λ+9在[0,1]上单调递增，
则ymin=9，ymax=8×12+6×1+9=23，
所以9≤8λ2+6λ+9≤23，
则3 6946=3 32 23≤3 32 8λ2+6λ+9≤3 32 9= 32，
所以snθ的取值范围为[3 6946, 32]．
19.解：(1)设C(x,y)，由题可知，CA=(− 13−x,−y)，CB=( 13−x,−y)，
CA⋅CB=0，|CA|≠0，|CB|≠0，得x2+y2=13(y≠0)，
所以点C轨迹T的方程为x2+y2=13(y≠0)．
(2)因为点T在曲线T上，设T( 13csα, 13sinα)(sinα≠0)，E(0,yE)，F(0,yF)，
直线PE的斜率为kE，直线PF的斜率为kF，设切线方程⊙T的切线方程为y=k(x−6)．
(ⅰ)易知yE=−6kE：yF=−6kF，所以S△EFP=12|EF|×|OP|=3|yE−yF|=18|kE−kF|，
由题可知T( 13csα, 13sinα)(sinα≠0)到直线y=k(x−6)的距离为1，
得| 13kcsα− 13sinα−6k| 1+k2=1，
整理得[( 13csα−6)2−1]k2−2 13sinα( 13csα−6)k+13sin2α−1=0，
显然Δ>0，
得kEkF=13sin2α−1( 13csα−6)2−1,kE+kF=2 13sinα( 13csα−6)( 13csα−6)2−1，
S△EFP=18|kE−kF|=18 (kE+kF)2−4kEkF
=18 (2 13sinα( 13csα−6)( 13csα−6)2−1)2−4(13sin2α−1)( 13csα−6)2−1
=18 (2 13sinα( 13csα−6)( 13csα−6)2−1)2−4(13sin2α−1)( 13csα−6)2−1
=72 3 4− 13csα[( 13csα−6)2−1]2，
令 4− 13csα=t∈( 4− 13, 4+ 13)，
得S△EPP=72 3t|(t2+2)2−1|=72 3t|t4+4t2+3|，
当 4− 13令ℎ(t)=tt4+4t2+3，得ℎ′(t)=t4+4t2+3−(4t4−8t2)(t4+4t2+3)2=−3t4−4t2+3(t4+4t2+3)2，
令ℎ′(t)=−3t4−4t2+3(t4+4t2+3)2=0，解得t= 13−23或t=− 13−23(舍)，
所以在t∈( 4− 13, 13−23)时，ℎ′(t)>0，ℎ(t)=tt4+4t2+3单调递增；
t∈( 13−23, 4+ 13,)，ℎ′(t)<0，ℎ(t)=tt4+4t2+3单调递减，
ℎ( 4− 13)= 3 4+ 1336，ℎ( 4+ 13)= 3 4− 1336，ℎ( 13−23)= 27 13−5420+8 13，
显然ℎ( 4+ 13)<ℎ( 4− 13)，
所以ℎ( 4+ 13)<ℎ(t)≤ℎ( 13−23)，
得 3 4− 1336所以S△EFP=72 3tt4+4t2+3∈(6 4− 13,(12 13−30) 13−2],
(ⅱ)由题得示意图，作直线P1N与圆Γ相交于点F，作直线P2M与圆Γ相交于点E，连接QE，QF，PT，P2T，过点P2作圆Γ的切线，

由切线的性质可知及逆平行线段性质可知，∠HP2M=∠P2NM=∠P2EQ，
所以直线P2H//QE，显然TP2⊥P2H，所以TP2⊥QE，
同理TP1⊥QF，所以∠EQF+∠P1TP2=π，
即∠EQF=2∠P2P1T，
易知，∠MQP2+∠QP2M=∠QME，
∠QP1N+∠QNF=∠QP1F，
∠QP1F+∠QP2E=π，
故∠QNF+∠QME=π，
所以QE=QF，
所以QO为∠EQF的角平分线，
所以有∠FQO=∠P2P1T，
因为TP1⊥QF，所以P1P2⊥OQ，
由题可知kOQ=32，所以P1P2的斜率是−23．