广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
展开一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
1.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
A.B.C.1D.
2.(5分)已知a,b是非零常数,则“a>b”是“”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
3.(5分)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥αB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
4.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则=( )
A.4B.5C.6D.8
5.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为( )
A.B.C.D.(1,2)
6.(5分)在△ABC中,若asinB=bcsA,且sinC=2sinAcsB,那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
7.(5分)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx﹣1<0成立,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.(5分)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,若函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,)∪(7,+∞)B.(0,)∪(9,+∞)
C.(0,)∪(7,+∞)D.(0,)∪(9,+∞)
二、多选题(本大题共3小题,每题6分,共18分,每小题选项中有多个选项是正确的,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
(多选)9.(6分)关于平面向量,有下列四个命题,其中说法正确的是( )
A.向量,能作为平面内所有向量的一组基底
B.若点G是△ABC的重心,则
C.若,则或
D.若向量,,则向量在向量上的投影向量为
(多选)10.(6分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是( )
A.若P在棱AB上运动,则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
B.若P在棱AB上运动,则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
C.若P在底面ABCD内(包含边界)运动,且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为π
D.若P在△ABC内(包含边界)运动,则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
(多选)11.(6分)已知函数,则( )
A.函数f(x)有3个零点
B.若函数y=f(x)﹣t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
三、填空题(本大题共3小题,每题5分,共15分)
12.(5分)已知向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),且(2).则实数m的值为 .
13.(5分)已知sinθ,csθ是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根(a∈R),则= .
14.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18,若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切,则球O的表面积为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)已知向量与的夹角为30°,,.
(1)求及;
(2)求向量与向量的夹角θ.
16.(15分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位,再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的最大值和最小值;
(3)若关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
(1)求角C;
(2)若△ABC的周长为20,面积为,求边c.
18.(17分)已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;
(2)求证:A′N⊥平面BCN.
(3)求三棱锥C﹣MNB的体积.
19.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2x﹣2在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”,求mn的取值范围;
(3)已知函数h(x)=(x﹣a)2(a≤3)在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的t∈R,不等式h(x)≥﹣t2+(s﹣t)x恒成立,求实数s的最大值.
参考答案与试题解析
一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
1.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
A.B.C.1D.
【解答】解:由,得:,
所以,即|z|=1.
故选:C.
2.(5分)已知a,b是非零常数,则“a>b”是“”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
【解答】解:因为<可得<0,
当a>b,即b﹣a<0,当ab>0时,<0成立,所以“a>b”不是“”的充分条件;
当ab>0时,因为<0,所以a>b,所以“a>b”不是“”的必要条件;
所以“a>b”是“”的既非充分也非必要条件,
故选:D.
3.(5分)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥αB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
【解答】解:若l⊥α,l∥m,
根据两平行直线中的一条与平面垂直,另一条也垂直平面,
所以m⊥α
所以选项A正确;
若l⊥m,m⊂α,则l⊥α或l与α斜交或l与α平行,所以选项B不正确;
若l∥α,m⊂α,则l∥m或l与m是异面直线,所以选项C错误;
若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m异面或l∥m相交,所以选项D错误;
故选:A.
4.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则=( )
A.4B.5C.6D.8
【解答】解:设,,则,
由题意,=,
,
则
==6.
故选:C.
5.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为( )
A.B.C.D.(1,2)
【解答】解:由函数f(x)的图象可知,f(0)=﹣1,且0<a<1,
∴1+b=﹣1,
∴b=﹣2,
∴g(x)=lnx+2x+a,
∴g()=ln++a=﹣2++a,
∵0<a<1,0,∴﹣2++a<0,
即g()<0,
g()=ln+1+a=1+a﹣ln2,
∵0<ln2<1,∴1﹣ln2>0,
∴1﹣ln2+a>0,
即g()>0,
∴g()•g()<0,
又∵函数g(x)=lnx+2x+a在(0,+∞)上连续且单调递增,
∴函数g(x)=lnx﹣bx+a的零点所在区间为(,).
故选:B.
6.(5分)在△ABC中,若asinB=bcsA,且sinC=2sinAcsB,那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
【解答】解:已知asinB=bcsA,
则sinAsinB=sinBcsA,
则tanA=,
即A=,
又sinC=2sinAcsB,
则sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB,
即sinAcsB﹣csAsinB=0,
即sin(A﹣B)=0,
又﹣π<A﹣B<π,
即A=B,
即A=B=C=,
即△ABC一定是等边三角形,
故选:D.
7.(5分)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx﹣1<0成立,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
【解答】解:设f(x)=x2+mx﹣1,依题意,f(x)<0对任意x∈[m,m+1]恒成立,则只需
解得:.
故选:B.
8.(5分)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,若函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,)∪(7,+∞)B.(0,)∪(9,+∞)
C.(0,)∪(7,+∞)D.(0,)∪(9,+∞)
【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,
∴当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],函数f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x+1,
又对任意x∈R,都有f(1﹣x)=f(1+x),
∴f(x)=f(x+4),即函数f(x)的周期为4,
又由函数g(x)=f(x)﹣lga(x+2)(a>0且a≠1)在(﹣1,7)上恰有4个不同的零点,得函数y=f(x)与y=lga(x+2)的图象在(﹣1,7)上有4个不同的交点,
f(1)=1,当a>1时,由图1可得lga(5+2)<1,解得a>7;
当0<a<1时,由图2可得lga(7+2)>﹣1,解得.
故选:C.
二、多选题(本大题共3小题,每题6分,共18分,每小题选项中有多个选项是正确的,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)
(多选)9.(6分)关于平面向量,有下列四个命题,其中说法正确的是( )
A.向量,能作为平面内所有向量的一组基底
B.若点G是△ABC的重心,则
C.若,则或
D.若向量,,则向量在向量上的投影向量为
【解答】解:对于A,因为,,所以,所以,
所以不能作为平面内所有向量的一组基底,故A错误;
对于B,设BC的中点为M,则,,
所以,故B正确;
对于C,当时,,故C错误;
对于D,因为,,所以向量在向量上的投影向量为:==,故D正确.
故选:BD.
(多选)10.(6分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是( )
A.若P在棱AB上运动,则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
B.若P在棱AB上运动,则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
C.若P在底面ABCD内(包含边界)运动,且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为π
D.若P在△ABC内(包含边界)运动,则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
【解答】解:对于A,连接AD1,A1D,则A1D⊥AD1,AB⊥平面ADD1A1,
又A1D⊂平面ADD1A1,所以A1D⊥AB,
又AB∩AD1=A,AB⊂平面ABC1D1,AD1⊂平面ABC1D1,
所以A1D⊥平面ABC1D1,
又D1P⊂平面ABC1D1,所以A1D⊥D1P,
所以直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°,故A正确;
对于B,连接PC,PC1,D1C,
则三棱锥C1﹣D1PC的体积等于三棱锥P﹣CC1D1的体积,
因为AB∥平面CDD1C1,所以点P到平面CDD1C1的距离等于BC,为定值1,
即三棱锥P﹣CC1D1的高为1,底面三角形CD1C1的面积为,
所以,故B正确;
对于C,因为P满足DP=1,
则动点P的轨迹的长度为以D为圆心,1为半径的圆的周长的四分之一,
所以P点的轨迹的长度为,故C错误;
对于D,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,
对于平面ABC,DD1为垂线,D1P为斜线,DP为射影,
所以∠DPD1即为直线D1P与平面ABC所成角,
设AC∩BD=O,则AC⊥BD,
因为P是△ABC内(包括边界)的动点,
所以当P与O重合时,最小,此时,
当P与B重合时,最大,此时,
所以,故D正确.
故选:ABD.
(多选)11.(6分)已知函数,则( )
A.函数f(x)有3个零点
B.若函数y=f(x)﹣t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
【解答】解:根据题意,函数,
由此作出函数的图象,如图所示:
对于A:由图象易知曲线y=f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有2个零点,故A错误;
对于B:令y=f(x)﹣t=0,可得f(x)=t,
则函数y=f(x)﹣t的零点个数即为y=f(x)与y=t的图象的交点个数,
若函数y=f(x)﹣t有两个零点,由图象可知t∈{0}∪(3,7],B正确;
对于C:若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根,则y=f(x)与y=t的图象有四个交点.
不妨设x1<x2<x3<x4,
由图象可得:t∈(1,3),且x1+x2=﹣2,x3+x4=6,
所以x1+x2+x3+x4=4,故C正确;
对于D:因为f2(x)=4,解得f(x)=﹣2或f(x)=2,
结合图象可知:f(x)=﹣2有一个根,f(x)=2有四个根,
所以关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根,D正确.
故选:BCD.
三、填空题(本大题共3小题,每题5分,共15分)
12.(5分)已知向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),且(2).则实数m的值为 1 .
【解答】解:向量=(1,3),=(m,﹣2),=(﹣4,3),
∴=(2+m,4),
∵(2).
∴()=﹣4(2+m)+3×4=0,
解得实数m=1.
故答案为:1.
13.(5分)已知sinθ,csθ是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根(a∈R),则= .
【解答】解:由题意得:sinθ,csθ是x2﹣ax+a=0的两个根,
即:Δ=(﹣a)2﹣4a≥0,
解得:a≥4或a≤0,
由根与系数的关系得:,
所以(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ=a2,
即:a2﹣2a﹣1=0,
解得:,(舍去),
所以.
故答案为:.
14.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18,若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切,则球O的表面积为 16π .
【解答】解:如图所示,取上下底面的中心O′,O'',D、E、F分别为上底面棱上的切点,
则O为O′O''的中点,设AB=a,AA1=2h,
由题意易知a=2h,
则,
因为,
所以.
故答案为:16π.
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)已知向量与的夹角为30°,,.
(1)求及;
(2)求向量与向量的夹角θ.
【解答】解:(1)由题意,
.
(2)由题意得,
所以,
又因为0°≤θ≤180°,
所以θ=120°.
16.(15分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位,再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的最大值和最小值;
(3)若关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象可知A=2,
∵,
∴T=π,,
又,
∴,k∈Z,解得 ,k∈Z,
由可得,
∴;
(2)将f(x)向右平移个单位,得到,
再将所有点的横坐标缩短为原来的,得到,
令,
由,可得,
易知函数y=2sint在上单调递减,在上单调递增,
可得,,即;
(3)由(2)可得y=2sint在上单调递减,在上单调递增,
可得,,,
因为关于x的方程g(x)﹣m=0在上有两个不等实根,
即当y=g(x)与y=m有两个公共点,
由正弦函数的性质可知.
17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
(1)求角C;
(2)若△ABC的周长为20,面积为,求边c.
【解答】解:(1),
由正弦定理,得,
,
,又0<A<180°,得sinA>0,
所以,即,
由0<C<180°,解得C=60°;
(2)由(1),得,则ab=40,
由余弦定理,得,即,
得a2+b2=c2+40.又a+b+c=20,
所以(a+b)2=(20﹣c)2,即a2+2ab+b2=400﹣40c+c2,
即c2+40+80=400﹣40c+c2,解得c=7.
18.(17分)已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;
(2)求证:A′N⊥平面BCN.
(3)求三棱锥C﹣MNB的体积.
【解答】(12分)解:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
∵四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
∴AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,∴MN∥AC′,
又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′.
(2)直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
可得A′N⊥B′C′,A′N⊥CC′,B′C′∩CC′=C′,∴A′N⊥平面BCN
(3)由图可知VCMNB=VMBCN,
∵∠BAC=90°,∴BC==2,
又三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
∴S△BCN=×2×4=4.
∵A′B′=A′C′=2,∠B′A′C′=90°,点N为B′C′的中点,∴A′N⊥B′C′,A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′,∴A′N⊥BB′,
∴A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点,
∴M到平面BCN的距离为,
∴VCMNB=VMBCN=×4×=.
19.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2x﹣2在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”,求mn的取值范围;
(3)已知函数h(x)=(x﹣a)2(a≤3)在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的t∈R,不等式h(x)≥﹣t2+(s﹣t)x恒成立,求实数s的最大值.
【解答】解:(1)对于函数g(x)=x的定义域R内存在x1=0,
则g(x1)g(x2)=0≠1,故g(x)=x不是“依赖函数”.
(2)因为f(x)=2x﹣2在[m,n]递增,
故f(m)f(n)=1,即2m﹣22n﹣2=1,m+n=4,
由n>m>0,故n=4﹣m>m>0,得0<m<2,
从而mn=m(4﹣m),
设t(m)=m(4﹣m)=﹣(m﹣2)2+4,
当m∈(0,2)时,函数t(m)单调递增,
故mn∈(0,4);
(3)①若,故h(x)=(x﹣a)2在上最小值为0,此时不存在x2,舍去;
②若,故h(x)=(x﹣a)2在上单调递增,
所以,解得a=1或(舍).
所以存在,使得对任意的t∈R,有不等式(x﹣1)2≥﹣t2+(s﹣t)x都成立,
即t2+xt+x2﹣(s+2)x+1≥0恒成立,
由Δ=x2﹣4[x2﹣(s+2)x+1]≤0,
得4(s+2)x≤3x2+4,由,可得,
又在单调递增,
故当x=3时,,
从而,解得,
综上,故实数s的最大值为.
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