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2024-2025学年广东省广州市西关外国语学校高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年广东省广州市西关外国语学校高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≥1}，B={x|2x2−5x−3<0}，则A∪B=( )
A. {x|x≥1}B. {x|x>−12}C. {x|12.已知复数z满足5z+3z−=8−2i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
3.已知等比数列{an}的前2项和为12，a1−a3=6，则公比q的值为( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
4.已知平面向量m,n满足：|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为12n，则向量m与向量n−m的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.若m>0，n>0，且3m+2n−1=0，则3m+2n的最小值为( )
A. 20B. 12C. 16D. 25
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(π3)=1，最小正周期为π，函数g(x)=sin2x，则将f(x)的图象向左平移( )个单位长度后可以得到g(x)的图象．
A. π12B. π6C. 5π6D. 11π12
7.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为 36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则椭圆C的离心率为
A. 23B. 12C. 13D. 14
8.已知函数f(x)=xex,x<1,−x2+2x+a,x≥1,若5f(x)+1=0有3个实数解，则实数a的取值范围为( )
A. [−1e,+∞)B. [−65,+∞)C. [−1e,e]D. [−1e,e−1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中
B. 数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9
C. 线性回归分析中，若线性相关系数|r|越大，则两个变量的线性相关性越弱
D. 已知随机变量X～B(7,12)，则E(X)=72
10.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则( )
A. 直线A1C与BD所成的角为90°
B. 线段A1C的长度为 3
C. 直线A1C与BB1所成的角为90°
D. 直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 63
11.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则( )
A. f′(1+x)=f′(1−x)B. f′(3)=0
C. f′(2025)=0D. f(2+x)+f(2−x)=2f(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x2+1x)3的展开式中，常数项为______．
13.在△ABC中，∠ABC=90 ∘，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD= ；cs∠ABD= ．
14.已知函数f(x)=|lnx−1|，0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{3an}是首项为3，公比为9的等比数列，数列{bn}满足b1+b23+b332+⋯+bn3n−1=3n．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知三棱锥P−ABC满足AB⊥AC，AB⊥PB，AC⊥PC，且AP=3,BP= 5,BC=2 2．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)求直线BC与平面ABP所成角的正弦值，
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x.(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(−1,2)作一条不经过F的直线l，若直线l与抛物线交于异于原点的A，B两点，点B在x轴下方，且A在线段PB上．
(1)试判断：直线FA，FB的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点B作PF的垂线交直线AF于点C，若△FBC的面积为4，求点B的坐标，
19.(本小题17分)
对于一个四元整数集A={a,b,c,d}，如果它能划分成两个不相交的二元子集{a,b}和{c,d}，满足ab−cd=1，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数n(n≥2)，集合{1,2,3,⋯,4n}不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.A
7.D
8.B
9.AD
10.AC
11.BCD
12.3
13.12 25；7 210
14.(3,+∞)
15.解：(1)因为数列{3an}是首项为3，公比为9的等比数列，
所以3an=3×9n−1=32n−1，
所以an=2n−1，
由b1+b23+b332+⋯+bn3n−1=3n，
得当n≥2时，b1+b23+b332+⋯+bn−13n−2=3(n−1)，
两式相减，得bn3n−1=3，即bn=3n，
又当n=1时，b1=3也符合，
所以bn=3n；
(2)设cn=anbn=(2n−1)(13)n，
则Sn=c1+c2+⋯+cn=1×13+3×(13)2+⋯+(2n−1)(13)n，
故13Sn=1×(13)2+3×(13)3+⋯+(2n−1)．(13)n+1，
两式作差得23Sn=1×13+2×(13)2+2×(13)3+⋯+2×(13)n−(2n−1)(13)n+1，
即23Sn=−13+23[1−(13)n]1−13−(2n−1)(13)n+1=23−2n+23n+1，
所以Sn=1−n+13n．
16.解：(1)证明：∵AP=3,BP= 5,AB⊥PB，∴AB=2，
∵BC=2 2,AB⊥AC，∴AC=2，
∵AC⊥PC，∴PC= 5，
即：AB=AC=2,PB=PC= 5，
取BC中点O，连接AO，PO，则AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO=O，AO，PO⊂平面AOP，
∴BC⊥平面AOP，
∵AP⊂平面 AOP，
∴BC⊥AP．
(2)如图，以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，
由(1)可知A( 2,0,0),B(0, 2,0),C(0,− 2,0)，
△AOP中，cs∠PAO=2 23,AP=3，∴P(− 2,0,1)，
AB=(− 2, 2,0),AP=(−2 2,0,1),BC=(0,−2 2,0)，
设△ABP的法向量m=(x,y,z)，
则AB⋅m=0AP⋅m=0，即− 2x+ 2y=0−2 2x+z=0，
取m=(1,1,2 2)，
记BC与平面ABP所成角为θ，
则sinθ=|cs〈BC,m〉|=|BC⋅m||BC|⋅|m|=2 22 2× 10= 1010．
17.解：(1)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，则f′(x)=2ax+32x−a−3，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，
则f′(1)=a−32=−1，解得a=12，
由f(1)=−a−94=−1+b，解得b=−74．
(2)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2ax+32x−a−3=(3x−2a)(x−2)2x，
令f′(x)=0，解得x=2或x=2a3，
若a≤0，则当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
若00，f(x)单调递增，
若a=3，则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，f(x)单调递增，
若a>3，则当x∈(2,2a3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,2)和x∈(2a3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)；
当0当a=3时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>3时，f(x)的单调递增区间为(0,2)和(2a3,+∞)，单调递减区间为(2,2a3)．
18.解：(1)若AF的斜率不存在，
则点B不存在或与原点重合；
若BF的斜率不存在，
则点A与原点重合，
因此，直线AF与BF的斜率均存在，
设直线l：x=m(y−2)−1，
代入抛物线方程得：y2−4my+8m+4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2).
则y1+y2=4m，y1y2=8m+4，
又F(1,0)，
则kFA⋅kFB=y1x1−1⋅y2x2−1=4y1y12−4⋅4y2y22−4=16y1y2(y1y2)2−4(y1+y2)2+8y1y2+16=1，
所以直线FA，FB的斜率之积为定值1．
(2)由题意可知，PF的斜率为−1，方程为y=−x+1，
设点B(t2,2t)(t<0,t≠−1)，
所以直线BC：y−2t=x−t2，
解方程组y=−x+1y−2t=x−t2，
得x=t2−2t+12，
因此直线BC与PF的交点坐标为M(t2−2t+12,−t2+2t+12)，
因为kBF=2tt2−1，
由(1)得kAF=t2−12t，
所以直线AF：y=t2−12t(x−1)，
解方程组y=t2−12t(x−1)y−2t=x−t2，
得x=−2t3+5t2−1t2−2t−1=1−2t，
得C(1−2t,1−t2)，
所以M为BC的中点，
从而S△FBC=2S△FBM=|BM|⋅|FM|，
则S△FBC= 2|t2−t2−2t+12|⋅ 2|t2−2t+12−1|=12|(t2−3)2−8|=4，
所以(t2−3)2−8=±8，
因为t<0，
解得t=− 3或t=− 7，
因此，所求的点B的坐标为B(3,−2 3)与(7,−2 7)．
19.解：(1){1,2,3,5}(符合要求即可)；
(2)证明：假设可以划分，
∵ab−cd=1，∴ab和cd一定是一个奇数一个偶数，
∴a，b，c，d中至多两个偶数．
则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的划分{a1,b1,c1,d1}和{a2,b2,c2,d2}，
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为{2,4,c1,d1}和{6,8,c2,d2}，
则c2d2=47或49，不存在c2，d2使得{6,8,c2,d2}符合要求；
若两个集合分别为{2,6,c1,d1}和{4,8,c2,d2}，
则c1d1=11或13，不存在c1，d1使得{2,6,c1,d1}符合要求；
若两个集合分别为{2,8,c1,d1}和{4,6,c2,d2}，
则c2d2=23或25，不存在c2，d2使得{4,6,c2,d2}符合要求；
综上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
(3)假设{1,2,⋯,4n}可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集S1，S2，⋯，Sn．
∵每个子集中至多两个偶数，又1，2，⋯，4n中恰有2n个偶数，
∴每个子集中均有两个偶数，
∴对于1≤i≤n，可设Si={ai,bi,ci,di}，其中ai，bi是偶数，ci，di为奇数，
再由奇偶性，只能是aibi−cidi=±1．
∵aibi=cidi±1≤cidi+1<(ci+1)(di+1)，
且{a1,b1,a2,b2,⋯,an,bn}={2,4,⋯4n}，{c1,d1,c2,d2,⋯,cn,dn}={1,3,⋯,4n−1}．
∴2⋅4⋯4n=a1⋅b1⋅a2⋅b2⋯an⋅bn<(c1+1)(d1+1)(c2+1)(d2+1)⋯(cn+1)(dn+1)=2.4⋯4n，矛盾．
∴{1,2,⋯,4n}不能划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≥1}，B={x|2x2−5x−3<0}，则A∪B=( )
A. {x|x≥1}B. {x|x>−12}C. {x|1
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
3.已知等比数列{an}的前2项和为12，a1−a3=6，则公比q的值为( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
4.已知平面向量m,n满足：|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为12n，则向量m与向量n−m的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.若m>0，n>0，且3m+2n−1=0，则3m+2n的最小值为( )
A. 20B. 12C. 16D. 25
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(π3)=1，最小正周期为π，函数g(x)=sin2x，则将f(x)的图象向左平移( )个单位长度后可以得到g(x)的图象．
A. π12B. π6C. 5π6D. 11π12
7.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为 36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则椭圆C的离心率为
A. 23B. 12C. 13D. 14
8.已知函数f(x)=xex,x<1,−x2+2x+a,x≥1,若5f(x)+1=0有3个实数解，则实数a的取值范围为( )
A. [−1e,+∞)B. [−65,+∞)C. [−1e,e]D. [−1e,e−1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中
B. 数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9
C. 线性回归分析中，若线性相关系数|r|越大，则两个变量的线性相关性越弱
D. 已知随机变量X～B(7,12)，则E(X)=72
10.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则( )
A. 直线A1C与BD所成的角为90°
B. 线段A1C的长度为 3
C. 直线A1C与BB1所成的角为90°
D. 直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 63
11.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则( )
A. f′(1+x)=f′(1−x)B. f′(3)=0
C. f′(2025)=0D. f(2+x)+f(2−x)=2f(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x2+1x)3的展开式中，常数项为______．
13.在△ABC中，∠ABC=90 ∘，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD= ；cs∠ABD= ．
14.已知函数f(x)=|lnx−1|，0
15.(本小题13分)
已知数列{3an}是首项为3，公比为9的等比数列，数列{bn}满足b1+b23+b332+⋯+bn3n−1=3n．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知三棱锥P−ABC满足AB⊥AC，AB⊥PB，AC⊥PC，且AP=3,BP= 5,BC=2 2．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)求直线BC与平面ABP所成角的正弦值，
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x.(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(−1,2)作一条不经过F的直线l，若直线l与抛物线交于异于原点的A，B两点，点B在x轴下方，且A在线段PB上．
(1)试判断：直线FA，FB的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点B作PF的垂线交直线AF于点C，若△FBC的面积为4，求点B的坐标，
19.(本小题17分)
对于一个四元整数集A={a,b,c,d}，如果它能划分成两个不相交的二元子集{a,b}和{c,d}，满足ab−cd=1，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数n(n≥2)，集合{1,2,3,⋯,4n}不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.A
7.D
8.B
9.AD
10.AC
11.BCD
12.3
13.12 25；7 210
14.(3,+∞)
15.解：(1)因为数列{3an}是首项为3，公比为9的等比数列，
所以3an=3×9n−1=32n−1，
所以an=2n−1，
由b1+b23+b332+⋯+bn3n−1=3n，
得当n≥2时，b1+b23+b332+⋯+bn−13n−2=3(n−1)，
两式相减，得bn3n−1=3，即bn=3n，
又当n=1时，b1=3也符合，
所以bn=3n；
(2)设cn=anbn=(2n−1)(13)n，
则Sn=c1+c2+⋯+cn=1×13+3×(13)2+⋯+(2n−1)(13)n，
故13Sn=1×(13)2+3×(13)3+⋯+(2n−1)．(13)n+1，
两式作差得23Sn=1×13+2×(13)2+2×(13)3+⋯+2×(13)n−(2n−1)(13)n+1，
即23Sn=−13+23[1−(13)n]1−13−(2n−1)(13)n+1=23−2n+23n+1，
所以Sn=1−n+13n．
16.解：(1)证明：∵AP=3,BP= 5,AB⊥PB，∴AB=2，
∵BC=2 2,AB⊥AC，∴AC=2，
∵AC⊥PC，∴PC= 5，
即：AB=AC=2,PB=PC= 5，
取BC中点O，连接AO，PO，则AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO=O，AO，PO⊂平面AOP，
∴BC⊥平面AOP，
∵AP⊂平面 AOP，
∴BC⊥AP．
(2)如图，以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，
由(1)可知A( 2,0,0),B(0, 2,0),C(0,− 2,0)，
△AOP中，cs∠PAO=2 23,AP=3，∴P(− 2,0,1)，
AB=(− 2, 2,0),AP=(−2 2,0,1),BC=(0,−2 2,0)，
设△ABP的法向量m=(x,y,z)，
则AB⋅m=0AP⋅m=0，即− 2x+ 2y=0−2 2x+z=0，
取m=(1,1,2 2)，
记BC与平面ABP所成角为θ，
则sinθ=|cs〈BC,m〉|=|BC⋅m||BC|⋅|m|=2 22 2× 10= 1010．
17.解：(1)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，则f′(x)=2ax+32x−a−3，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，
则f′(1)=a−32=−1，解得a=12，
由f(1)=−a−94=−1+b，解得b=−74．
(2)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2ax+32x−a−3=(3x−2a)(x−2)2x，
令f′(x)=0，解得x=2或x=2a3，
若a≤0，则当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
若0
若a=3，则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，f(x)单调递增，
若a>3，则当x∈(2,2a3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,2)和x∈(2a3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)；
当0
当a>3时，f(x)的单调递增区间为(0,2)和(2a3,+∞)，单调递减区间为(2,2a3)．
18.解：(1)若AF的斜率不存在，
则点B不存在或与原点重合；
若BF的斜率不存在，
则点A与原点重合，
因此，直线AF与BF的斜率均存在，
设直线l：x=m(y−2)−1，
代入抛物线方程得：y2−4my+8m+4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2).
则y1+y2=4m，y1y2=8m+4，
又F(1,0)，
则kFA⋅kFB=y1x1−1⋅y2x2−1=4y1y12−4⋅4y2y22−4=16y1y2(y1y2)2−4(y1+y2)2+8y1y2+16=1，
所以直线FA，FB的斜率之积为定值1．
(2)由题意可知，PF的斜率为−1，方程为y=−x+1，
设点B(t2,2t)(t<0,t≠−1)，
所以直线BC：y−2t=x−t2，
解方程组y=−x+1y−2t=x−t2，
得x=t2−2t+12，
因此直线BC与PF的交点坐标为M(t2−2t+12,−t2+2t+12)，
因为kBF=2tt2−1，
由(1)得kAF=t2−12t，
所以直线AF：y=t2−12t(x−1)，
解方程组y=t2−12t(x−1)y−2t=x−t2，
得x=−2t3+5t2−1t2−2t−1=1−2t，
得C(1−2t,1−t2)，
所以M为BC的中点，
从而S△FBC=2S△FBM=|BM|⋅|FM|，
则S△FBC= 2|t2−t2−2t+12|⋅ 2|t2−2t+12−1|=12|(t2−3)2−8|=4，
所以(t2−3)2−8=±8，
因为t<0，
解得t=− 3或t=− 7，
因此，所求的点B的坐标为B(3,−2 3)与(7,−2 7)．
19.解：(1){1,2,3,5}(符合要求即可)；
(2)证明：假设可以划分，
∵ab−cd=1，∴ab和cd一定是一个奇数一个偶数，
∴a，b，c，d中至多两个偶数．
则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的划分{a1,b1,c1,d1}和{a2,b2,c2,d2}，
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为{2,4,c1,d1}和{6,8,c2,d2}，
则c2d2=47或49，不存在c2，d2使得{6,8,c2,d2}符合要求；
若两个集合分别为{2,6,c1,d1}和{4,8,c2,d2}，
则c1d1=11或13，不存在c1，d1使得{2,6,c1,d1}符合要求；
若两个集合分别为{2,8,c1,d1}和{4,6,c2,d2}，
则c2d2=23或25，不存在c2，d2使得{4,6,c2,d2}符合要求；
综上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
(3)假设{1,2,⋯,4n}可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集S1，S2，⋯，Sn．
∵每个子集中至多两个偶数，又1，2，⋯，4n中恰有2n个偶数，
∴每个子集中均有两个偶数，
∴对于1≤i≤n，可设Si={ai,bi,ci,di}，其中ai，bi是偶数，ci，di为奇数，
再由奇偶性，只能是aibi−cidi=±1．
∵aibi=cidi±1≤cidi+1<(ci+1)(di+1)，
且{a1,b1,a2,b2,⋯,an,bn}={2,4,⋯4n}，{c1,d1,c2,d2,⋯,cn,dn}={1,3,⋯,4n−1}．
∴2⋅4⋯4n=a1⋅b1⋅a2⋅b2⋯an⋅bn<(c1+1)(d1+1)(c2+1)(d2+1)⋯(cn+1)(dn+1)=2.4⋯4n，矛盾．
∴{1,2,⋯,4n}不能划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集．
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