浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.18 一元二次方程的应用（知识讲解）

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专题2.18 一元二次方程的应用（知识讲解）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为100c+10b+a.　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利润(销售)问题（中考常考点）　　利润(销售)问题中常用的等量关系：　　利润=售价-进价(成本)　　总利润=单个利润×总件数4.几何问题通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小。【典型例题】类型一、一元二次方程的应用➽➼传播问题✬✬增长率问题1． 有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【答案】10人；13310人【分析】设平均一人传染了人，根据有10人患了流感，经过两轮传染后共有1210人患了流感，列出方程求解；根据前面所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 解：设平均一人传染了人，根据题意得：，化简得：，解得：，（不符合题意舍去）故每轮传染中平均一个人传染了10个人，所以经过三轮后患上流感的人数为：（人）；经过三轮传染后共有13310个人患流感．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而列方程求解．举一反三： 【变式】 去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？【答案】(1)每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．(2)患病的猪会超过500头，理由见解析．【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论，再进行比较即可． （1）解：设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．（2）解：（头）．患病的猪会超过500头，答：患病的猪会超过500头．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2． 建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)； (2)17个【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解；（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解． （1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．（2）解：设该市在2023年可以改造y个老旧小区，依题意得：，解得：，又∵y为整数，∴y的最大值为17．答：该市在2023年最多可以改造17个老旧小区．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．举一反三：【变式】 2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了元．(1)求该贫困户2018年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率；(2)若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到元？【答案】(1) (2)能【分析】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，依等量关系列出一元二次方程即可；（2）利用公式：，直接计算即可． 解 ：设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，根据题意，得：， 解得：，（舍去）．答：该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为．（2）解：（元），∵ ，∴年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到元．【点拨】本题考查了一元二次方程在增长率方面的实际应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键．类型二、一元二次方程的应用➽➼握手问题✬✬数字问题3． 无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？【答案】参加这次数学交流会的学生有人【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解． 解：设参加此会的学生为名，则每个学生都要握手次，根据题意得：，解得：，（舍去），答：参加这次数学交流会的学生有人．【点拨】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．举一反三：【变式】 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？【答案】8【分析】设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场”列方程并求解即可． 解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，由题意得，，整理得，，解得，，（不合题意，舍去），答：比赛组织者应邀请8个队参加比赛．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．4． 如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相邻的 个数（如 ），若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和是多少？ 【答案】【分析】设最小数为 ，则最大数为 ，根据题意列出方程求解，然后确定这9个数求和即可． 解：设最小数为 ，则最大数为 ，根据题意，得解得故这 个数为 所以这 个数的和为 ．【点拨】题目主要考查一元二次方程的应用及有理数的加法的应用，理解题意，列出方程是解题关键．举一反三：【变式】 解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．【答案】周瑜去世时的年龄为岁【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可． 解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：，解得，，当时，，（不合题意，舍去），当时，（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为岁．【点拨】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．类型三、一元二次方程的应用➽➼图形问题✬✬动态几何问题5． 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 【答案】的值为【分析】根据各边之间的关系，可得出的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：∵栅栏总长度为，的长为，∴的长为．根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意．∴此时的值为．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：） 【答案】【分析】设有盖纸盒的底面边长为，根据长方形的面积公式结合纸盒的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取底面积大于侧面积时的即可得出结论 解：设有盖纸盒的底面边长为，，，，当时，，∴不合题意，舍去，∴答：该有盖纸盒的底面边长为【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】 如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】【分析】设剪去的正方形边长为，根据底面长方形的面积为12cm2列一元二次方程求解． 解：设剪去的正方形边长为，则，解得（舍去），答：剪去的正方形的边长为．【点拨】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．6． 如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发， 出发多少秒后，四边形的面积为？出发多少秒后，四边形的面积能否为？为什么？【答案】(1)2秒 (2)不能，见解析【分析】（1）设t秒后，四边形的面积为 ，则，，根据，列出方程，即可求解；（2）设x秒后，四边形的面积为 ，则，，根据，列出方程，即可求解． 解 ：设t秒后，四边形的面积为 ，则，∴，∵，∴∵，∴整理得：，解得：，当时，，∵Q不与点C重合，∴不合题意舍去，所以2秒后，四边形的面积为；（2）解：设x秒后，四边形的面积为 ，则，∴，根据题意得：，整理得：，∵    ∴此方程无实数根，∴四边形的面积不能为．举一反三：【变式1】 如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)秒； (2)秒或秒【分析】（1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点P应在上，才是四边形．根据路程=速度时间，分别用t表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论． 解 ：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的，，，解得：∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的．（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为，①当时，当点在点上方时，则，即，过点作于点，则，，， ∴，在Rt中，∵，，，∴，∴，解得（舍），．当点在点下方时，则，即，过点作于点，则，，，∴， 在Rt中，∵，，，∴，∴，解得，（舍）．②当时，则 ∵，，∴，∴，在Rt中，∵，，，∴有，得方程：，，此方程无实根．综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为．【点拨】本题考查一元二次方程动点问题，涉及到一元二次方程和勾股定理的相关知识，注意分类讨论思想的运用．【变式2】 如图，在中，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动；动点同时从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向向终点运动． 如果点的运动的时间为；(1)当为2时，两点之间的距离是_______；(2)用含t的代数式表示的面积S，并写出此时t的取值范围；(3)当t为多少时，S的值为2？【答案】(1)； (2)；(3)当或时，S的值为2【分析】（1）由题意得到，在中，当时，，；（2）分和时，别列出表达式即可；（3）按照当时，，当时，，分别进行求解即可． 解 ：∵动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动；动点同时从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向向终点运动．点的运动的时间为， ，∴，在中，∴当时，，∴；（2）∵，，当时，点到达点，点继续运动，当时，点到达点，∴时，,当时，∴（3）当时，，解得： ， （舍）当时，，解得： ．综上所述：当或时，S的值为2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，勾股定理，列函数关系，数形结合是解题的关键．类型四、一元二次方程的应用✬✬销售问题7． 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)若某天该商品每件降价元，当天可获利多少元？(2)设每件商品降价元，则商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；(3)要使商场日盈利达到元，则每件商品应降件多少元？【答案】(1)元； (2)；；(3)元【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润每件的销售利润日销售量，即可求出当天销售该商品获得的利润；（2）利用日销售量增加的数量每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出日销售量增加的数量；利用每件商品的销售利润每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出每件商品的销售利润；（3）利用商场销售该商品的日盈利每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为了尽快减少库存，即可得出每件商品应降价元． 解 ： （元）．答：若某天该商品每件降价元，当天可获利元．（2）依题意得：商场日销售量增加件，每件商品盈利元．（3）依题意得：，整理得：，解得：，，又为了尽快减少库存，．答：每件商品应降价元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．举一反三：【变式1】 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．(1)当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　　个水杯，月销售利润是　　元；(2)若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．【答案】(1)550，8250； (2)50元【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；（2）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入中即可求出每个水杯的售价为50元．解：（1）（个），（元）．故答案为：550；8250．（2）依题意得：，整理得：，解得：，．当时，；当时，．又∵要尽量减少库存，∴，∴．答：每个水杯的售价为50元．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．【变式2】 近年来，扬州市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．(1)若每千克售价为36元，每天可卖出______千克．(2)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？(3)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】(1)； (2)每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元；(3)至少需打六折销售【分析】（1）根据“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克，列出算式进行计算即可求解．（2）设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）设该商品需要打折销售，利用售价标价折扣率，结合销售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 解 ：若每千克售价为36元，每天可卖出千克，故答案为：；（2）解：设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），．答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元．（3）设该商品需要打折销售，根据题意得：，解得：，的最大值为6．答：该商品至少需打六折销售．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键列出一元二次方程和不等式．8． “疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）．(1)用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．【答案】(1)；(2)该商品的售价为30元【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数；（2）根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 解 ：∵该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，∴每天能售出该工艺品的件数为件．故答案为：；（2）解：由题意得：，整理得：，解得，（不合题意，舍去），答：该商品的售价为30元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】 某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系，且时，；．(1)求出y与x的解析式(2)若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．【答案】(1)； (2)90元或110元；【分析】（1）由题意：时，；，．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）该种产品一年的销售利润为55万元，列出一元二次方程，解方程即可． 解 ：将时，；，；代入得： ，解得：，与之间的函数关系式为；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，，答：商场的销售单价是90元或110元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）正确求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【变式2】 为庆祝即将到来的兔年新春，某小区物业计划购买“兔团团”和“兔圆圆”两种吉祥玩偶，免费发放给业主．据调研“兔团团”玩偶每个30元，“兔圆圆”玩偶每个25元，经预算，两种吉祥玩偶共1500个，此次购买两种玩偶一共需要42000元．(1)计划购买“兔团团”、“兔圆圆”两种玩偶各多少个？(2)在实际购买中，商家因受玩偶积压以及市场影响，为此降低了两种玩偶的售价，且降价相同，经统计，两种玩偶均降低m元，物业在（1）的基础上多购买了个“兔团团”和个“兔圆圆”，结账时比预算少付了2000元，则两种玩偶都降低多少元？【答案】(1)计划购买“兔团团”玩偶个，“兔圆圆”玩偶个；(2)两种玩偶均降低元【分析】（1）设计划购买“兔团团”玩偶个，则“兔圆圆”玩偶个，根据“兔团团”玩偶钱数加上“兔圆圆”玩偶钱数等于总钱数42000元，列出关于的一元一次方程，解出即可得出答案；（2）根据两种玩偶均降低元，得出“兔团团”和“兔圆圆”玩偶降价后的单价，再根据（1）的结论，结合题意，得出“兔团团”玩偶现在有个，“兔圆圆”玩偶现在有个，再根据题意，列出二元一次方程，解出即可得出答案． 解 ：设计划购买“兔团团”玩偶个，则“兔圆圆”玩偶个，根据题意，可得：，解得：，∴（个），∴计划购买“兔团团”玩偶个，“兔圆圆”玩偶个；（2）解：∵两种玩偶均降低元，∴“兔团团”玩偶降价后每个元，“兔圆圆”玩偶每个元，∵物业在（1）的基础上多购买了个“兔团团”和个“兔圆圆”，∴“兔团团”玩偶现在有个，“兔圆圆”玩偶现在有个，∴根据题意，可得：，整理，可得：，解得：（舍去），，∴两种玩偶均降低元．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．类型五、一元二次方程的应用➽➼行程问题✬✬工程问题9． 甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？【答案】(1)7分钟； (2)15分钟【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）第1次相遇是在开始后7分钟．答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；（2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）故第2次相遇是在开始后15分钟．答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】 小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．【答案】（1）1800米；（2）52分钟．【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解． 解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：，解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；  （2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， 整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．【点拨】本题考查一元一次方程，一元二次方程．【变式2】 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米； (2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．解：（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点拨】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．10． 在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，依题意得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴，∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．举一反三：【变式1】 为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．【答案】(1)300；(2)5【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 解 ：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：，解得：，答：小型设备的使用时间为300小时；（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，∴，整理得：，解得：（舍去）．即m的值为5．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式2】 如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．【答案】(1) ； (2) 9．【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解 ：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为：（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.解得（不符合题意负值舍去）答：这个最小值为9.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．类型六、一元二次方程的应用➽➼图表信息问题✬✬其他问题11． 某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：根据上表数据，求规定用水量a的值【答案】（1） ；（2）10【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元；（2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去，∴ ，根据题意得： ，解得： （舍去），答：规定用水量a的值为10吨．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．举一反三：【变式1】 近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；根据上表数据，求规定用水量a的值．【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，综上，规定用水量为3吨．则规定用水量a的值为3．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．【变式2】 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛．(1)应邀请多少支球队参加比赛？(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？【答案】(1)应邀请7支球队参加比赛；(2)实际共比赛17场．【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为21场建立方程求出其解即可；（2）用2加上余下的6支球队比赛的总场数即可． 解 ：设应该邀请x支球队参加比赛，依题意得，解得或（不合题意，舍去）．答：应邀请7支球队参加比赛；（2）解：．答：实际共比赛17场．【点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．12． 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，(1)求增加了多少行或多少列？(2)若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？【答案】(1)增加了 3 行 3 列；(2)需支付经费 5940 元.【分析】（1）设增加了x行，则增加的列数为x列，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．（2）根据有理数的混合运算计算即可求解． 解 ：设增加了x行，则增加的列数为x，根据题意，得：， 整理，得：，解得(舍)，答：增加了3行3列；（2）解：因为团体操表演队共有：(人)，(元)， 答：需支付经费5940元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．举一反三：【变式1】 2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？【答案】共有32支队伍参加比赛【分析】设每组有n支队伍参加比赛，则每个小组需要比赛场，由此列一元二次方程即可求解． 解：设每组有n支队伍参加比赛，则，整理得，解得，（舍），（支），即共有32支队伍参加比赛．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486月份用水量（吨）交水费总金额（元）47705540