初中数学北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第4课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第4课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第4课时
一、教学目标
1．了解黄金分割．
2．能够运用黄金分割的知识解决简单的问题，发展应用意识．
二、教学重点及难点
重点：黄金分割的定义和简单应用．
难点：黄金比的理解及黄金点的画法和验证．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资
多张《与黄金分割有关的建筑、图形等》图片.
五、教学过程
【情境引入】
请同学们欣赏下面的图片．

为什么这些图片能使人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉呢？你想知道其中的奥秘吗？那就让我们开始今天的学习吧！
设计意图：通过展示与“黄金分割”有关的图片，以激发学生的学习兴趣和探索的欲望．
【探究新知】
想一想 一个五角星如图所示．
（1）从图中找出相等的角、相等的线段．
（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形．
师生活动：教师出示问题，学生通过测量或利用五角星的对称性得出答案．
（1）利用五角星的对称性可得答案．
（2）答案不唯一，如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC．
议一议 小亮认为，．你同意他的看法吗？说说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答．
答：同意小亮的看法；因为△ACD∽△ABF，所以，即．
因为CD=AD=BC，BF=AF=AC，所以．
设计意图：利用五角星问题，创设了一个有利于学生探究和综合应用线段的比、成比例线段以及相似三角形的情境，为引出黄金分割的定义作铺垫．
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
想一想 下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成下面右图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，．点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答．
答：因为BC=EF=AE，，所以，即．所以点E是AB的黄金分割点．（即）是黄金比，也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比，这样的矩形称为黄金矩形．
设计意图：让学生发现并体会黄金分割的文化价值．
【典例精析】
例 计算黄金比．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．
解：由，得AC2=AB·BC．设AB=1，AC=x，则BC=1-x．
∴x2=1×(1-x)，即x2+x-1=0．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
设计意图：根据黄金分割、黄金比的概念，通过列一元二次方程求黄金比的值．
【课堂练习】
1．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）．
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
2．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）．
A．AB∶AC=AC∶BC B．BC=
C．AC= D．AC≈0.618AB
3．已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中正确的是（ ）．
A．AB2=AC·BC B．BC2=AC·AB
C．AC2=BC·AB D．AC2=2BC·AB
4．如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么的值是___________．
5．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20 m，则主持人应走到离点A至少_______ m处．如果她向点B再走_______ m，也处于比较得体的位置．（结果精确到0.1 m）
6．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，
请你根据以上作法，说明矩形DCEF为黄金矩形（可取AB=2）．
参考答案
1．C． 2．C．3．C．4．．5．7.6；4.8．
6．证明：在正方形ABCD中，取AB=2．
∵N为BC的中点，∴NC=BC=1．
在Rt△DNC中，．
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=-1．
∴．
∴矩形DCEF为黄金矩形．
师生活动：教师出示练习，找几名学生代表回答，讲解出现的问题．
设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
六、课堂小结
1．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
答：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
黄金比．
2．一条线段有几个黄金分割点？
答：一条线段有两个黄金分割点．
师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
4.4 探索三角形相似的条件（4）
1．黄金分割