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    广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
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    广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

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    这是一份广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
    1.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
    A.B.C.1D.
    2.(5分)已知a,b是非零常数,则“a>b”是“”的( )
    A.充分非必要条件
    B.必要非充分条件
    C.充要条件
    D.既非充分也非必要条件
    3.(5分)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
    A.若l⊥α,l∥m,则m⊥αB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
    C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
    4.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则=( )
    A.4B.5C.6D.8
    5.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为( )
    A.B.C.D.(1,2)
    6.(5分)在△ABC中,若asinB=bcsA,且sinC=2sinAcsB,那么△ABC一定是( )
    A.等腰直角三角形B.直角三角形
    C.等腰三角形D.等边三角形
    7.(5分)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx﹣1<0成立,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.(5分)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,若函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
    A.(0,)∪(7,+∞)B.(0,)∪(9,+∞)
    C.(0,)∪(7,+∞)D.(0,)∪(9,+∞)
    二、多选题(本大题共3小题,每题6分,共18分,每小题选项中有多个选项是正确的,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
    (多选)9.(6分)关于平面向量,有下列四个命题,其中说法正确的是( )
    A.向量,能作为平面内所有向量的一组基底
    B.若点G是△ABC的重心,则
    C.若,则或
    D.若向量,,则向量在向量上的投影向量为
    (多选)10.(6分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是( )
    A.若P在棱AB上运动,则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
    B.若P在棱AB上运动,则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
    C.若P在底面ABCD内(包含边界)运动,且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为π
    D.若P在△ABC内(包含边界)运动,则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
    (多选)11.(6分)已知函数,则( )
    A.函数f(x)有3个零点
    B.若函数y=f(x)﹣t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
    C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
    D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
    三、填空题(本大题共3小题,每题5分,共15分)
    12.(5分)已知向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),且(2).则实数m的值为 .
    13.(5分)已知sinθ,csθ是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根(a∈R),则= .
    14.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18,若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切,则球O的表面积为 .
    四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
    15.(13分)已知向量与的夹角为30°,,.
    (1)求及;
    (2)求向量与向量的夹角θ.
    16.(15分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象如图所示.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位,再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的最大值和最小值;
    (3)若关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
    17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
    (1)求角C;
    (2)若△ABC的周长为20,面积为,求边c.
    18.(17分)已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
    (1)求证:MN∥平面A′ACC′;
    (2)求证:A′N⊥平面BCN.
    (3)求三棱锥C﹣MNB的体积.
    19.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.
    (1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”,并说明理由;
    (2)若函数f(x)=2x﹣2在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”,求mn的取值范围;
    (3)已知函数h(x)=(x﹣a)2(a≤3)在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的t∈R,不等式h(x)≥﹣t2+(s﹣t)x恒成立,求实数s的最大值.
    参考答案与试题解析
    一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
    1.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
    A.B.C.1D.
    【解答】解:由,得:,
    所以,即|z|=1.
    故选:C.
    2.(5分)已知a,b是非零常数,则“a>b”是“”的( )
    A.充分非必要条件
    B.必要非充分条件
    C.充要条件
    D.既非充分也非必要条件
    【解答】解:因为<可得<0,
    当a>b,即b﹣a<0,当ab>0时,<0成立,所以“a>b”不是“”的充分条件;
    当ab>0时,因为<0,所以a>b,所以“a>b”不是“”的必要条件;
    所以“a>b”是“”的既非充分也非必要条件,
    故选:D.
    3.(5分)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
    A.若l⊥α,l∥m,则m⊥αB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
    C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
    【解答】解:若l⊥α,l∥m,
    根据两平行直线中的一条与平面垂直,另一条也垂直平面,
    所以m⊥α
    所以选项A正确;
    若l⊥m,m⊂α,则l⊥α或l与α斜交或l与α平行,所以选项B不正确;
    若l∥α,m⊂α,则l∥m或l与m是异面直线,所以选项C错误;
    若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m异面或l∥m相交,所以选项D错误;
    故选:A.
    4.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则=( )
    A.4B.5C.6D.8
    【解答】解:设,,则,
    由题意,=,


    ==6.
    故选:C.
    5.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为( )
    A.B.C.D.(1,2)
    【解答】解:由函数f(x)的图象可知,f(0)=﹣1,且0<a<1,
    ∴1+b=﹣1,
    ∴b=﹣2,
    ∴g(x)=lnx+2x+a,
    ∴g()=ln++a=﹣2++a,
    ∵0<a<1,0,∴﹣2++a<0,
    即g()<0,
    g()=ln+1+a=1+a﹣ln2,
    ∵0<ln2<1,∴1﹣ln2>0,
    ∴1﹣ln2+a>0,
    即g()>0,
    ∴g()•g()<0,
    又∵函数g(x)=lnx+2x+a在(0,+∞)上连续且单调递增,
    ∴函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为(,).
    故选:B.
    6.(5分)在△ABC中,若asinB=bcsA,且sinC=2sinAcsB,那么△ABC一定是( )
    A.等腰直角三角形B.直角三角形
    C.等腰三角形D.等边三角形
    【解答】解:已知asinB=bcsA,
    则sinAsinB=sinBcsA,
    则tanA=,
    即A=,
    又sinC=2sinAcsB,
    则sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB,
    即sinAcsB﹣csAsinB=0,
    即sin(A﹣B)=0,
    又﹣π<A﹣B<π,
    即A=B,
    即A=B=C=,
    即△ABC一定是等边三角形,
    故选:D.
    7.(5分)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx﹣1<0成立,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【解答】解:设f(x)=x2+mx﹣1,依题意,f(x)<0对任意x∈[m,m+1]恒成立,则只需
    解得:.
    故选:B.
    8.(5分)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,若函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
    A.(0,)∪(7,+∞)B.(0,)∪(9,+∞)
    C.(0,)∪(7,+∞)D.(0,)∪(9,+∞)
    【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,
    ∴当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],函数f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x+1,
    又对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),
    ∴f(x)=f(x+4),即函数f(x)的周期为4,
    又由函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,得函数y=f(x)与y=lga(x+2)的图象在(﹣1,7)上有4个不同的交点,
    f(1)=1,当a>1时,由图1可得lga(5+2)<1,解得a>7;
    当0<a<1时,由图2可得lga(7+2)>﹣1,解得.
    故选:C.
    二、多选题(本大题共3小题,每题6分,共18分,每小题选项中有多个选项是正确的,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
    (多选)9.(6分)关于平面向量,有下列四个命题,其中说法正确的是( )
    A.向量,能作为平面内所有向量的一组基底
    B.若点G是△ABC的重心,则
    C.若,则或
    D.若向量,,则向量在向量上的投影向量为
    【解答】解:对于A,因为,,所以,所以,
    所以不能作为平面内所有向量的一组基底,故A错误;
    对于B,设BC的中点为M,则,,
    所以,故B正确;
    对于C,当时,,故C错误;
    对于D,因为,,所以向量在向量上的投影向量为:==,故D正确.
    故选:BD.
    (多选)10.(6分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是( )
    A.若P在棱AB上运动,则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
    B.若P在棱AB上运动,则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
    C.若P在底面ABCD内(包含边界)运动,且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为π
    D.若P在△ABC内(包含边界)运动,则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
    【解答】解:对于A,连接AD1,A1D,则A1D⊥AD1,AB⊥平面ADD1A1,
    又A1D⊂平面ADD1A1,所以A1D⊥AB,
    又AB∩AD1=A,AB⊂平面ABC1D1,AD1⊂平面ABC1D1,
    所以A1D⊥平面ABC1D1,
    又D1P⊂平面ABC1D1,所以A1D⊥D1P,
    所以直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°,故A正确;
    对于B,连接PC,PC1,D1C,
    则三棱锥C1﹣D1PC的体积等于三棱锥P﹣CC1D1的体积,
    因为AB∥平面CDD1C1,所以点P到平面CDD1C1的距离等于BC,为定值1,
    即三棱锥P﹣CC1D1的高为1,底面三角形CD1C1的面积为,
    所以,故B正确;
    对于C,因为P满足DP=1,
    则动点P的轨迹的长度为以D为圆心,1为半径的圆的周长的四分之一,
    所以P点的轨迹的长度为,故C错误;
    对于D,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,
    对于平面ABC,DD1为垂线,D1P为斜线,DP为射影,
    所以∠DPD1即为直线D1P与平面ABC所成角,
    设AC∩BD=O,则AC⊥BD,
    因为P是△ABC内(包括边界)的动点,
    所以当P与O重合时,最小,此时,
    当P与B重合时,最大,此时,
    所以,故D正确.
    故选:ABD.
    (多选)11.(6分)已知函数,则( )
    A.函数f(x)有3个零点
    B.若函数y=f(x)﹣t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
    C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
    D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
    【解答】解:根据题意,函数,
    由此作出函数的图象,如图所示:
    对于A:由图象易知曲线y=f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有2个零点,故A错误;
    对于B:令y=f(x)﹣t=0,可得f(x)=t,
    则函数y=f(x)﹣t的零点个数即为y=f(x)与y=t的图象的交点个数,
    若函数y=f(x)﹣t有两个零点,由图象可知t∈{0}∪(3,7],B正确;
    对于C:若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根,则y=f(x)与y=t的图象有四个交点.
    不妨设x1<x2<x3<x4,
    由图象可得:t∈(1,3),且x1+x2=﹣2,x3+x4=6,
    所以x1+x2+x3+x4=4,故C正确;
    对于D:因为f2(x)=4,解得f(x)=﹣2或f(x)=2,
    结合图象可知:f(x)=﹣2有一个根,f(x)=2有四个根,
    所以关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根,D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题(本大题共3小题,每题5分,共15分)
    12.(5分)已知向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),且(2).则实数m的值为 1 .
    【解答】解:向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),
    ∴=(2+m,4),
    ∵(2).
    ∴()=﹣4(2+m)+3×4=0,
    解得实数m=1.
    故答案为:1.
    13.(5分)已知sinθ,csθ是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根(a∈R),则= .
    【解答】解:由题意得:sinθ,csθ是x2﹣ax+a=0的两个根,
    即:Δ=(﹣a)2﹣4a≥0,
    解得:a≥4或a≤0,
    由根与系数的关系得:,
    所以(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ=a2,
    即:a2﹣2a﹣1=0,
    解得:,(舍去),
    所以.
    故答案为:.
    14.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18,若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切,则球O的表面积为 16π .
    【解答】解:如图所示,取上下底面的中心O′,O'',D、E、F分别为上底面棱上的切点,
    则O为O′O''的中点,设AB=a,AA1=2h,
    由题意易知a=2h,
    则,
    因为,
    所以.
    故答案为:16π.
    四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
    15.(13分)已知向量与的夹角为30°,,.
    (1)求及;
    (2)求向量与向量的夹角θ.
    【解答】解:(1)由题意,

    (2)由题意得,
    所以,
    又因为0°≤θ≤180°,
    所以θ=120°.
    16.(15分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象如图所示.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位,再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的最大值和最小值;
    (3)若关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
    【解答】解:(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象可知A=2,
    ∵,
    ∴T=π,,
    又,
    ∴,k∈Z,解得 ,k∈Z,
    由可得,
    ∴;
    (2)将f(x)向右平移个单位,得到,
    再将所有点的横坐标缩短为原来的,得到,
    令,
    由,可得,
    易知函数y=2sint在上单调递减,在上单调递增,
    可得,,即;
    (3)由(2)可得y=2sint在上单调递减,在上单调递增,
    可得,,,
    因为关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,
    即当y=g(x)与y=m有两个公共点,
    由正弦函数的性质可知.
    17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
    (1)求角C;
    (2)若△ABC的周长为20,面积为,求边c.
    【解答】解:(1),
    由正弦定理,得,

    ,又0<A<180°,得sinA>0,
    所以,即,
    由0<C<180°,解得C=60°;
    (2)由(1),得,则ab=40,
    由余弦定理,得,即,
    得a2+b2=c2+40.又a+b+c=20,
    所以(a+b)2=(20﹣c)2,即a2+2ab+b2=400﹣40c+c2,
    即c2+40+80=400﹣40c+c2,解得c=7.
    18.(17分)已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
    (1)求证:MN∥平面A′ACC′;
    (2)求证:A′N⊥平面BCN.
    (3)求三棱锥C﹣MNB的体积.
    【解答】(12分)解:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
    ∵四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
    ∴AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,∴MN∥AC′,
    又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,
    ∴MN∥平面A′ACC′.
    (2)直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
    可得A′N⊥B′C′,A′N⊥CC′,B′C′∩CC′=C′,∴A′N⊥平面BCN
    (3)由图可知VCMNB=VMBCN,
    ∵∠BAC=90°,∴BC==2,
    又三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
    ∴S△BCN=×2×4=4.
    ∵A′B′=A′C′=2,∠B′A′C′=90°,点N为B′C′的中点,∴A′N⊥B′C′,A′N=.
    又BB′⊥平面A′B′C′,∴A′N⊥BB′,
    ∴A′N⊥平面BCN.
    又M为A′B的中点,
    ∴M到平面BCN的距离为,
    ∴VCMNB=VMBCN=×4×=.
    19.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.
    (1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”,并说明理由;
    (2)若函数f(x)=2x﹣2在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”,求mn的取值范围;
    (3)已知函数h(x)=(x﹣a)2(a≤3)在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的t∈R,不等式h(x)≥﹣t2+(s﹣t)x恒成立,求实数s的最大值.
    【解答】解:(1)对于函数g(x)=x的定义域R内存在x1=0,
    则g(x1)g(x2)=0≠1,故g(x)=x不是“依赖函数”.
    (2)因为f(x)=2x﹣2在[m,n]递增,
    故f(m)f(n)=1,即2m﹣22n﹣2=1,m+n=4,
    由n>m>0,故n=4﹣m>m>0,得0<m<2,
    从而mn=m(4﹣m),
    设t(m)=m(4﹣m)=﹣(m﹣2)2+4,
    当m∈(0,2)时,函数t(m)单调递增,
    故mn∈(0,4);
    (3)①若,故h(x)=(x﹣a)2在上最小值为0,此时不存在x2,舍去;
    ②若,故h(x)=(x﹣a)2在上单调递增,
    所以,解得a=1或(舍).
    所以存在,使得对任意的t∈R,有不等式(x﹣1)2≥﹣t2+(s﹣t)x都成立,
    即t2+xt+x2﹣(s+2)x+1≥0恒成立,
    由Δ=x2﹣4[x2﹣(s+2)x+1]≤0,
    得4(s+2)x≤3x2+4,由,可得,
    又在单调递增,
    故当x=3时,,
    从而,解得,
    综上,故实数s的最大值为.
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