浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训03平行四边形(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训03平行四边形(题型归纳)(原卷版+解析)，共101页。试卷主要包含了如图，在中，，，已知，如图，在四边形中，，如图1，在中，，，求证等内容，欢迎下载使用。

Ⅰ、平行四边的判定与性质的综合应用
1．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
2．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
3．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE．
(1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB；
(2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值．
4．如图，在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，，求的面积．
5．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长．
6．如图，在中，，，点E为边AC的中点，，交AC于点E，交DE的延长线于点F，连结CD．
（1）求证：；
（2）求证：AC是DF的中垂线；
（3）过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：．
7．如图，在四边形中，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
8．在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．
(1)如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．
①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；
②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．
9．在矩形ABCD（）中，点E在边AD上，点F在DC延长线上，连接BE、BF，且．
(1)如图1，求证，，
(2)如图2，当E是AD中点时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交CD于点G，若，求线段DG的长．
10．（1）如图1，在中，，，求证：；
（2）如图2，是等边三角形，点在边上，，，交延长线于点，点为中点，试探究与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，点在边上，于点，以为边在右侧作等边，交 于点，求证：点是的中点．
Ⅱ、平面直角坐标系与平行四边形
11．如图，已知平行四边形ABCO，C（m，n），A（n，0），其中m、n满足，BC交y轴于点D．
（1）直接写出坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）已知，AG平分∠BAO，且分别交CO于点G、y轴于N，猜想线段AB、ON、CD之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）点E是直线BD上任意一点，连接AE，点F是线段OA上任意一点，连接EF，点P、Q分别是线段AE、EF的中点，若点T（，0），点K是FT的中点，连接PK交线段OQ于点J，求证：点J是线段OQ的中点．
12．如图，等腰三角形的一边在轴的正半轴上，点的坐标为， ，动点从原点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点匀速运动，动点从原点出发，沿轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点作轴的平行线分别交于，设动点，同时出发，当点到达点时，点也停止运动，他们运动的时间为秒 ．
（1）点的坐标为_____,的坐标为____；
（2）当为何值时，四边形为平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，c），且a、b、c满足=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）在x轴正半轴上有一点E，使∠ECA＝45°，求点E的坐标；
（3）如图2，若点F、B分别在轴正半轴和轴正半轴上，且OB=OF，点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数交y轴于点，交x轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线a垂直平分交于点D，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①用含m的代数式表示的面积________；
②当时，点P的坐标为________；
③在②的条件下，如图2，点M，N为y轴上两个动点，满足，且点M在点N的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点N的坐标________．
16．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图所示:直线:与轴,轴分别交于,两点,为上一点,且横坐标为1,过点作直线,与轴,轴分别交于,两点．
（1）如图1:在线段有一动点,过点作轴,交于点,连接,当时,求点的坐标;
（2）如图2,将沿某一方向平移后经过点,记平移后的直线为,为上一点,为上一点,直接写出所有使得､､､为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
18．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
（1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
19．如图，直线交轴负半轴于，交轴负半轴于，点在轴正半轴上，；
（1）如图1，求的长；
（2）如图2，点在线段上时，，连，设点纵坐标为，求的面积为（用含的式子表示）；
（3）如图3，在（2）条件下，在线段上，，交延长线于点，连接，若，时，求的值．
20．已知等腰 Rt△ ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， 已知点 A(－4，0)，点 B 在 y 轴正半轴上，（OB＜4）．
（1）如图 1，若点 B（0， 2）求点 C 的坐标．
（2）如图 2， CD⊥x 轴于 D，连接 BD，求∠ADB 的度数．
（3）如图 3 中，将△ ABO 沿 AB 所在直线对折得△ ABP，以 BP 为直角边作等腰 Rt△ PBQ， 其中BP=BQ．连接 CQ 交 PB 的延长线于 E．当点 B 在 y 轴上运动时，线段 BE 的长度是否变化?若变化求其变化范围：若不变，求其值．
Ⅲ、三角形中位线的综合应用
21．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
22．如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点F，H，G分别为的中点连接．
(1)观察猜想：图1中，线段与的关系是____________．
(2)探究证明：把绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，求面积的最大值．
23．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
24．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
26．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
27．如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
28．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
(1)如图1，，，且．求：△ABP的面积．
(2)如图2，若，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
(3)如图3，作于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
29．在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
30．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
31．已知，如图1，△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，P为边AB上一点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．
(1)求证：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形．
32．已知等腰直角与有公共顶点．
（1）如图①，当点在同一直线上时，点为的中点，求的长；
（2）如图②，将绕点旋转，点分别是的中点，交于，交于．
①猜想与的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；
②参考图③，若为的中点，连接，在旋转过程中，线段的最小值是多少（直接写出结果）．
33．（1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．
特训03 平行四边形（题型归纳）
一、解答题
1．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证平行四边形，推出，，根据等腰三角形性质推出，推出即可；
（2）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可；
（3）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可．
【解析】（1）结论是，
证明：∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
（2）结论是，
证明：过点作分别交、于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
（3）结论是．
证明：过点作分别交、延长线于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
即
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．
2．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出≌，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．
【解析】解：（1）
如图：过A点作AN⊥BE，交BE于N．
∵，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=6
即：AN=
∵
∴
∵BE=6
∴BC=10
∴EC=4
∴
即：的面积为．
（2）
如图：延长GD至P使DP=BG，连接AP，
∵AH=AF，
∴∠AFH=∠AHF
即：∠AFB=∠AHD，
又∵AF=AH，BF=DH，
∴≌
∴AB=AD
又∵，，
∴∠ABG=∠ADP
∵BG=DP，
∴≌
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∵∠ABC=60°
∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120°
∴∠AGP=∠APG=60°，
又∵AM⊥GD
∴GP=2GM=AG，
∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：BG+GD=AG．
【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
3．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE．
(1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB；
(2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，先证明△DCF≌△DGH（ASA），进而证得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再证明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可证得结论；
（2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，应用平行四边形的性质和含30°直角三角形三边关系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三边关系可得：BM＝BF＝，FM＝BM＝，进而可得DM＝，求得：FG＝，再证四边形BPQF是平行四边形，得出BP＝FQ，再证明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根据FQ+QG≥FG，可得出：当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，即BP+QN的最小值为FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值．
【解析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，
∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，
∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，
∴∠CDF＝∠GDH，
∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，
∴∠DCF＝∠DGH，
在△DCF和△DGH中，
，
∴△DCF≌△DGH（ASA），
∴DF＝DH，CF＝GH，
∵∠FDH＝90°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠DFH＝∠DHF＝45°，FH＝DH，
∵DC＝DG，∠CDG＝90°，
∴∠CGD＝DCG＝45°，
∴∠CGD＝∠DHF，
∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，
∴∠GCH＝∠BDM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG，
在△DMB和△CGH中，
，
∴△DMB≌△CGH（AAS），
∴DB＝CH，
∵CF＝GH，BM＝GH，
∴CF＝BM，
∵CF+FH＝CH，
∴BM+DH＝DB；
；
（2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，
连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，CD＝AB＝，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵BD⊥CD，CD＝，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝＝，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°，
∵BFCE，
∴∠CBF＝∠BCE＝30°，
∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°，
∵FM⊥BD，BF＝，
∴BM＝BF＝＝，FM＝BM＝×＝，
∴DM＝BD-BM＝＝，
∴DF＝＝＝，
∵DF2+BF2＝，
∴DF2+BF2＝BD2，
∴BF⊥DF，
∵BFCE，
∴CE⊥DF，
∵∠DCE＝30°，
∴∠CDF＝90°-30°＝60°，
∵BC＝2，BC＝4CN，
∴CN＝＝，
∴CG＝CN＝，
∴DG＝CD-CG＝-＝，
∵GH⊥DF，∠CDF＝60°，
∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝，
∴FH＝DF-DH＝+＝，
∴FG＝＝＝，
∵BFCE，BF＝PQ，
∴四边形BPQF是平行四边形，
∴BP＝FQ，
在△CNQ和△CGQ中，
，
∴△CNQ≌△CGQ（SAS），
∴QN＝QG，
∵FQ+QG≥FG，
∴当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，
∴BP+QN的最小值为FG，
∵PQ＝，FG＝，
∴BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ＝＝，
故BP+PQ+QN的最小值为．
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，截长补短方法，熟练运用所学知识点是解题关键
4．如图，在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，，求的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）
【分析】（1）根据已知条件求得∠BCD=∠CBA，即可得解；
（2）证明∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，即可得解；
（3）过点作于点，过点作，过作交于点,于点,过点作于点,过点作分别交，于点,连接,分别证明，，通过导角可得是等腰直角三角形，进而求得,进而求得的面积．
【解析】解：（1）证明：∵，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
又∵，
∴∠BCD=∠CBA，
∴BD=CD；
（2）证明：∠FED=∠DCB+∠CFE=∠DCB+∠A-45°，
∵，
∴∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠FED=90°-45°=45°；
（3）如图，过点作于点，过点作，过作交于点,于点,过点作于点,
即为的角平分线，
在与中，
（AAS）
过点作分别交，于点,
四边形是平行四边形
是等腰直角三角形
又
①
设
则
，
,
②
连接,如图，
是等腰直角三角形
③
在与中
，
是等腰直角三角形
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，平行四边形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
5．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得G是AH的中点，则可得AG是△ABH的中位线，进而可求证结论．
（2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论．
（3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，根据平行四边形的判定及性质可得，，则，利用勾股定理的逆定理得△AKD为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用SAS可得，进而可得，根据利用勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴△ADH为等腰三角形，
∵，
∴，
∴G是的中点，
∴E是的中点，
∴EG是△ABH的中位线，且EG与DE在同一直线上，
∴．
(2)
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK，
∴△BFK为等腰三角形，
∴HF为BK的垂直平分线，
∴BH=HK．
(3)
连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
设，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴△AKD为直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理及判定定理，巧妙借助辅助线解决问题是解题的关键．
6．如图，在中，，，点E为边AC的中点，，交AC于点E，交DE的延长线于点F，连结CD．
（1）求证：；
（2）求证：AC是DF的中垂线；
（3）过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】（1）根据，，点E为边AC的中点，可得，可证DE是AC的垂直平分线，得出，再根据，点E为边AC的中点，可得点D为边AB的中点，则有，证得；
（2）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明，进而得到，，即可证出DE=EF，由（1）知，证得AC是DF的中垂线；
（3）首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
【解析】证明：（1）∵，，点E为边AC的中点，
∴
∴DE是AC的垂直平分线，
∴，
又∵，点E为边AC的中点，
∴点D为边AB的中点，
∴，
∴；
（2）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴，
∴
∴DE=EF，
由（1）知，
∴AC是DF的中垂线；
（3）如图示：
∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠DGC=∠B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟练地应用相关性质是解题的关键．
7．如图，在四边形中，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件利用两组对边互相平行即可得出结论；
（2）根据，可得出，再根据已知条件表示出，，即可得出结论；
（3）在上截取，延长交于N，过D作交于P．
可得出为等边三角形，得出，设，则，可得出，再利用勾股定理可得出．
（1）
∵，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵射线沿翻折交边于点E，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
在上截取，作EK⊥BC于K，延长交于N，过D作交于P．
∵，，
∴．
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴解得，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合知识，题中多次用到三角形全等的判定以及性质，还利用了等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题时要细心，本题难度比较大．
8．在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．
(1)如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．
①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；
②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①AB=BH，理由见解析；②
【分析】（1）通过证明AE∥CF，AE=CF，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可；
（2）①由平行四边形证得∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∠ECF=∠AFB=∠ABF，再进一步证得∠BAC=90°-∠ECA，∠AHB =90°-∠ECA，从而得∠AHB=∠BAC，最后由等角对等边即可得证；
②如图，证明△ABH为等边三角形，构造30°的直角三角形CGH，直角三角形CGQ，令HG=x，将三角形的各边用含x的式子表示，根据勾股定理求出 ，由三角形面积公式求出，将x2整体代入求出三角形面积即可．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，∴∠EAO=∠OCF，∠AEO=∠CFO，∵O是对角线AC的中点，∴AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)∴AE=FC，∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）①AB=BH，理由如下，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ABF，由（1）知四边形AFCE为平行四边形，∴AF∥CE，∴∠ECF=∠AFB=∠ABF，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ECF=180°-45°-(45°+∠ECA)=90°-∠ECA∵BG⊥CE，∴∠BGC=90°，∠GHC=90°-∠ECA又∵∠AHB=∠GHC，∴∠AHB =90°-∠ECA，∴∠AHB=∠BAC，∴AB=BH．②如图，以CB为一边作∠BCQ=15°，角的另一边交BG于点Q，∵∠CBG=15°，∴∠CBG=∠BCQ，∠GQC=∠CBG+∠BCQ=30°∴BQ=CQ，∵∠CBG=15°，∠ACB＝45°∴∠AHB=∠CBG+∠ACB=60°由①知BH=AB，∴△ABH为等边三角形，在△CHG中，∠GHC=∠AHB=60°,令HG=x，则CH=2HG=2x，∴CG=，在△CGQ中，∠GQC=30°,∴CQ=2CG=，∴，BQ=CQ=，在Rt△BCG中，∵BC=，CG=，BG=BQ+QG=+3x∴解得，∵CE=AF，AB=AF，AB=BH，∴CE=BH=BG-HG=+3x-x=+2x，∵∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，30°的直角三角形的性质，勾股定理等，难度较大，属于压轴题，巧妙构造30°的直角三角形是解题关键．
9．在矩形ABCD（）中，点E在边AD上，点F在DC延长线上，连接BE、BF，且．
(1)如图1，求证，，
(2)如图2，当E是AD中点时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交CD于点G，若，求线段DG的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，则，，根据，即有，则有，在中，可得，即有；
（2）连接EC并延长交BF的延长线于点H，延长CE交BA延长线于点G，先证得，再证，即可得证结论；
（3）过点E作于K，延长EK交BF于L，先证明四边形ELFG为平行四边形，再证明，得到KL=DG，BL=EG，在求证KL是中位线，进而求出KL的长度，设，则，由（2）知，在和中，利用勾股定理得：，即可求出KL，则DG得解．
(1)
∵矩形ABCD，
∴，
在中，设，则，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
(2)
连接EC并延长交BF的延长线于点H，延长CE交BA延长线于点G，
如图，
∵E为AD中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
(3)
根据（2）的结论有，
过点E作于K，延长EK交BF于L，
如图，
0
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ELFG为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，可证长方形ABKE，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴（中位线）
设，则，由（2）知，
∴，
在和中，
利用勾股定理得：，
∵，
∴，
∴解得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、中位线的判定与性质、解一元二次方程等知识，作出科学的辅助线，证得是解答本题的关键．
10．（1）如图1，在中，，，求证：；
（2）如图2，是等边三角形，点在边上，，，交延长线于点，点为中点，试探究与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，点在边上，于点，以为边在右侧作等边，交 于点，求证：点是的中点．
【答案】（1）见解析；（2）MF⊥BC，证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）取AB中点D，连接CD，求得△BCD为等边三角形，再根据∠A+∠DCA=∠BDC=60°，得出∠A=30°，根据三角形内角和即可求得∠BCA=90°，即可证明；
（2）延长AE至点G，使GE=AE，连接DG，MG并延长交BC延长线于点H，连接CG，
根据条件得出△ADG是等边三角形，进而得到△BAD≌△CAG，以及△EAM≌△EGC(AAS)，从而得四边形AMGC为平行四边形，求出△CGH与△BMH是等边三角形，根据BF=HF即可求证；
（3）过B作EC的平行线交EF的延长线于点G，根据条件求出△BFG≌△CFE即可求证点是的中点．
【解析】解：（1）证明：如图1，取AB中点D，连接CD，
∴AB=2BD=2AD
∵AB=2BC
∴BD=BC=AD
∵∠B=60°
∴△BCD为等边三角形
∴∠BCD=∠BDC=60°
∵AD=CD
∴∠A=∠DCA
且∠A+∠DCA=∠BDC=60°
∴∠A=30°
∴∠BCA=180°-∠B-∠A
=180°-60°-30°
=90°
∴；
（2）MF⊥BC，
证明：如图2，延长AE至点G，使GE=AE，连接DG，MG并延长交BC延长线于点H，连接CG，
∵，GE=AE，
∴AD=DG
∵∴∠DAE=60°
∴△ADG是等边三角形
∴AD=DG=AG
∵∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAG
∵AB=AC，AD=AG
∴△BAD≌△CAG
∴BD=CG，∠ACG=∠B=60°=∠BAC
∴CG∥AB
∴∠EAM=∠EGC，∠EMA=∠ECG
∴△EAM≌△EGC(AAS)
∴AM=CG
∵AM∥CG
∴四边形AMGC为平行四边形，
∴MG∥AC
∴∠MHB=∠ACB=60°，∠AMH=∠BAC=60°
∵∠GCH=180°-∠ACB-∠ACG=60°
∴∠GCH=∠H=∠CGH=60°
∴△CGH是等边三角形
∴CH=CG=BD
∵∠AMH=∠B=∠H=60°
∴△BMH是等边三角形
∵点为中点，
∴DF=CF
又∵BD=CH
∴BF=HF
∴MF⊥BC；
（3）证明：如图3，过B作EC的平行线交EF的延长线于点G，
∵△ABC、△AHE为等边三角形
∴AB=AC，AH=AE，∠BAC=∠HAE=∠AEH=∠AHE=60°
∴∠BAH=∠CAE
∴△BAH≌△CAE(SAS)
∴BH=CE，∠AEC=∠AHB=90°
∴∠HEC=∠AEC-∠AEH=30°
∵BG∥EC
∴∠BGH=∠HEC=30°
∵∠AHB=90°，∠AHE=60°
∴∠BHG=180°-∠AHB-∠AHE=30°
∴∠BHG=∠BGH
∴BG=BH=EC
∵∠G=∠FEC，∠BFG=∠CFE
∴△BFG≌△CFE(AAS)
∴BF=CF
∴F为BC的中点．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
11．如图，已知平行四边形ABCO，C（m，n），A（n，0），其中m、n满足，BC交y轴于点D．
（1）直接写出坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）已知，AG平分∠BAO，且分别交CO于点G、y轴于N，猜想线段AB、ON、CD之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）点E是直线BD上任意一点，连接AE，点F是线段OA上任意一点，连接EF，点P、Q分别是线段AE、EF的中点，若点T（，0），点K是FT的中点，连接PK交线段OQ于点J，求证：点J是线段OQ的中点．
【答案】（1）A（5，0），B（2，5），C（-3，5）；（2）AB =CD+ON，理由见解析；（3）证明解析
【分析】（1）先利用二次根数的性质求出m，n，然后利用平行四边形的性质求解即可；
（2）在y轴负半轴取P（0，-3），连接AP，先证明△CDO≌POA，然后证明∠PAN=∠PNA，
得到NP=AP，即可得到结论；
（3）连接QK，PQ，PO，证明四边形PQKO是平行四边形即可.
【解析】解：（1）∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴A（5，0），C（-3，5），
∴OA=5，
∴BC=5，
∴B（2，5）；
（2）AB =CD+ON，理由如下：
∵B（2，5），C（-3，5），D为BC与y轴的交点，
∴D（0，5），
∴CD=3，OD=OA，
在y轴负半轴取P（0，-3），连接AP
∴OP=CD=3
∵∠CDO=∠AOP=90°，
∴△CDO≌POA（SAS），
∴∠COD=∠PAO，CO=PA，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥CO，∠C=∠OAB，CO=AB，
∴∠OGA=∠BAG，
∵AG平分∠BAO，
∴∠BAG=∠OAG
设∠BAG=∠OAG=∠OGA=x，则∠C=2x，∠GOD=90°-2x，
∴∠ONA=90°-x，∠PAN=∠GAO+∠PAO=90°-x，
∴∠PAN=∠PNA，
∴NP=AP，
∴PN=CO，
又∵CO=AB
∴AB=PN=ON+OP=CD+ON；
（3）如图所示，连接QK，PQ，PO，
∵点P、Q分别是线段AE、EF的中点，
∴PE=PA，QE=QF，
∴QP是三角形AEF的中位线，
∴，PQ∥AF，
设OF=a，则AF=5-a，，，
∴，
∴四边形PQKO是平行四边形，
∴J是线段OQ的中点.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．如图，等腰三角形的一边在轴的正半轴上，点的坐标为， ，动点从原点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点匀速运动，动点从原点出发，沿轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点作轴的平行线分别交于，设动点，同时出发，当点到达点时，点也停止运动，他们运动的时间为秒 ．
（1）点的坐标为_____,的坐标为____；
（2）当为何值时，四边形为平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（t，t），（10-t，t）；（2）当t为时，四边形POEF是平行四边形；（3）t=和4时，使△PEF为直角三角形．
【分析】（1）过点A作AD⊥OB，由点A的坐标为（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，进而可得：BD=4，进而可得点B的坐标为：（10，0），然后设OA的关系式：y=kx，然后将A（6，8）代入即可得直线OA的关系式，然后设直线AB的关系式为：y=kx+b，然后将A，B两点代入，即可确定直线AB的关系式，由过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，可知点Q、E、F三点的纵坐标相等均为t，然后由点E在OA上，点F在AB上，将点E、F的纵坐标分别代入对应的关系式，即可得到得到点E、F的坐标；
（2）由EF∥OP，欲使四边形POEF是平行四边形，只需EF=OP即可，从而可得关于t的等式，解答即可；
（3）分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．
【解析】解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，
∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直线OA的关系式：y=x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
，
解得： ，
所以直线AB的关系式为：y=-2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y=x，得：x=t，
∴E点的坐标为：（t，t），
将点E的纵坐标t代入y=-2x+20，得：x=10-t，
∴F点的坐标为：（10-t，t），
故答案为：（t，t），（10-t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F（10-t，t），
∴EF=10-t-t=10-t，
∵四边形POEF是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10-t=2t，
解得：t=，
∴当t为时，四边形POEF是平行四边形；
（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当PE⊥PF时，PE2+PF2=EF2，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10-t，EF=10-t，
∴PM=t，PN=10-t，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（t）2+（10-t）2+t2=（10-t）2，
解得：t1=0（舍去），t2=；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON-OP，
∴10-t=10-t-2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP-OM，
∴10-t=2t-t，
解得：t=4，
∴当t=和4时，使△PEF为直角三角形．
【点睛】此题考查一次函数的综合题型，待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题，平行四边形的判定，勾股定理的应用及矩形的性质，解第（3）的关键是：分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF．
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，c），且a、b、c满足=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）在x轴正半轴上有一点E，使∠ECA＝45°，求点E的坐标；
（3）如图2，若点F、B分别在轴正半轴和轴正半轴上，且OB=OF，点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．
【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解
【分析】（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a、b、c的值，即可得出点A、C的坐标；
（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明，求出点G的坐标，由等面积法求出AE长度即可求出点E坐标；
（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形即可．
【解析】（1）由题意知，=0，
所以a=-3，b=3，c=-2，
点A坐标为（-3，0），点C坐标为（3，-2），
故答案为：（-3，0）；（3，-2）；
（2）过点A作AC的垂线，交CE的延长线于点G，过点A作x轴的垂线KL，过点C作KL的垂线于点K ，过点G作KL的垂线于点L，过点G作x轴的垂线于M，过点C作x轴的垂线于N，
∵∠ECA＝45°，AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，AG=AC，△CAG为等腰直角三角形，
由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK，
在△ALG和△CKA中

∴，
∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，
∴GM=6，OM=3-2=1，
∴点G坐标为（-1，3），
在Rt△ANC中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，AG=AC=，
由等面积法，得，
∴，
∴AE=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
故点E坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（3）如图，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，
∴∠OEP=∠EPO=45°，
∴EO=PO，
∵∠EOP=∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠POF，
在△EOB和△POF中，
∴△EOB≌△POF，
∴EB=PF=PN，∠1=∠OFP，
∵∠2+∠PMO=180°，
∵∠MOF=∠MPF=90°，
∴∠OMP+∠OFP=180°，
∴∠2=∠OFP=∠1，
∴EB∥PN，
∵EB=PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG=GN，
即点G是BN的中点．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图像，直线是一次函数的图像，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(-m，0)， B（，0），P(，)
(2)
PA的表达式为：
PB的表达式为：
(3)存在；D1，D2， D3．
【分析】(1)A点是直线y=x+m与x轴的交点．令y=0，求出x即可得到A点的横坐标．B点是直线y=－3x+n与x轴的交点，令y=0，求出x即可得到B点的横坐标．联立y=x+m 与 y=－3x+n，求出P点坐标即可．
（2）根据，把n表示成，再把p点坐标表示成P()．根据四边形PQOB的面积=△ABP的面积－△AOQ的面积列方程求出m，从而求出n，最后带入PA，PB的表达式中即可
（3）过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．根据平行四边形的对边平行且相等很容易得到D1、D2的坐标，根据两直线平行斜率相同，得到AD3、BD3的表达式，再把这两个表达式联立起来解方程组得到D3的坐标
【解析】（1）在直线中，令y=0，得
∴点A(-m，0)
在直线中，令y=0，得
∴点B（，0）
由 得
∴点P(，)
（2）∵
∴
得
∴
∴P()
∵S四边形PQOB=S△ABP- S△AOQ =
∴

解得
∵m>0
∴m=4
∴
∴
∴PA的表达式为：
PB的表达式为：
（3）
存在
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别做BP、AP的平行线交于点D3．
①∵PD1∥AB，BD1∥AP
∴四边形PABD1是平行四边形，此时PD1=AB，易得D1；
②∵PD2∥AB，AD2∥BP
∴四边形PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得D2；
③∵BD3∥AP，AD3∥BP
∴四边形BPAD3是平行四边形
∵BD3∥AP且B（2，0）
∴yBD3=x-2．同理可得yAD3= -3x-12
得
D3
综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形
D1；D2； D3
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了两条直线的交点问题和坐标与图形的性质，三角形的面积，用待定系数法求一次函数解析式，已知三点求平行四边形的第四个点的坐标 ．解题的关键是熟练掌握待定系数法．
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数交y轴于点，交x轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线a垂直平分交于点D，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①用含m的代数式表示的面积________；
②当时，点P的坐标为________；
③在②的条件下，如图2，点M，N为y轴上两个动点，满足，且点M在点N的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点N的坐标________．
【答案】(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根据点A和点B坐标应用待定系数法即可．
（2）①根据线段垂直平分线的性质和一次函数解析式求出点D坐标，进而用m表示PD的长度，再根据三角形面积公式计算即可．
②根据①中△ABP面积公式求出m的值，再根据线段垂直平分线的性质确定点P的横坐标，即可求出点P的坐标．
③在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接BC，其与y轴的交点即为N．根据四边形周长公式确定当PM+BN取得最小值时，四边形BPMN的周长取得最小值，根据平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质确定CN=PM，进而确定当B，N，C三点共线时，四边形BPMN的周长取得最小值，根据点B和点C坐标应用待定系数法求出直线BC的解析式，进而即可求出点N的坐标．
（1）
解：将点，，代入得：
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）
解：①∵直线a垂直平分交于点D，
∴点D的横坐标为-3．
∵点D在直线AB上，
∴．
∵点P的纵坐标为m，
∴PD=m-2．
∴．
故答案为：3m-6．
②∵，
∴3m-6=12．
∴m=6．
∵点P在线段OB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标是-3．
∴．
故答案为：．
③如下图所示，在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接BC，其与y轴的交点即为N．
∵点B和点P是定点，
∴BP的长度为固定值．
∵，MN=2，
∴当PM+BN取得最小值时，四边形BPMN的周长取得最小值．
∵PQ⊥OB，MN⊥OB，
∴．
∵，，
∴PQ=2．
∴PQ=MN．
∴四边形PQNM是平行四边形．
∴QN=PM．
∵点C与点Q关于y轴对称，
∴CN=QN=PM，．
∴CN+BN=PM+BN．
∴当B，N，C三点共线时，CN+BN取得最小值，即PM+BN取得最小值．
∴当B，N，C三点共线时，四边形BPMN的周长取得最小值．
设直线BC的解析式为y=px+q．
把点B和点C坐标代入直线BC解析式得
解得
∴直线BC解析式为．
∴当x=0时，．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据自变量求一次函数的函数值，三角形面积公式，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，综合应用这些知识点是解题关键．
16．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）或或
【分析】（1）在直线中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知，，，，在中，，利用，即可求解；
（3）证明，则，，即可求解；
（4）分是边、是对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）对于直线，令，得到，
，
令，得到，
．
．；
（2）由（1）可得：．，
，，
，
，
由翻折不变性可知，，，，
，设，
在中，，
，
，
解得，
；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，
交过点与轴的平行线于点，
为等腰直角三角形，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得：，，
故点的坐标为、点；
由于、的位置可能互换，故点的坐标为、点；
综上，点的坐标为或；
（4）点是的中点，则点，而点，
设点，点，
①当是边时，
点向右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
同样点右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
故且或且，
解得：或，
故点的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：且，
解得：，故点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
17．如图所示:直线:与轴,轴分别交于,两点,为上一点,且横坐标为1,过点作直线,与轴,轴分别交于,两点．
（1）如图1:在线段有一动点,过点作轴,交于点,连接,当时,求点的坐标;
（2）如图2,将沿某一方向平移后经过点,记平移后的直线为,为上一点,为上一点,直接写出所有使得､､､为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）;（2）,,过程见解析．
【分析】（1）根据直线可求出点C的坐标,再根据直线,可得到直线的解析式,设,则,则得FH,然后用m表示出来,可列出方程即可求解．
（2）分别以AD为平行四边形的边或对角线进行分类讨论,利用平行四边形的对角线互相平分,列出方程即可求解．
【解析】（1）将代入:,
得．
且过,
:．
设则,
,
解得,．
在线段上,
,
,
．
（2）∵直线:与轴交于点,
∴,即 ∴点D的坐标为D ,
∵将沿某一方向平移后经过点,
所以可设直线为的解析式为 ,
∴ ,解得:,
即直线为的解析式为,
设点M ,N ,
当AD为对角线时,有 ,
解得: ,
∴点M的坐标为 ;
当AD为边长,AM为对角线时,有
,
解得:
∴点M的坐标为 ;
当AD为边长,DN为对角线时,有
解得:,
∴点M的坐标为 ;
综上所述,使得､､､为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质,平行四边形的性质,一元二次方程组的解法等知识点,解题的关键是能够运用数形结合的思想,及熟练掌握相关知识点．
18．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
（1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）C(0，2），D(4，2）；S四边形ABDC=8；（2）Q(0，4）或Q(0，﹣4）；（3）∠CPO=∠DCP+∠BOP，证明见解析．
【分析】（1）根据平移直接得到点C、点D的坐标，用面积公式计算S四边形ABDC；
（2）设出Q的坐标，OQ=|m|，用S△QAB= S四边形ABDC建立方程，解方程即可；
（3）作出辅助线、平行线，用两直线平行，内错角相等即可．
【解析】解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD
且A(﹣1，0），B(3，0）
∴C(0，2），D(4，2）
∵AB=4，OC=2
∴S四边形ABDC=AB×OC=8．
（2）∵点Q在y轴上，设Q(0，m）
∴OQ=|m|
∴S△QAB=×AB×OQ=×4×|m|=2|m|
∵S四边形ABDC=8
∴2|m|=8
∴m=4或m=﹣4
∴Q(0，4）或Q(0，﹣4）．
（3）如图
∵线段CD是线段AB平移得到
∴CD∥AB
作PE∥AB
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵PE∥AB
∴∠OPE=∠BOP
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质、计算三角形面积的方法、平行线的判定和性质，解本题的关键是用面积建立方程或计算，作出辅助线是解本题的难点．
19．如图，直线交轴负半轴于，交轴负半轴于，点在轴正半轴上，；
（1）如图1，求的长；
（2）如图2，点在线段上时，，连，设点纵坐标为，求的面积为（用含的式子表示）；
（3）如图3，在（2）条件下，在线段上，，交延长线于点，连接，若，时，求的值．
【答案】（1）6；（2）S=（0＜t＜6）；（3）2
【分析】（1）由条件推出AO=BO，进而即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式为：y=-x-6，设C（x，-x-6），由，可得x=-t，进而即可求解；
（3）过点C作CP∥DE，交y轴于点P，可得PO=PC，由四边形AOCD是平行四边形，可得D（-t-6，t-6），从而得直线DE的解析式为：，CP的解析式为：，即P（0，），结合OP2=PC2，列出方程，进而即可求解．
【解析】解：（1）∵，，
∴=，
∴AO=BO，
∵，
∴BO= AO=6；
（2）∵，，
∴直线AB的解析式为：y=-x-6，
∵点在线段上，
∴设C（x，-x-6），
∵，
∴，解得：x=-6（舍去）或x=-t，
∴S==（0＜t＜6）；
（3）过点C作CP∥DE，交y轴于点P，
∵CP∥DE，
∴∠BED=∠CPB，
∵
∴∠CPB=2∠BOC，
又∵∠CPB=∠BOC+∠PCO，
∴∠BOC=∠PCO，
∴PO=PC，
∵CD∥AO，
∴，
又∵，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴CD=AO=6，
∴D（x-6，t-6），即D（-t-6，t-6），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线DE的解析式为：，
∵CP∥DE，
∴设CP的解析式为：，
代入C（-t，t-6），得，解得：，
∴CP的解析式为：，
∴P（0，），
∴OP=，PC=，
∵OP=PC，即：OP2=PC2，
∴，
解得：t=2或t=-6（舍去），
∴t=2．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的图像和性质，函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，解一元二次方程，是解题的关键．
20．已知等腰 Rt△ ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， 已知点 A(－4，0)，点 B 在 y 轴正半轴上，（OB＜4）．
（1）如图 1，若点 B（0， 2）求点 C 的坐标．
（2）如图 2， CD⊥x 轴于 D，连接 BD，求∠ADB 的度数．
（3）如图 3 中，将△ ABO 沿 AB 所在直线对折得△ ABP，以 BP 为直角边作等腰 Rt△ PBQ， 其中BP=BQ．连接 CQ 交 PB 的延长线于 E．当点 B 在 y 轴上运动时，线段 BE 的长度是否变化?若变化求其变化范围：若不变，求其值．
【答案】（1）C（2，-2）；（2）；（3）线段 BE 的长度不变， BE=2
【分析】（1）如图中，作CH⊥y轴于H，只要证明△ABO≌△BCH（AAS）即可解决问题；
（2）证得四边形CHOD是矩形，得到CH=OD，作CH⊥y轴于H，同理，证明△ABO≌△BCH（AAS），推出CH=OB，从而推出OD=OB，证得△DBO是等腰直角三角形，即可得到∠ADB 的度数；
（3）由折叠的性质得△ ABP△ ABO，再由“AAS”推出△CBF≌△BAP，得到BF=AP=4，CF=BP，再证明四边形BCFQ是平行四边形，即可求得BE=2．
【解析】（1）如图，作CH⊥y轴于H，
∵A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
∵BA=BC，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴BH=OA=4，CH=OB=2，
∴OH=BH-OB=2，
∴C（2，-2）；
（2）如图，作CH⊥y轴于H，
∵CD⊥x 轴于 D，
∴四边形CHOD是矩形，
∴CH=OD，
同理，△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB，
∴OD=OB，
∴△DBO是等腰直角三角形，
∴∠ADB；
（3）线段 BE 的长度不变，且BE=2，
理由如下：
如图，作CF⊥PE交PE的延长线于F，连接FQ，
∵△ ABP是△ ABO对折得来的，
∴△ ABP△ ABO，
∴∠AOB=∠APB =90°，AP=AO=4，PB=BO，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABP+∠CBF=90°，∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠CBF=∠BAP，
∴△CBF≌△BAP（AAS），
∴BF=AP=4，CF=BP，
∵△PBQ是等腰直角三角形，且BP=BQ，
∴BQ⊥PE，
∴BQ∥CF，且BQ=CF，
∴四边形BCFQ是平行四边形，
∴BE=EF=BF=2．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，得到，，则，求出
，即可利用勾股定理求出；
（2）如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，先求出，再由已知条件得到
，即可证明都是等边三角形，得到，由全等三角形的性质得到
，即可证明，推出是等边三角形，则，证明得到，再证明是
的中位线，得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，，根据轴对称的性质得到，则，由三角形三边的关系得到，则当
三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，求出，，，即可求出，则
．
【解析】（1）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵N是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如图所示，连接，，
∵和关于直线成轴对称图形，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
过点G作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
22．如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点F，H，G分别为的中点连接．
(1)观察猜想：图1中，线段与的关系是____________．
(2)探究证明：把绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形；理由见解析
(3)18
【分析】（1）直接利用三角形的中位线定理得出，再借助三角形的外角的性质即可得出，即可得出结论；
（2）由题意可证，可得，根据三角形中位线定理，可证，根据角的数量关系可求，即可证是等腰直角三角形；
（3）由题意可得最大时，面积最大，点D在的延长线上，即可求出面积的最大值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵点F是的中点，点H是的中点，
∴，
∵点G是的中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∵点G是的中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
故答案为；
（2）解：是等腰直角三角形
理由：由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
由三角形的中位线得，，
∴，
∴是等腰三角形，
由三角形的中位线得，，
∴，
由三角形的中位线得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
∵，
∴最大时，面积最大，
∴点D在的延长线上，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，性质的性质，三角形的中位线定理，判断出是解本题的关键．
23．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
【答案】(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【解析】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据等边对等角先求出，再由，得到，则，即；
（2）由折叠的性质可知，利用三角形外角的性质证明，则，即可推出，由此可证明；
（3）如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，可以得到，则根据（2）的结论求出，则，再根据含30度角的直角三角形的性质推出，再导角证明，即可证明，得到．
【解析】（1）证明：如图1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：由折叠的性质可知，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，过点C作于点M，于点N，根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据三角形中位线的性质可求，，即可求出点C的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）取中点G，连接，根据三角形中位线的性质得出，，根据可证，得出，，结合三角形内角和定理和可求，再结合平行线的性质，对顶角的性质以及等角对等边可证，进而得出，则可求，即可可求Q的坐标．
【解析】（1）解∶连接，过点C作于点M，于点N，
∵点C为的中点，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）解：连接，过点C作于点M，
，
由（1）知：，
由题意知：，，
∴
；
（3）解：取中点G，连接，
，
∵点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y轴负半轴上，
∴Q的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，证明是解第（3）的关键．
26．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)万元
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得．
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，过点作于点，如图：
，，，
，
，
，
；
公园的面积为；
故答案为：．
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处，
此时即为取最小值，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大．
27．如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
【答案】(1)，；
(2)①6或；②或
【分析】（1）由题意可得，再由勾股定理求得、即可；
（2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
当在线段上时，如图3，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论；
当在线段的延长线上时，过作于，同计算可得结论．
【解析】（1）解：由题意可得：，
由勾股定理可得，，
即，
（2）①分两种情况：
当时，过作于，如图1所示：
，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图2所示：
在和中，
，
，
，
；
综上所述，的长为6或；
②分两种情况：
当在线段上时，过作于，如图3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
；
当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示：
同理得：，
，
，
同理得：是等腰三角形，
，
，
中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键．
28．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
(1)如图1，，，且．求：△ABP的面积．
(2)如图2，若，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
(3)如图3，作于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
【答案】(1)；
(2)，证明见详解；
(3)DE的最小值为．
【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，由,列等量关系,计算得到的长，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）连接CE并延长，交BA的延长线与点H，证明，,进一步推理得到；由三角形中位线定理知道；证明，得到,代入中即可得到答案；
（3）延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，推理得到当AP有最小值的时候，DE有最小值，在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：过点A作AG⊥BC于点G，如下图：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
在中，，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得：，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴BC=2BG=2，
∴，
∴；
（2）,理由如下：
证明：连接CE并延长，交BA的延长线与点H，作图如下：
∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得：,即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵F是BE的中点，
∴AF是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，如下图：
∴DE为△PMN的中位线，
∴MN=2BE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，AM=AN，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当AP有最小值的时候，DE有最小值，
∴在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，
过点B作BF⊥AC于点F，如下图：
∵，
∴∠BFC=∠BFA=，
在中，，
∴，
∴FB=FC，
由勾股定理，得：，即，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得：，
即：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，即，
∵，
∴，
∴AP的最小值为3，
∴，
∴DE的最小值为：．
【点睛】本题考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，直接开平方法解一元二次方程，二次根式的加减，等知识点，能够用化归的思想，利用辅助线画准确图形是解该类型题的关键．
29．在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3)或
【分析】（1）由平行线的性质证得，再根据可证△BPM≌△CPE，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
（2）延长与的延长线相交于点E．再证 可得 ，然后求出△MNE的面积即可解答．
（3）分当点在直线a的异侧和同侧两种情形，分别利用三角形中位线定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵于点M．于点N
∴，
∴ ，
∴
又∵P为边中点，
∴，
又 ，
，
∴ ．
（2）解：如图：延长与的延长线相交于点E
∵于点M．于点N
∴
∴，
∴
∴，
又∵P为中点，
∴
又∵ ，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵
∴．
（3）解：①如图1当点B，P在直线a的异侧时，
∵,
∴，
∵，
∴MG=GN，
∴，
∵，
∴；
①如图2：当点B，P在直线a的同侧时，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、梯形的中位线定理、三角形的面积等知识点，解题的关键是正确并证明全等三角形．
30．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)30°
【分析】（1）利用平行线的性质可得同位角相等，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）过点作交于点，则四边形为平行四边形，得且，由（1）可得且，从而得出结论；
（3）取线段的中点，连接，由三角形中位线定理得，，则，，即可解决问题．
（1）
解：证明：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）
成立，理由如下：
过点作交于点，
，
四边形为平行四边形，
且，
由（1）可得且，
且，
四边形为平行四边形；
（3）
取线段的中点，连接，
是的中位线，
，，
且，
，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键．
31．已知，如图1，△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，P为边AB上一点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．
(1)求证：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)BC＝2CH，理由见解析
(3)AP的长为或
【分析】（1）由“SAS”可证△APD≌△EQD；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠B＝30°，CE⊥AB，∠BCE＝60°，由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠DEQ＝∠H＝30°，可证CH＝CE，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
（1）
证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵DE为△ABC的中位线，
∴，DE＝BC，AD＝AC，
∴∠ADE＝∠ACB，AD＝DE，
∵AC＝BC，DP＝DQ，∠PDQ＝∠ACB，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝∠DQP，∠ADE＝∠ACB＝∠PDQ，
∴，
∴∠ADP＝∠EDQ，
在△APD和△EQD中，
∴△APD≌△EQD（SAS）．
（2）
解：BC＝2CH，理由如下，连接CE，如图所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，点E是AB的中点，
∴∠A＝∠B＝30°，CE⊥AB，∠BCE＝60°，
∴BC＝2CE，
∵△APD≌△EQD，
∴∠A＝∠DEQ＝30°，
∵，
∴∠DEQ＝∠H＝30°，
∵∠BCE＝∠H＋∠CEH，
∴∠CEH＝30°＝∠H，
∴CH＝CE，
∴BC＝2CH．
（3）
解：设HE与AC的交点为N，如图所示：
∵∠H＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠CNH＝90°，
∴当点Q与点N重合时，△HQG为直角三角形，
∵∠PDN＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴∠APD＝180°−∠A−∠ADP＝90°，
∵点D是AC的中点，AC＝2，
∴AD＝1，
∵∠A＝30°，∠APD＝90°，
∴DP＝AD＝，；
当∠QGH＝90°时，如图所示：
∵∠QGH＝∠DNQ＝90°，∠HQG＝∠DQN，
∴∠H＝∠GDC＝30°，
∴∠CDP＝90°＝∠ADP，
又∵∠A＝30°，
∴AP＝2DP，，
∴；
综上分析可知：AP的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
32．已知等腰直角与有公共顶点．
（1）如图①，当点在同一直线上时，点为的中点，求的长；
（2）如图②，将绕点旋转，点分别是的中点，交于，交于．
①猜想与的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；
②参考图③，若为的中点，连接，在旋转过程中，线段的最小值是多少（直接写出结果）．
【答案】（1）；（2）①；证明见解析；②线段的最小值是．
【分析】（1）如图：过点作于点，先说明FQ是△ADE的中位线，然后再求得FQ、BQ，最后再运用勾股定理解答即可；
（2）①连接交于，先证明可得，然后再说明GM是△ABD的中位线可得，然后再根据角的关系证明﹔②如图：连接CG，取中点O，连接OK、OM，再根据勾股定理和三角形中位线的性质求得CG和OK,进而求得OM,最后根据三角形的三边关系即可解答．
【解析】解：（1）过点作于点，
∵点是的中点，
∴FQ是△ADE的中位线
，
；
（2）①﹔
证明:连接交于．
，
．即；
在和中，
，
（SAS），
分别是的中点，
∴GM是△ABD的中位线
且
，
，
﹔
②如图：连接CG，取中点O，连接OK、OM
∴，OK=AG=1
∵∠CMG=90°，O为CG的中点
∴OM=CG=
∵MK＞OM-OK
∴当O、K、M共线时，MK取最小值OM-OK=-1．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
33．（1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）PF=PG，证明见解析
【分析】（1）由三角形中位线定理得，再根据30°角所对直角边等于斜边一半可得，从而可得结论；
（2）①证明△ACG≌△HCE，得AG=EH，再证∠FAG=∠DEH，可证明△AFG≌△EDH，从而可得结论；②取FG与EH的交点为I，取AG与EH的交点为J，由三角形外角的性质可得结论；
（3）如图，证明PG∥DH且PG=即可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE是的中位线，
∵
在中，，
∴
∴．
（2）①如图2中，∵
∴
∵点E是AC的中点，
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴△ACG≌△HCE，
∴AG=EH．
∠FAG=∠FAB+∠CAG+∠BAC=∠BAC，
∠DEH=∠CED+∠CEH=∠BAC+∠，
∴∠FAG=∠DEH．
又∵AF=ED．
∴△AFG≌△EDH(SAS)．
∴FG=DH．
②取FG与EH的交点为I，取AG与EH的交点为J．
∵∠FOD是△OHI的外角，
∴∠FOD=∠OHI+∠OIJ=∠IGJ+∠GIJ=∠AJE=．
（3）如图,
由（2）得△ACG≌△HCE
∴AC=HC，
∵
∴CG=，即点G为CH的中点，
又CD=
∴，即点P为CD的中点
∴PG是△CDH的中位线，
∴PG∥DH且PG=．
∴∠PGF=∠DOF=，∠FPG=，∠PFG=．
∴PF⊥PG且PF=PG．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，30°角所对直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握中位线定理是解答本题的关键．