辽宁省抚顺市望花区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省抚顺市望花区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（2分）有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；
③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；
④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（2分）如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝28°，∠C＝61°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．88°B．89°C．90°D．91°
解析：解：在△ABC与△AED中，由三角形的内角和有：∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝28°，∠C＝61°，
∴∠1+∠2＝28°+61°＝89°，
故选：B．
4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
解析：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
解析：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB＝8，CD＝2，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×2＝8．
故选：B．
6．（2分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝28°，∠3＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．28°C．25°D．86°
解析：解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠ABD，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1＝28°，∠2＝58°，
∴∠2＝58°﹣28°＝30°，
故选：A．
7．（2分）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36B．32C．28D．21
解析：解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
由题意得AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm．
故选：A．
8．（2分）如图，在△ACD和△BCE中，CA＝CB，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝50°，∠BCD＝150°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
解析：解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD＝（∠BCD﹣∠ACE）＝×（150°﹣50°）＝50°，
∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，
∴∠APB＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
9．（2分）如图1，四边形ABCD是长方形纸带，其中AD∥BC，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE的度数是（ ）
A．110°B．120°C．140°D．150°
解析：解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图（2）中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图（3）中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°，
故选：B．
10．（2分）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM；下列结论：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM平分∠AME；④AM+MC＝BM，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：证明：①∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，
在△APB和△CEB中，
，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴AP＝CE，故此选项正确；
②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB＝∠CEB，
∵∠MCP＝∠BCE，
则∠PME＝∠PBE＝60°，故此选项正确；
③作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN＝∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN＝BF，
∴BM平分∠AME，故此选项正确；
④在BM上截取BK＝CM，连接AK．
由②知∠PME＝60°，
∴∠AMC＝120°，
由③知：BM平分∠AME，
∴∠BMC＝∠AMK＝60°＝∠BAC，
∴∠ACM＝∠ABK，
在△ABK和△ACM中，
，
∴△ACM≌△ABK（SAS），
∴AK＝AM，
∴△AMK为等边三角形，则AM＝MK，
故AM+MC＝BM，故此选项正确；
正确的有①②③④．
故答案为：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（3，6）关于y轴对称点的坐标是 （﹣3，6） ．
解析：解：∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴P（3，6）关于 y 轴对称点的坐标是（﹣3，6），
故答案为：（﹣3，6）．
12．（3分）一个多边形的每个外角都是20°，则这个多边形是 十八 边形．
解析：解：360÷20＝18，
故答案为：十八．
13．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点C放在直线a上，a∥b，∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2＝ 65° ．
解析：解：如图所示：
∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠1＝55°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣55°＝65°，
∴∠3＝∠4＝65°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝65°，
故答案为：65°．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是 100° ．
解析：解：∵四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，
∴∠ADC+∠DCB＝360°﹣200°＝160°，
∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ODC＝∠ADC，∠OCD＝BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝×160°＝80°，
∴∠COD＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100°．
15．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°点A坐标为（0，4），点B坐标为（10，0），则点C坐标为 （7，7） ．
解析：解：如图，过点C作CH⊥y轴于点H，过点B作BG⊥HC于点G，
则∠CHA＝∠BGC＝90°，OH＝BG，GH＝OB，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（10，0），
∴OA＝4，OB＝10，
∴GH＝CH+CG＝10，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ACH+∠BCG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAH＝∠BCG，
在△ACH和△CBG中，
，
∴△ACH≌△CBG（AAS），
∴AH＝CG，CH＝BG，
∵BG＝OH＝OA+AH＝4+AH，CH+CG＝10，
∴4+AH+CG＝10，
∴4+AH+AH＝10，
解得：AH＝3，
∴CH＝BG＝4+3＝7，
∴点C的坐标为（7，7），
故答案为：（7，7）．
16．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M在△ABC的内部，∠ACM＝4∠BCM，P为射线CM上一点，当|PA﹣PB|最大时，∠CBP的度数是 117° ．
解析：解：如图，作点A关于直线CM的对称点A′，连接A′B并延长交CM于点P，交AB于点D，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B，连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠ACM＝4∠BCM
∴∠BCM+∠ACM＝5∠BCM＝90°，
∴∠BCM＝18°，∠ACM＝72°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′，
∵∠CAA′+∠ACM＝180°﹣90°＝90°，∠PCB+∠ACM＝90°
∴∠CAA′＝∠PCB＝18°＝∠CA′A，
∴∠ACA′＝180°﹣18°﹣18°＝144°，
∴∠BCA′＝144°﹣90°＝54°，
∵A′C＝BC，
∴，
∴∠CBP＝180°﹣63°＝117°，
故答案为：117°．
三、解答题（17题12分，18题6分，共计18分）
17．（6分）如图，A，B，C为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市D，使D到A，B，C三个小区的距离相等，请你用尺规作图在图中作出点D．
解析：解：
18．（6分）已知点A，点B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解析：解：如图，点P即为所求．
．
19．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）D在格点上，且D与C不重合，若△ABD与△ABC全等，则图中的格点D共有 3 个；
（2）画出△ABC的AB边上的高CD和AB边上的中线CE，并直接写出△CDE的面积．
解析：解：（1）如图，△ABD1、△ABD2、△ABD3都与△ABD全等，
∴由图可知与点C不重合的格点D共有3个，
故答案为：3；
（2）△ABC的AB边上的高CD和AB边上的中线CE如下图所示：
由图可知，．
四、解答题（19题8分，20题10分，共计18分）
20．（8分）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．
解析：（1）证明：∵∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，∠1＝∠2
∴∠C＝∠BDE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS），
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠1＝45°
∴
∴∠BDE＝67.5°
21．（10分）如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
解析：解：（1）AB＝（10﹣8）×30＝60，
∵∠CBN＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBN﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠A，
∴BC＝AB＝60（海里），
答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里．
（2）作CH⊥AB，垂足为H．
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠HBC＝90°﹣60°＝30°，
∴，
30÷30＝1（h），
10+1＝11（h），
答：11时，船距离灯塔C最近．
五、解答题（21题8分，22题8分，共计16分）
22．（8分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB＝CF．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
解析：（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和△CFD中
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）解：∵△ABD≌△CFD（AAS），
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴DF＝BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
23．（8分）如图，D为BC的中点，连接AD，AD平分∠BAC．求证：∠B＝∠C．
解析：证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，
∵AD平分∠BAC，DE垂直AB，DF垂直AC，
∴DE＝DF，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C．
六、解答题（10分）
24．（10分）如图，D为BC延长线上的一点，△ABC与△ADE均为等边三角形．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACD．
解析：（1）证明：∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
七、解答题（8分）
25．（8分）如图，四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC＝180°，AC平分∠DAB．求证：CD＝CB．
解析：证明：在AB上截取AE＝AD，连接CE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAE，
在△ACD和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴CD＝CE，∠ADC＝∠AEC，
又∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠AEC+∠CEB＝180°，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝CB，
∴CD＝CB．
八、解答题（12分）
26．（12分）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角形，F，H，G分别是BC，CE，AD的中点，连接FH，HG，GH．求证：△FGH为等边三角形．
解析：证明：取CD的中点M，连接MH，如图，
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵F，H，G分别是BC，CE，AD的中点，M为CD的中点，
∴，
∴CM＝CH，
又∵∠MCH＝∠DCE＝60°，
∴△CMH为等边三角形，
∴MH＝CH，∠MCH＝∠CMH＝∠CHM＝60°，
∴∠GMH＝180°﹣∠CMH＝180°﹣60°＝120°，
又∠FCH＝∠ACB+∠MCH＝60°+60°＝120°，
∴∠FCH＝∠GMH，
又∵，
∴CF＝MG，
在△FCH和△GMH中，
，
∴△FCH≌△GMH（SAS），
∴HF＝HG，∠CHF＝∠MHG，
∴∠CHF+∠FHM＝∠MHG+∠FHM，
∴∠CHM＝∠FHG，
∴∠FHG＝60°，
∴△FGH为等边三角形．