2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3}B．{4，5}C．{4，5，6}D．{0，1，2}
2．（5分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．C．y＝x|x|D．y＝|2x|
3．（5分）“x＜1”是“3x＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某校为调查学生参加课外研究型学习小组的情况，从全校学生中随机抽取100名学生，其中参加“数学类”的有80名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有60名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有10名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
5．（5分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：
则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（ ）
A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
6．（5分）设a＝（0.8）0.5，b＝（0.5）0.8，c＝（0.5）0.5，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
7．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（3）＝0，则（x﹣1）f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或1＜x＜3}
C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或1＜x＜3}
8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若对∀x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6}
C．8a+4b+3c＜0
D．cx2+bx+a＜0的解集为
（多选）10．（5分）已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．ab2＞b2c
C．D．ab+bc＞ac+b2
（多选）11．（5分）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．f（x）＝xB．f（x）＝x2C．D．
（多选）12．（5分）给出以下四个命题中正确的（ ）
A．若集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B，则x＝1，y＝0
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．在R上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝﹣1，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（理科）命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是 ．
14．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数为减函数，则m＝ ．
15．（5分）已知f（x）＝3x+x3，若正数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）＝0，则最小值为 ．
16．（5分）定义，若函数f（x）＝min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]长度的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
18．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．
（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁UA）∩B＝B，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知ax2+2ax+1≥0恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0．
20．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的函数，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，且．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．
21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
22．（12分）已知a＞0，函数f（x）＝x2+3|x﹣a|．
（1）当a＝1，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
（2）记f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）对（2）中的g（a），当x∈[﹣1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求实数m的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3}B．{4，5}C．{4，5，6}D．{0，1，2}
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，
∴（∁UA）＝{4，5，6}，
∴（∁UA）∩B＝{4，5}
故选：B．
2．（5分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．C．y＝x|x|D．y＝|2x|
【解答】解：选项A，f（﹣x）＝﹣x1＝﹣（x）+1，所以f（x）是非奇非偶函数，即A不符合题意；
选项B，f（﹣x）＝﹣x（x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，但在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，即B不符合题意；
选项C，f（x）＝x|x|，所以f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，即C符合题意；
选项D，f（x）＝|2x|＝2x，是非奇非偶函数，即D不符合题意．
故选：C．
3．（5分）“x＜1”是“3x＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：3x＜1即x＜0，
x＜1不能推出x＜0，充分性不成立，
x＜0能推出x＜1，必要性不成立，
故“x＜1”是“3x＜1”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（5分）某校为调查学生参加课外研究型学习小组的情况，从全校学生中随机抽取100名学生，其中参加“数学类”的有80名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有60名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有10名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
【解答】解：设参加“数学类”的学生人数构成集合A，参加“理化类”的学生人数构成集合B，其中只参加“理化类”的学生人数为x人，样本100人构成全集U，
根据题意，可得80+x+10＝100，解得x＝10，
所以参加“理化类”的学生人数为60+10＝70人，
所以参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是．
故选：C．
5．（5分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：
则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（ ）
A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝2，g（2）＝2，满足方程g[f（x）]＝x+1；
当x＝2时，f（2）＝1，g（1）＝3，满足方程g[f（x）]＝x+1；
当x＝3时，f（3）＝3，g（3）＝1，不满足方程g[f（x）]＝x+1；
综上，方程g[f（x）]＝x+1的解集为{1，2}．
故选：C．
6．（5分）设a＝（0.8）0.5，b＝（0.5）0.8，c＝（0.5）0.5，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：由函数y＝（0.5）x在R上是单调递减函数，则（0.5）0.8＜（0.5）0.5，即b＜c；
由函数在[0，+∞）上是单调递增函数，则（0.8）0.5＞（0.5）0.5，即a＞c；
所以a＞c＞b．
故选：A．
7．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（3）＝0，则（x﹣1）f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或1＜x＜3}
C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或1＜x＜3}
【解答】解：因为f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（3）＝0，
所以f（﹣3）＝0，
因为（x﹣1）f（x）＜0，
所以或，
所以或，
解可得﹣3＜x＜0或1＜x＜3．
故选：D．
8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若对∀x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，所以，
又因为函数f（x）满足，所以函数f（x）的部分图像如下，
由图可知，若对∀x∈[m，+∞），都有，则．故A，C，D错误．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6}
C．8a+4b+3c＜0
D．cx2+bx+a＜0的解集为
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴，
即b＝﹣a，c＝﹣6a，
故选项A正确；
ax+c＞0可化为ax﹣6a＞0，
即x﹣6＜0，
故ax+c＞0的解集为{x|x＜6}，故选项B错误；
8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故选项C错误；
cx2+bx+a＜0可化为﹣6ax2﹣ax+a＜0，
即6x2+x﹣1＜0，
故不等式的解集为{x|x}，
故选项D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．ab2＞b2c
C．D．ab+bc＞ac+b2
【解答】解：对于A：取a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，则，A错误；
对于B：由于a＞b＞c，abc≠0，则b2＞0，于是ab2＞b2c，B正确；
对于C：，C正确；
对于D：（ab+bc）﹣（ac+b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝（a﹣b）（b﹣c）＞0，D正确；
故答案为：BCD．
（多选）11．（5分）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．f（x）＝xB．f（x）＝x2C．D．
【解答】解：由题意知，当x＞0时，f（x）的图象是凹形曲线；
对于A，函数f（x）＝x的图象是一条直线，则当x2＞x1＞0时，有，不满足题意；
对于B，函数f（x）＝x2的图象是凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，满足题意；
对于C，函数的图象是凸形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，不满足题意；
对于D，在第一象限内，函数的图象是一条凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有，满足题意．
故选：BD．
（多选）12．（5分）给出以下四个命题中正确的（ ）
A．若集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B，则x＝1，y＝0
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．在R上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝﹣1，则
【解答】解：对于A，由A＝B，则，易知x≠0，解得x＝1，y＝0，故A正确；
对于B，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），故B错误；
对于C，由题意，可得，解得，易知函数y＝x在（1，+∞）上单调递增，故C正确；
对于D，由题意，当n≥2，n∈N*时，f（n）＝f（n﹣1）f（1），则，
即，故D错误．
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（理科）命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是 ∃x＞0，x2≤0 ．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是：∃x＞0，x2≤0．
故答案是：∃x＞0，x2≤0．
14．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数为减函数，则m＝ 2 ．
【解答】解：∵当x∈（0，+∞）时，幂函数为减函数，
∴，∴m＝2，
故答案为：2．
15．（5分）已知f（x）＝3x+x3，若正数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）＝0，则最小值为 1 ．
【解答】解：因为f（x）＝3x+x3，所以f（﹣x）＝﹣3x﹣x3＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，
又函数y＝3x和y＝x3均为增函数，
所以f（x）为增函数，
由f（4a）+f（b﹣9）＝0，知f（4a）＝﹣f（b﹣9）＝f（9﹣b），
所以4a＝9﹣b，即4a+b＝9，
所以（）（4a+b）（5）（5+2）＝1，当且仅当，即b＝2a＝3时，等号成立，
所以的最小值为1．
故答案为：1．
16．（5分）定义，若函数f（x）＝min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]长度的最大值为 ．
【解答】解：作图如下：
其中A（1，1），B（3，3），
即f（x），
当f（x）时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|，得xC或xG，
当f（x）时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3，得xE，
由图象知若f（x）在区间[m．n]上的值域为[]，则区间[m，n]长度的最大值为xE﹣xC，
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式8+1﹣8+22×33＝109．
（2）原式•a0•b0＝1．
18．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．
（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁UA）∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|（2x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|x≤3}，
a＝﹣4时B＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x＜2}；
所以A∩B＝{x|x＜2}，
A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）因为U＝R，所以∁UA＝{x|x或x＞3}，
又B＝{x|x2+a＜0}，当a≥0时，B＝∅，满足（∁UA）∩B＝B；
当a＜0时，B＝{x|x}，
令，解得a，所以a＜0；
综上知，实数a的取值范围是{a|a}．
19．（12分）已知ax2+2ax+1≥0恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0．
【解答】解：（1）因为ax2+2ax+1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，要使ax2+2ax+1≥0恒成立．则a＞0，△≤0，
即，
解得：0＜a≤1．
综上，a的取值范围为：0≤a≤1．
（2）由x2﹣x﹣a2+a＜0，得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0．
因为：0≤a≤1，
①当1﹣a＞a，即0≤a时，
则a＜x＜1﹣a；
②当1﹣a＝a，即a时，（a）2＜0，不等式无解；
③当1﹣a＜a，即a≤1时，
则1﹣a＜x＜a．
综上所述，当0≤a时，解集为{x|a＜x＜1﹣a}；
当a时，解集为∅；
当a≤1时，解集为{x|1﹣a＜x＜a}．
20．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的函数，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，且．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．
【解答】解：（1）根据题意，是（﹣1，1）上的奇函数，故f（0）＝b＝0；
又，故a＝1，则；
（2）f（x）在（﹣1，1）单调递增，证明如下：
在（﹣1，1）上任取x1＞x2，
则，
因为x1，x2∈（﹣1，1），故可得x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，
又x1＞x2，则x1﹣x2＞0，结合，
可得：，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（﹣1，1）单调递增；
（3）f（x﹣1）+f（x）＜0等价于f（x﹣1）＜﹣f（x）＝f（﹣x），
又f（x）在（﹣1，1）是单调增函数，故可得，
解得，即不等式f（x﹣1）+f（x）＜0的解集为：．
21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知，当m＝0时，x＝2，
，
则2＝4﹣k，解得k＝2，
故x，
∵厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍，
∴每件产品的销售价格为，
故2020年该产品的利润y（m≥0）．
（2）由（1）可知，y37，
当m≥0时，m+1＞0，
则，当且仅当，即m＝3时，等号成立，
故y≤﹣8+37＝29，
该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润是29万元．
22．（12分）已知a＞0，函数f（x）＝x2+3|x﹣a|．
（1）当a＝1，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
（2）记f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）对（2）中的g（a），当x∈[﹣1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+3|x﹣1|，
即f（x），则f（x），
故函数f（x）的递增区间为[1，+∞），递减区间为（﹣∞，1），f（x）min＝f（1）＝1．
（2）由题可知f（x），
当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a]上递减，在[a，1]递增，则g（a）＝f（a）＝a2；
当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）＝f（1）＝3a﹣2，
综上：g（a）．
（3）令h（x）＝f（x）﹣g（a），只需m≥h（x）max，
当0＜a＜1，且﹣1≤x≤时，h（x）＝x2﹣3x+3a﹣a2，在[﹣1，a]上单调递减，
∴h（x）≤h（﹣1）＝4+3a﹣a2＜6，
当a≤x≤1时，h（x）＝x2+3x+3a﹣a2，在[a，1]上单调递增，
∴h（x）≤h（﹣1）＝4﹣3a﹣a2＜4；
当a≥1时，h（x）＝x2﹣3x+2，在[﹣1，1]上递减，∴h（x）≤h（﹣1）＝6，
综上可知，h（x）max＝6，所以m≥6．
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1
2
3
x
1
2
3
f（x）
2
1
3
g（x）
3
2
1
x
1
2
3
x
1
2
3
f（x）
2
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