广东省陆河县河田中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省陆河县河田中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）
1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩N＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}
2．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞)B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)
3．已知，则（ ）
A．5B．11C．21D．27
4．不等式x2-9<0的解集为 ( )
A.{x|x<-3} B.{x|x<3} C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-35．命题“”的否定形式是（ ）
A．B．
C．或 D．或
6．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
7．函数y＝的值域是（ ）
A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)
8．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a9．函数（常数）的图像所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
10．已知a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
11．函数f(x)＝lg2x＋x－2的零点所在的区间是 ( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
12．函数y=lg2(x2-3x+2)的递减区间是 ( )
A. ( - ∞, 1 ) B. ( 2 , + ∞)
C. - ∞, 3 2 D. 3 2 ,+∞
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
13．某学院A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生．
14．已知，则
15．函数在上的最大值是 ．
16．函数（，且）必过定点 .
17．集合,集合,若,则实数 .
18．将一根长为的铁丝剪成两段，一段围成一个正方形，另一段围成一个圆，则当圆的半径为 时，正方形与圆的面积之和取得最小值．
三、解答题（本大题共4小题，第19、20、21题每小题10分，第22题12分，共42分）。
19．求值.
(1)且;
(2)
20．我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．
(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）
(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
21．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，点O1，O分别是上、下底面菱形的对角线的交点．
（1）求证：A1O∥平面CB1D1；
（2）求点O到平面CB1D1的距离．
22．已知函数f(x)＝1＋eq \f(1,x)－xα(α∈R)，且f(3)＝－eq \f(5,3).
(1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．
参考答案：
1．B 【详解】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩N＝{0，1}．
2．A 【详解】因为，所以，
3．C 【详解】．
4．D 【详解】由x2-9<0,可得 - 35．D 【详解】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“或”.
6．D 【详解】对于A，函数与函数的对应关系不同，不表示同一个函数，故A不正确；
对于B，函数与的对应关系不同，不表示同一个函数，故B不正确；
对于C，函数与的定义域不同，不表示同一个函数，故C不正确；
对于D，函数与的定义域和对应关系都相同，表示同一函数，故D正确.
7．B 【详解】由题意知，函数y＝的定义域为x∈R，则x2＋1≥1，所以y≥1.
8．A 【详解】解：由函数在0,+∞上单调递增，所以，
由于函数在上单调递减，所以，
由于函数在0,+∞上单调递增，所以，故.
9．B 【详解】因为函数在一、三象限，而函数可由函数向右平移个单位长度即可得到，所以经过一、三、四象限，
10．D 【详解】：由－1ab2>a.
11 B 【详解】函数f(x)＝lg2x＋x－2的图象在(0，＋∞)上连续不断，
f(1)＝0＋1－2<0，f(2)＝1＋2－2>0，故函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．.
12 A 【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=lg2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.
13．40 【解析】抽样比为1∶10，而C学院的学生有1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．
14． 【详解】令，则，，
所以，，所以.
0【详解】因在上单调减，故时，函数取得最大值为0.
16．【详解】因为，且，所以令，得，此时，
所以函数必过定点.
17．
【详解】.因为,所以.
当时,这时说明方程无实根,所以；
当时,这时说明是方程的实根,故；
当时,这时说明是方程的实根,故；
因为方程最多有一个实数根,故不可能成立.
18．【详解】设圆半径为，则正方形边长为，．
∴，当时，取得最小值．．
17．【详解】(1)
(2)原式
20、【详解】（1）由题意得，
（2）当时，由二次函数性质得，
当时，由基本不等式得，
则，当且仅当即时等号成立，
综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元
21 【详解】解：（1）因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1．
因为O1，O分别是A1C1，AC的中点，故OC∥A1O1且OC＝A1O1．
所以四边形A1O1CO为平行四边形，所以A1O∥O1C．
又平面CB1D1，平面CB1D1，
所以A1O∥平面CB1D1．
（2）（解法1等体积法．）
设点O到平面CB1D1的距离为h．因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．
因为AC，BD为菱形ABCD的对角线，所以CO⊥BD．
因为D1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．
在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，CO＝．
则点O到直线B1D1的距离为DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面积＝·DD1·B1D1＝．
所以三棱锥C-OB1D1的体积V＝·CO＝．
在中，CB1＝CD1＝，B1D1＝1，则的面积＝．
由V＝·h＝··h＝，得h＝．
因此，点O到平面CB1D1的距离为．
（解法2作垂线．）
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．
因为A1C1，B1D1为菱形A1B1C1D1的对角线，所以B1D1⊥A1C1．
因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．
因为B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．
在平面AA1C1C内，作OH⊥CO1，H为垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，
所以OH⊥平面CB1D1，即线段OH的长为点O到平面CB1D1的距离．
在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，sin∠CO1C1＝＝，
sin∠OCH＝＝＝，所以＝，故OH＝．
因此，点O到平面CB1D1的距离为．
22、 解：(1)由f(3)＝－eq \f(5,3)，得1＋eq \f(1,3)－3α＝－eq \f(5,3)，解得α＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝1＋eq \f(1,x)－x.令f(x)＝0，即1＋eq \f(1,x)－x＝0，也就是eq \f(x2－x－1,x)＝0，解得x＝eq \f(1±\r(5),2).经检验，x＝eq \f(1±\r(5),2)是1＋eq \f(1,x)－x＝0的根，
所以函数f(x)的零点为eq \f(1±\r(5),2).
(3)函数f(x)＝1＋eq \f(1,x)－x在(－∞，0)上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x1)－x1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)－x2))＝(x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1x2)＋1)).
因为x10，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)－x在(－∞，0)上是减函数．