辽宁省抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：60分钟 满分：100分 命题教师：刘海刚
一、选择题：（每小题6分，共6道小题，满分36分.每小题只有一个正确选项.）
1. 在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方体性质判断A、C、D的正误，连接交于，连接，由中位线性质、线面平行的判定证平面判断B.
【详解】由，而面，A错误；
如图所示，连接交于，连接，
所以是的中点，又为的中点，
所以，而面，面，
所以平面，B正确.
由，而面，C错误；
由，而面，D错误；
故选：B
2. 如图，AB圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据是圆的直径，得出是直角三角形；平面，得出、是直角三角形；平面，得出是直角三角形，即可得结论.
【详解】是圆的直径，
，
是直角三角形；
又平面，平面
，，；
、是直角三角形；
又平面，
平面，面，
，
是直角三角形；
四面体的四个面中，直角三角形有4个．
故选：A．
3. 长方体中，,中点，则异面直线与所成角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据，可得异面直线与所成的角为，解三角形求得的大小.
【详解】画出长方体如下图所示，连接，由于，所以异面直线与所成的角为，在三角形中，，故三角形是等边三角形，所以.
故选C.
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题得∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角，解直角△PCA得解.
【详解】由题得∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角，
在△PAC中，AC=,PA=,
所以.
故选C
【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 已知正方体的棱长为1，且，，，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.
【详解】根据题意知，则，
所以.
故选：B
6. 已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ）
A. 1B. 0C. 3D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分）
7. 已知，.若，则与的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果.
【详解】根据题意，有且，得，解得，；
即可得，解得或；
因此与的值可以是或.
故选：AB
8. 已知 中，，是斜边上的高，以为折痕，将折起，使成直角，则以下结论正确的有（ ）
A. 折后是直角三角形B. 面⊥面
C. 二面角的大小为D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形边长的关系可判断AD，由面面垂直的定义证明判断B，根据二面角的平面角定义判断C．
【详解】由题意，，是等边三角形，，A错，D正确；
由于平面，所以平面，又平面，所以面⊥面，B正确；
由，知是二面角的平面角，又，因此C正确．
故选：BCD．
三、填空题：（每小题5分，共3道小题，满分15分）
9. 若平面平面，A，，B，，线段AB与线段CD交于点P，且，，，则________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意平面平面，利用平面平行的性质定理，可得，再根据点P的位置，利用成比例线段，即可求出的值．
【详解】平面平面
即，．
【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
10. 正方形ABCD在平面的同侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为2，3，4，则BD所在直线与平面的位置关系是______.
【答案】平行
【解析】
【分析】取，的中点，由梯形中位线定理求得，又可证平行四边形，从而得线线平行，进而由判定定理证明线面平行.
【详解】如图，正方形ABCD在平面的同侧，分别过作垂直于平面，
垂足为.
取，的中点， 则，
所以，由已知得，
则，
所以四边形是平行四边形，则.
即，平面，平面，
所以平面.
故答案为：平行.
11. 棱长为的正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为______，外接球的体积______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第1空，先利用等腰三角形三线合一得垂直关系找到二面角的平面角，再由余弦定理可求二面角的余弦值；第2空，先求正四面体的高，设出球心，在直角三角形中由勾股定理求球半径可得.
【详解】如图，正四面体中，取中点，连接，.

则，，
故即为正四面体相邻两面形成的二面角的平面角.
在中，，.
由余弦定理可得
故棱长为的正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为；
取底面的中心，连接，则平面.
设外接球球心为，由正四面体的性质可知，球心在线段上.连接.
在中，，
则正四面体的高，
设外接球半径为，则在中，，
且，
则，解得.
故外接球的体积.
故答案为：；.
四、解答题：（共3道小题，共37分.）
12. 如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为DD1的中点.

（1）求点D到平面AEC的距离；
（2）已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等体积法求得正确答案.
（2）先求得球的半径，进而求得球的表面积.
【小问1详解】
因为正方体中，平面，
由于平面，所以，.
因为正方体的棱长为，E为的中点，
所以.
因为，所以.
设到平面的距离为，，
，解得.
【小问2详解】
设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，，
所以该球的表面积.
13. 如图，四棱锥底面为直角梯形，其中，，底面，E是PC的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设PD的中点为F，利用线面平行的判定推理即得.
（2）由（1）的信息，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
【小问1详解】
设PD的中点为F，连接EF和AF，由E是PC的中点，得，且，
由为直角梯形，其中，得，又，
则，四边形是平行四边形，
于是，而平面，平面，
所以平面
小问2详解】
由平面，平面，得，
而,平面，则平面，
又平面，因此，由（1）知，
所以.
14. 已知，如图，二面角的大小为，在棱上取线段，分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，作，且使，利用二面角的定义，结合勾股定理、余弦定理求解即得.
【详解】作，且使，连接DE，则四边形为平行四边形，，
由，得，又，,，，则为二面角的平面角，
于是，而，
则，
又平面，则平面，可得，
所以，即.