2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={2,4}，则( )
A. 1⊆MB. 4⊆MC. 5∈MD. 3∉M
2.“ln(x−1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A. −10C. −13.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=lg0.50.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c4.函数f(x)=ln(x+2)x−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆C：x2+y2−4x−6y+4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，则12a+13b的最小值是( )
A. 2B. 3C. 6D. 4
6.已知函数f(x)=lga[x(a−x)](a>0，且a≠1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为( )
A. (1,2]B. (1,4]C. [2,+∞)D. [4,+∞)
7.若函数f(x)=2x−m,x<1x2−4mx+3m2,x≥1有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A. [13,1)B. (−∞,0)∪[1，+∞)
C. [1,2)D. [13,1)∪[2,+∞)
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，f(1+x)=f(3−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=x3−2x2+x，则方程6f(x)−x+1=0所有根之和为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是( )
A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若a>b，且1a>1b，则ab<0D. 若a>b>0，则ba10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PC⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )
A. |PQ|=2aB. PF1=−2QF1
C. C的离心率为 173D. 直线PQ的斜率为±4
11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是( )
A. 底面椭圆的离心率为 22
B. 侧面积为24 2π
C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D. 底面积为4 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=2−x−2x−x，则f(x2−3)+f(2x)<0的解集为______．
13.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a=2，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，则△ABC面积的最大值为______．
14.已知函数f(x)=xa−lgbx(a>1,b>1)有且只有一个零点，则ab的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列{an}是一个二阶等差数列，其中a1=1，a2=3，a3=6．
(1)求a4及{an}的通项公式；
(2)设bn=8an−4n8an−4n−1，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求QN：NC的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(ex−ax2).
(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值．
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．
18.(本小题15分)
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如表：
若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(0①若p=12，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.(本小题17分)
定义：若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A、B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A,B].已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(−2 2,0)，且椭圆C过点A(3,1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程；
(3)设O为坐标原点，点P、Q在椭圆C上，且PQ//OA，(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1、B2，且B1点的纵坐标大于0，设四点B1、P、B2、Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形B1PB2Q的面积小于8 3．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.D
6.D
7.C
8.B
9.BCD
10.ACD
11.ABD
12.(−∞,−3)∪(1,+∞)
13. 3
14.(e1e,+∞)
15.解：(1)由a1=1，a2=3，a3=6，得a2−a1=2，a3−a2=3，(a3−a2)−(a2−a1)=1，
由数列{an}是一个二阶等差数列，得{an+1−an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
因此an+1−an=2+(n−1)×1=n+1，a4=4+a3=10，
当n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=1+2+3+⋯+n=n2+n2，
a1=1满足上式，则an=n2+n2，
所以{an}的通项公式是an=n2+n2．
(2)由(1)知，bn=8an−4n8an−4n−1=8⋅n2+n2−4n8⋅n2+n2−4n−1=4n24n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=n+12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]
=n+12(1−12n+1)=n+n2n+1．
16.解：(1)证明：连接EM，由AB//CD，PQ//CD，得AB//PQ，
又AB=PQ，则四边形PABQ为平行四边形，
由点E和M分别为AP和BQ的中点，得EM//AB且EM=AB，
而AB//CD，CD=2AB，F为CD的中点，则EM//CF且EM=CF，
四边形EFCM为平行四边形，则EF//MC，
又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，
所以EF//平面MPC，得证；

(2)由PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，得直线DA，DC，DP两两垂直，
以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，
PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，
设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，则n⋅PM=x+y−z=0n⋅PQ=y=0，
取z=1，得n=(1,0,1)，
设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=(0,λ,−2λ)，
则N(0,λ+1,2−2λ)，DN=(0,λ+1,2−2λ)，
由直线DN与平面PMQ所成的角为π6，得sinπ6=|cs〈DN,n〉|=|DN⋅n||DN||n|，即12=|2−2λ| (λ+1)2+(2−2λ)2⋅ 2，
整理得3λ2−10λ+3=0，
而0≤λ≤1，解得λ=13，
所以QN：NC=1：2．
17.解：(1)f′(x)=ex−ax2+x(ex−2ax)=ex+xex−3ax2，
所以f′(−1)=−3a，因为曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，
所以f′(−1)=−3a=0，解得a=0，
所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，
当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=−1处取得极小值为f(−1)=−1e，无极大值．
(2)若f(x)=x(ex−ax2)在(0,+∞)只有一个零点，即函数g(x)=ex−ax2在(0,+∞)只有一个零点，
即方程ex−ax2=0在(0,+∞)只有一个根，即a=exx2在(0,+∞)只有一个根，
即函数y=a与ℎ(x)=exx2的图象在(0,+∞)只有一个交点，
ℎ′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=(x−2)exx3，
当x∈(0,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，f(x)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(2)=e24，当x→0时，ℎ(x)→+∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，
所以要使函数y=a与ℎ(x)=exx2的图象在(0,+∞)只有一个交点，
则a=e24．
18.解：(1)设事件M表示“学生答此题得6分”，
即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，
所以P(M)=0.8×(0.7+0.1)×0.6×(0.5+0.3)=0.3072；
(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
P(X=0)=12×2C41+12×1C41=38,P(X=2)=12×C31C41=38；
②对于方案I：记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则ξ的所有可能取值为0，2，3，
则P(ξ=0)=p×2C41+(1−p)×1C41=1+p4，
P(ξ=2)=(1−p)×C31C41=34(1−p)，
P(ξ=3)=p×C21C41=12p，
所以E(ξ)=0×1+p4+2×34(1−p)+3×12p=32；
对于方案Ⅱ：记ε为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则ε的所有可能取值为：0，4，6，
则P(ε=0)=p×C42−1C42+(1−p)×C31C42=13p+12，
P(ε=4)=(1−p)×C42−C31C42=12(1−p)，
P(ε=6)=p×1C42=16p，
所以E(ε)=0×(13p+12)+4×12(1−p)+6×16p=2−p，
要使唯独选择方案I最好，则2−p<320解得：12故P的取值范围为(12,1)．
19.解：(1)已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(−2 2,0)，且椭圆C过点A(3,1)，
所以c=2 29a2+1b2=1a2=b2+c2，
解得a2=12，b2=4，
则椭圆C的标准方程为x212+y24=1；
(2)不妨设[A,B]中点B的坐标为B(x,y)，
已知椭圆C上的点A(3,1)，
由“共轭点对”[A,B]的定义，可知直线l的方程为3x12+y4=0，
整理得x+y=0；
(3)联立x+y=0x212+y24=1，
解得x=− 3y= 3或x= 3y=− 3，
又B1点的纵坐标大于0，
所以B1(− 3, 3)，B2( 3,− 3)，
不妨设点P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，
此时xP212+yP24=1xQ212+yQ24=1，
两式相减得(xP−xQ)(xP+xQ)12+(yP−yQ)(yP+yQ)4=0，
又PQ//OA，
所以yP−yQxP−xQ=13，
此时yP+yQ=−(xp+xQ)，
即yP+yQ2=−xP+xQ2，
因为线段PQ被直线l平分，
不妨设点P(xP,yP)到直线x+y=0的距离为d，
此时四边形B1PB2Q的面积SB1PB2Q=2S△PB1B2=2×12×|B1B2|×d，
又B1(− 3, 3)，B2( 3,− 3)，
所以|B1B2|= (− 3− 3)2+( 3+ 3)2=2 6，
不妨设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为x+y=m，
当l1与椭圆C相切时，d取得最大值，

联立x+y=mx212+y24=1，消去y并整理得4x2−6mx+3(m2−4)=0，
令Δ=36m2−48(m2−4)=0，
解得m=±4，
当m=±4时，此时方程为4x2±24x+36=0，
即(x±3)2=0，
解得x=±3，
则点P或点Q必有一个和点A(3,1)重合，不符合题意，
所以直线l1与椭圆C不可能相切，
此时d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y=−4)的距离4 2=2 2，
故四边形SB1PB2Q=2×12×|B1B2|×d<2 6×2 2=8 3．选项
作出正确判断
判断不了(不选)
作出错误判断
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2

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