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北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型复习练习题
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型复习练习题，共15页。试卷主要包含了下列试验中属于古典概型的是，下列四个命题中,假命题有等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 古典概型的概念
1.(多选题)下列有关古典概型的说法中,正确的是 ( )
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=kn
2.(多选题)下列试验中属于古典概型的是( )
A.从6个完全相同的小球中任取1个
B.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
C.袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个小球,观察小球的颜色
D.从南京到北京有5条长短不同的路线,某人从中任选一条
题组二 古典概型的概率计算
3.(2024陕西西安南开高级中学质量检测)将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是( )
A.16 B.14 C.34 D.45
4.(2023河北统考)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班恰有40名同学的成绩在[60,90]内,将这40名学生的成绩整理,绘制成频率分布直方图(如图所示),从成绩在[60,70)内的同学中任取2人的测试成绩,恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是( )
A.715 B.815 C.23 D.13
5.(2024湖南长沙雅礼中学月考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如30=7+23,在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是( )
A.14 B.13 C.29 D.38
6.(2023江西景德镇质检)因夏季炎热,某小区用电量过大,据统计,一般一天停电的概率为0.3,现在用数据0,1,2表示当天停电;用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电,现以两个随机数为一组,表示连续两天的停电情况,经随机模拟得到以下30组数据:
28 21 79 14 56 74 06 89 53 90
14 57 62 30 93 78 63 44 71 28
67 03 53 82 47 23 10 94 02 43
根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为 .
7.(2024安徽皖北六校期末联考)在某次国际围棋比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为 .
8.(2024江西部分学校期末质量检测)有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率.
(1)恰有两名同学拿对了书包;
(2)至少有两名同学拿对了书包;
(3)书包都拿错了.
题组三 互斥事件与对立事件的概率计算
9.(多选题)(2024湖北武汉外国语学校月考)下列四个命题中,假命题有( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
10.(2023浙江名校协作体开学联考)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-3a,P(B)=2a-12,则实数a的取值范围是( )
A.13,23 B.12,23 C.14,23 D.12,23
11.某电话在响第一声时被接的概率为110,响第二声时被接的概率为310,响第三声时被接的概率为25,响第四声时被接的概率为110,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A.12 B.910 C.310 D.45
12.(2023上海浦东期末)已知事件A,B互斥,P(A∪B)=35,且P(A)=2P(B),则P(B)= .
13.(2022上海崇明期末)盒子中有随机散落的黑、白棋子若干粒,已知从中取出2粒都是黑子的概率是17,从中取出2粒都是白子的概率是16,则从中任意取出2粒恰好是一粒黑子和一粒白子的概率是 .
14.国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示:
若该射击队员射击一次,求:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
能力提升练
题组 古典概型的概率计算
1.(2023河北普通高中月考)素数对(p,p+2)称为孪生素数对,将素数17拆分成几个和为17且互不相等的素数,任选其中2个数并按从小到大的顺序构成素数对,则其为孪生素数对的概率为( )
A.15 B.13 C.14 D.12
2.(2023北京东城期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将第一次得到的点数记为x,第二次得到的点数记为y,那么事件“2x+y≤16”发生的概率为( )
A.19 B.536 C.16 D.13
3.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值大于5的概率为( )
A.425 B.725 C.825 D.25
4.(2024江西上饶广丰一中月考)某班举办趣味数学活动,规则是:某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张,将卡片上较大的数作为十位数字,较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位与十位数字调换后得到的两位数的差为45,就视为该同学获奖.若该班同学A参加这项活动,则他获奖的概率为( )
A.172 B.136 C.118 D.19
5.(2023江西景德镇质检)若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的概率为( )
A.417 B.219 C.519 D.319
6.(2023北京通州期末)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹,分3组各进行一场比赛,胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为 ;若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,则田忌获胜的概率为 .
7.(2024安徽合肥期末)一个盒子装有红、白两种颜色的玻璃球,其中红球3个,白球2个.
(1)若一次从盒子中随机取出两个球,求至少取到一个白球的概率;
(2)依次从盒子中随机取球,每次取一个,取后不放回,当某种颜色的球全部取出后即停止取球,求最后一次取出的是红球的概率.
8.(2023四川宜宾诊断性考试)现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲开始传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行第二次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成第二次传接球,依此类推,假设传接球无失误.
(1)设第一次接球人为x,第二次接球人为y,经过两次传接球后,列举出(x,y)的所有可能的结果;
(2)完成第三次传接球后,计算球正好在乙处的概率.
9.(2023江苏常州高级中学期末)某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质,开设“田径队”和“足球队”专业训练,在学年末体育素质达标测试时,从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试,根据测试成绩(单位:分)得到的频率直方图如图:
(1)分别估计“田径队”和“足球队”测试的平均成绩;
(2)若测试成绩在90分以上为优秀,从两组测试成绩优秀的学生中按分层随机抽样的方法选出7人参加学校代表队,再从这7人中选出2人担任正、副队长,求正、副队长都来自“田径队”的概率.
答案与分层梯度式解析
第七章 概率
§2 古典概型
基础过关练
1.ACD
2.ACD 选项A,C,D中,试验满足有限性和等可能性,故A,C,D是古典概型;选项B中,由于点数的和出现的可能性不相等,故B不是古典概型.故选ACD.
3.B 由题意可知m,n∈{1,2,3,4,5,6},
若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增,则--4n2m=2nm≤1,即m≥2n.
以(m,n)表示抛掷两次所得的点数,则所有的情况有62=36种,
满足m≥2n的有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9种,
故所求概率P=936=14.
故选B.
4.B 由题中频率分布直方图知,成绩在[60,65)内的有40×0.01×5=2人,不妨记为a,b;成绩在[65,70)内的有40×0.02×5=4人,不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的样本空间为{(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共15个样本点,事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”包含的样本点有8个,所以所求的概率为815.故选B.
解后反思 在列举样本点时,经常借助于字母或数字.此题中成绩在[60,65)内的人用字母表示,在[65,70)内的人用数字表示,不仅方便书写,而且方便查找符合“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点.
5.C 不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,共9个,中位数为11,
随机选取2个不同的数,样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(2,23),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(3,23),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(5,23),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(7,23),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23),(13,17),(13,19),(13,23),(17,19),(17,23),(19,23)},共36个样本点,记事件A为“这2个数恰好含有这组数的中位数”,则A={(2,11),(3,11),(5,11),(7,11),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23)},共8个样本点,∴P(A)=836=29.
6.答案 25
解析 由题意可知恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23,共12种,
所以连续两天中恰好有一天停电的概率为1230=25.
7.答案 35
解析 记另外3位棋手分别为A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共10个样本点,设事件E为“甲和乙分在不同小组”,则E为“甲、乙分在同一小组”,故E={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(ABC,甲乙)},共4个样本点,所以P(E)=1-P(E)=1-410=35.
8.解析 设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的样本空间Ω={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(B,A,D,C),(B,C,A,D),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(B,D,C,A),(C,A,B,D),(C,A,D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,A,C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共24个样本点.
(1)记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M,则M={(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共6个样本点,
故P(M)=624=14.
(2)记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N,则N={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共7个样本点,故P(N)=724.
(3)记“书包都拿错了”为事件E,则E={(B,A,D,C),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(C,A,D,B),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共9个样本点,故P(E)=924=38.
9.BCD 易知A是真命题;
对于B,当A与B为互斥事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),B是假命题;
对于C,不妨令事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C彼此互斥,但P(A∪B∪C)=12,C是假命题;
对于D,例如,袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,
则P(A)=12,P(B)=12,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题.
故选BCD.
10.D 由于A,B互斥,且A,B发生的概率均不为0,
所以0<2-3a<1,0<2a-12<1,0<2-3a+2a-12≤1,解得12≤a<23,
所以a的取值范围是12,23.故选D.
11.B 易知这几个事件两两互斥,故电话在响前四声内被接的概率为110+310+25+110=910.
12.答案 45
解析 ∵事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=3P(B)=35,
∴P(B)=15,
∴P(B)=1-P(B)=1-15=45.
13.答案 2942
解析 设事件A为“取出的2粒都是黑子”,事件B为“取出的2粒都是白子”,事件C为“取出的2粒恰好是一粒黑子和一粒白子”,则A,B,C彼此互斥,
由已知有P(A)=17,P(B)=16,
且P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1,
∴P(C)=1-P(A)-P(B)=1-17-16=2942,
∴所求概率是2942.
14.解析 记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,命中9环或10环”为事件A,则当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,则当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)事件B:“射击一次,至少命中8环”的对立事件B为“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得P(B)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
能力提升练
1.B 由题意得素数17仅可拆分成2,3,5,7这4个素数的和,从中任取2个的所有情况为(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7),共6种,其中为孪生素数对的情况有2种,分别是(3,5),(5,7),所以所求概率为26=13.故选B.
2.C 样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,由2x+y≤16,得2x+y≤24,由y=2x在R上单调递增,得x+y≤4,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个,所以事件“2x+y≤16”发生的概率为636=16,故选C.
3.A 由题图知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,
所以从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有5×5=25(种),
满足差的绝对值大于5的有(1,8),(1,10),(3,10),(9,2),共4种情况,则所求概率P=425.故选A.
4.D 设同学A随机抽取得到的两位数的十位数字为x,个位数字为y(x>y).
若x=2,则y=1,有1种情况,
若x=3,则y=1,2,有2种情况,
若x=4,则y=1,2,3,有3种情况,
……
若x=9,则y=1,2,…,8,有8种情况,
共有1+2+3+…+8=36种情况,
其中满足获奖的情况是(10x+y)-(10y+x)=45,即x-y=5,
所以获奖情况有x=6,y=1;x=7,y=2;x=8,y=3;x=9,y=4,这4种情况,
所以该班同学A参加这项活动获奖的概率为436=19.故选D.
5.D 函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点,则Δ=a2-4b≥0,
则满足该条件的(a,b)有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(2,1),共19个.
函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数,只需h(x)=ax-b-x是奇函数,即h(-x)=-h(x),所以a-x-bx=-(ax-b-x),所以a=b.
所以19个满足函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的样本点中,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的有(6,6),(5,5),(4,4),共3个.
所以在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的概率P=319.故选D.
6.答案 16;12
解析 设齐王的上、中、下等马分别为a1,a2,a3,田忌的上、中、下等马分别为b1,b2,b3,
齐王与田忌赛马,双方对阵的情况如下:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),齐王获胜;
(a3,b1),(a2,b2),(a1,b3),齐王获胜,共6种.
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为16.
若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,
则双方对阵的情况为(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3)和(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),共2种,
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为12.
7.解析 记3个红球为A,B,C,2个白球为a,b.
(1)从盒子中随机取出2个球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,
记事件M为“至少取到一个白球”,则其对立事件M为“一个白球也没有”,即“两个球都是红球”,则M={(A,B),(A,C),(B,C)},共3个样本点,故P(M)=1-P(M)=1-310=710.
(2)最后一次取出红球有两种情形:
①前两次取出红球,第三次取出红球,有1种情况;
②前三次取出2个红球,第四次取出红球,有3种情况.共有4种不同的情况.
最后一次取出白球有三种情形:
①第一次取出白球,第二次也取出白球,有1种情况;
②前两次取出1个白球,第三次取出白球,有2种情况;
③前三次取出1个白球,第四次取出白球,有3种情况.共有6种不同的情况.
故最后一次取出的是红球的概率P=44+6=25.
8.解析 (1)经过两次传接球后,(x,y)的所有可能结果有(乙,甲),(乙,丙),(丙,甲),(丙,乙).
(2)三次传接球,接球人的所有可能结果有(乙,甲,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(乙,丙,乙),(丙,甲,乙),(丙,甲,丙),(丙,乙,甲),(丙,乙,丙),共8种,它们是等可能的,
其中第三次传接球后球正好在乙处的结果有(乙,甲,乙),(乙,丙,乙),(丙,甲,乙),共3种,
所以第三次传接球后,球正好在乙处的概率为38.
9.解析 (1)由“田径队”测试成绩的频率直方图得10×(0.016+0.024+0.032+a+0.008)=1,解得a=0.020,由“足球队”测试成绩的频率直方图得10×(0.002+0.058+0.024+b+0.006)=1,解得b=0.010.
“田径队”测试的平均成绩为10×(55×0.016+65×0.024+75×0.032+85×0.020+95×0.008)=73(分),
“足球队”测试的平均成绩为10×(55×0.002+65×0.058+75×0.024+85×0.010+95×0.006)=71(分).
(2)“田径队”测试中90分以上的有10×0.008×100=8(人),“足球队”测试中90分以上的有10×0.006×100=6(人).
所以抽样比为78+6=12,
在“田径队”测试成绩优秀的学生中抽取8×12=4 (人),分别记作a,b,c,d,
在“足球队”测试成绩优秀的学生中抽取6×12=3 (人),分别记作A,B,C.
从7人中任选2人的样本空间Ω={ab,ac,ad,aA,aB,aC,bc,bd,bA,bB,bC,cd,cA,cB,cC,dA,dB,dC,AB,AC,BC},共21个样本点,
设正、副队长都来自“田径队”为事件M,则M={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共6个样本点,
所以P(M)=621=27.
故正、副队长都来自“田径队”的概率为27.
答案与分层梯度式解析
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
基础过关练
题组一 古典概型的概念
1.(多选题)下列有关古典概型的说法中,正确的是 ( )
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=kn
2.(多选题)下列试验中属于古典概型的是( )
A.从6个完全相同的小球中任取1个
B.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
C.袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个小球,观察小球的颜色
D.从南京到北京有5条长短不同的路线,某人从中任选一条
题组二 古典概型的概率计算
3.(2024陕西西安南开高级中学质量检测)将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是( )
A.16 B.14 C.34 D.45
4.(2023河北统考)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班恰有40名同学的成绩在[60,90]内,将这40名学生的成绩整理,绘制成频率分布直方图(如图所示),从成绩在[60,70)内的同学中任取2人的测试成绩,恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是( )
A.715 B.815 C.23 D.13
5.(2024湖南长沙雅礼中学月考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如30=7+23,在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是( )
A.14 B.13 C.29 D.38
6.(2023江西景德镇质检)因夏季炎热,某小区用电量过大,据统计,一般一天停电的概率为0.3,现在用数据0,1,2表示当天停电;用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电,现以两个随机数为一组,表示连续两天的停电情况,经随机模拟得到以下30组数据:
28 21 79 14 56 74 06 89 53 90
14 57 62 30 93 78 63 44 71 28
67 03 53 82 47 23 10 94 02 43
根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为 .
7.(2024安徽皖北六校期末联考)在某次国际围棋比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为 .
8.(2024江西部分学校期末质量检测)有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率.
(1)恰有两名同学拿对了书包;
(2)至少有两名同学拿对了书包;
(3)书包都拿错了.
题组三 互斥事件与对立事件的概率计算
9.(多选题)(2024湖北武汉外国语学校月考)下列四个命题中,假命题有( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
10.(2023浙江名校协作体开学联考)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-3a,P(B)=2a-12,则实数a的取值范围是( )
A.13,23 B.12,23 C.14,23 D.12,23
11.某电话在响第一声时被接的概率为110,响第二声时被接的概率为310,响第三声时被接的概率为25,响第四声时被接的概率为110,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A.12 B.910 C.310 D.45
12.(2023上海浦东期末)已知事件A,B互斥,P(A∪B)=35,且P(A)=2P(B),则P(B)= .
13.(2022上海崇明期末)盒子中有随机散落的黑、白棋子若干粒,已知从中取出2粒都是黑子的概率是17,从中取出2粒都是白子的概率是16,则从中任意取出2粒恰好是一粒黑子和一粒白子的概率是 .
14.国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如表所示:
若该射击队员射击一次,求:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
能力提升练
题组 古典概型的概率计算
1.(2023河北普通高中月考)素数对(p,p+2)称为孪生素数对,将素数17拆分成几个和为17且互不相等的素数,任选其中2个数并按从小到大的顺序构成素数对,则其为孪生素数对的概率为( )
A.15 B.13 C.14 D.12
2.(2023北京东城期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将第一次得到的点数记为x,第二次得到的点数记为y,那么事件“2x+y≤16”发生的概率为( )
A.19 B.536 C.16 D.13
3.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值大于5的概率为( )
A.425 B.725 C.825 D.25
4.(2024江西上饶广丰一中月考)某班举办趣味数学活动,规则是:某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张,将卡片上较大的数作为十位数字,较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位与十位数字调换后得到的两位数的差为45,就视为该同学获奖.若该班同学A参加这项活动,则他获奖的概率为( )
A.172 B.136 C.118 D.19
5.(2023江西景德镇质检)若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的概率为( )
A.417 B.219 C.519 D.319
6.(2023北京通州期末)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹,分3组各进行一场比赛,胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为 ;若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,则田忌获胜的概率为 .
7.(2024安徽合肥期末)一个盒子装有红、白两种颜色的玻璃球,其中红球3个,白球2个.
(1)若一次从盒子中随机取出两个球,求至少取到一个白球的概率;
(2)依次从盒子中随机取球,每次取一个,取后不放回,当某种颜色的球全部取出后即停止取球,求最后一次取出的是红球的概率.
8.(2023四川宜宾诊断性考试)现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲开始传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行第二次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成第二次传接球,依此类推,假设传接球无失误.
(1)设第一次接球人为x,第二次接球人为y,经过两次传接球后,列举出(x,y)的所有可能的结果;
(2)完成第三次传接球后,计算球正好在乙处的概率.
9.(2023江苏常州高级中学期末)某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质,开设“田径队”和“足球队”专业训练,在学年末体育素质达标测试时,从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试,根据测试成绩(单位:分)得到的频率直方图如图:
(1)分别估计“田径队”和“足球队”测试的平均成绩;
(2)若测试成绩在90分以上为优秀,从两组测试成绩优秀的学生中按分层随机抽样的方法选出7人参加学校代表队,再从这7人中选出2人担任正、副队长,求正、副队长都来自“田径队”的概率.
答案与分层梯度式解析
第七章 概率
§2 古典概型
基础过关练
1.ACD
2.ACD 选项A,C,D中,试验满足有限性和等可能性,故A,C,D是古典概型;选项B中,由于点数的和出现的可能性不相等,故B不是古典概型.故选ACD.
3.B 由题意可知m,n∈{1,2,3,4,5,6},
若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增,则--4n2m=2nm≤1,即m≥2n.
以(m,n)表示抛掷两次所得的点数,则所有的情况有62=36种,
满足m≥2n的有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9种,
故所求概率P=936=14.
故选B.
4.B 由题中频率分布直方图知,成绩在[60,65)内的有40×0.01×5=2人,不妨记为a,b;成绩在[65,70)内的有40×0.02×5=4人,不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的样本空间为{(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共15个样本点,事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”包含的样本点有8个,所以所求的概率为815.故选B.
解后反思 在列举样本点时,经常借助于字母或数字.此题中成绩在[60,65)内的人用字母表示,在[65,70)内的人用数字表示,不仅方便书写,而且方便查找符合“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点.
5.C 不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,共9个,中位数为11,
随机选取2个不同的数,样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(2,23),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(3,23),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(5,23),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(7,23),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23),(13,17),(13,19),(13,23),(17,19),(17,23),(19,23)},共36个样本点,记事件A为“这2个数恰好含有这组数的中位数”,则A={(2,11),(3,11),(5,11),(7,11),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23)},共8个样本点,∴P(A)=836=29.
6.答案 25
解析 由题意可知恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23,共12种,
所以连续两天中恰好有一天停电的概率为1230=25.
7.答案 35
解析 记另外3位棋手分别为A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共10个样本点,设事件E为“甲和乙分在不同小组”,则E为“甲、乙分在同一小组”,故E={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(ABC,甲乙)},共4个样本点,所以P(E)=1-P(E)=1-410=35.
8.解析 设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的样本空间Ω={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(B,A,D,C),(B,C,A,D),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(B,D,C,A),(C,A,B,D),(C,A,D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,A,C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共24个样本点.
(1)记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M,则M={(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共6个样本点,
故P(M)=624=14.
(2)记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N,则N={(A,B,C,D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,A)},共7个样本点,故P(N)=724.
(3)记“书包都拿错了”为事件E,则E={(B,A,D,C),(B,C,D,A),(B,D,A,C),(C,A,D,B),(C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A)},共9个样本点,故P(E)=924=38.
9.BCD 易知A是真命题;
对于B,当A与B为互斥事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),B是假命题;
对于C,不妨令事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C彼此互斥,但P(A∪B∪C)=12,C是假命题;
对于D,例如,袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,
则P(A)=12,P(B)=12,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题.
故选BCD.
10.D 由于A,B互斥,且A,B发生的概率均不为0,
所以0<2-3a<1,0<2a-12<1,0<2-3a+2a-12≤1,解得12≤a<23,
所以a的取值范围是12,23.故选D.
11.B 易知这几个事件两两互斥,故电话在响前四声内被接的概率为110+310+25+110=910.
12.答案 45
解析 ∵事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=3P(B)=35,
∴P(B)=15,
∴P(B)=1-P(B)=1-15=45.
13.答案 2942
解析 设事件A为“取出的2粒都是黑子”,事件B为“取出的2粒都是白子”,事件C为“取出的2粒恰好是一粒黑子和一粒白子”,则A,B,C彼此互斥,
由已知有P(A)=17,P(B)=16,
且P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1,
∴P(C)=1-P(A)-P(B)=1-17-16=2942,
∴所求概率是2942.
14.解析 记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,命中9环或10环”为事件A,则当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,则当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)事件B:“射击一次,至少命中8环”的对立事件B为“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得P(B)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
能力提升练
1.B 由题意得素数17仅可拆分成2,3,5,7这4个素数的和,从中任取2个的所有情况为(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7),共6种,其中为孪生素数对的情况有2种,分别是(3,5),(5,7),所以所求概率为26=13.故选B.
2.C 样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,由2x+y≤16,得2x+y≤24,由y=2x在R上单调递增,得x+y≤4,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个,所以事件“2x+y≤16”发生的概率为636=16,故选C.
3.A 由题图知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,
所以从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有5×5=25(种),
满足差的绝对值大于5的有(1,8),(1,10),(3,10),(9,2),共4种情况,则所求概率P=425.故选A.
4.D 设同学A随机抽取得到的两位数的十位数字为x,个位数字为y(x>y).
若x=2,则y=1,有1种情况,
若x=3,则y=1,2,有2种情况,
若x=4,则y=1,2,3,有3种情况,
……
若x=9,则y=1,2,…,8,有8种情况,
共有1+2+3+…+8=36种情况,
其中满足获奖的情况是(10x+y)-(10y+x)=45,即x-y=5,
所以获奖情况有x=6,y=1;x=7,y=2;x=8,y=3;x=9,y=4,这4种情况,
所以该班同学A参加这项活动获奖的概率为436=19.故选D.
5.D 函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点,则Δ=a2-4b≥0,
则满足该条件的(a,b)有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(2,1),共19个.
函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数,只需h(x)=ax-b-x是奇函数,即h(-x)=-h(x),所以a-x-bx=-(ax-b-x),所以a=b.
所以19个满足函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的样本点中,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的有(6,6),(5,5),(4,4),共3个.
所以在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下,满足函数g(x)=ax-b-x(a+b)x为偶函数的概率P=319.故选D.
6.答案 16;12
解析 设齐王的上、中、下等马分别为a1,a2,a3,田忌的上、中、下等马分别为b1,b2,b3,
齐王与田忌赛马,双方对阵的情况如下:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),齐王获胜;
(a3,b1),(a2,b2),(a1,b3),齐王获胜,共6种.
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为16.
若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,
则双方对阵的情况为(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3)和(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),共2种,
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为12.
7.解析 记3个红球为A,B,C,2个白球为a,b.
(1)从盒子中随机取出2个球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,
记事件M为“至少取到一个白球”,则其对立事件M为“一个白球也没有”,即“两个球都是红球”,则M={(A,B),(A,C),(B,C)},共3个样本点,故P(M)=1-P(M)=1-310=710.
(2)最后一次取出红球有两种情形:
①前两次取出红球,第三次取出红球,有1种情况;
②前三次取出2个红球,第四次取出红球,有3种情况.共有4种不同的情况.
最后一次取出白球有三种情形:
①第一次取出白球,第二次也取出白球,有1种情况;
②前两次取出1个白球,第三次取出白球,有2种情况;
③前三次取出1个白球,第四次取出白球,有3种情况.共有6种不同的情况.
故最后一次取出的是红球的概率P=44+6=25.
8.解析 (1)经过两次传接球后,(x,y)的所有可能结果有(乙,甲),(乙,丙),(丙,甲),(丙,乙).
(2)三次传接球,接球人的所有可能结果有(乙,甲,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(乙,丙,乙),(丙,甲,乙),(丙,甲,丙),(丙,乙,甲),(丙,乙,丙),共8种,它们是等可能的,
其中第三次传接球后球正好在乙处的结果有(乙,甲,乙),(乙,丙,乙),(丙,甲,乙),共3种,
所以第三次传接球后,球正好在乙处的概率为38.
9.解析 (1)由“田径队”测试成绩的频率直方图得10×(0.016+0.024+0.032+a+0.008)=1,解得a=0.020,由“足球队”测试成绩的频率直方图得10×(0.002+0.058+0.024+b+0.006)=1,解得b=0.010.
“田径队”测试的平均成绩为10×(55×0.016+65×0.024+75×0.032+85×0.020+95×0.008)=73(分),
“足球队”测试的平均成绩为10×(55×0.002+65×0.058+75×0.024+85×0.010+95×0.006)=71(分).
(2)“田径队”测试中90分以上的有10×0.008×100=8(人),“足球队”测试中90分以上的有10×0.006×100=6(人).
所以抽样比为78+6=12,
在“田径队”测试成绩优秀的学生中抽取8×12=4 (人),分别记作a,b,c,d,
在“足球队”测试成绩优秀的学生中抽取6×12=3 (人),分别记作A,B,C.
从7人中任选2人的样本空间Ω={ab,ac,ad,aA,aB,aC,bc,bd,bA,bB,bC,cd,cA,cB,cC,dA,dB,dC,AB,AC,BC},共21个样本点,
设正、副队长都来自“田径队”为事件M,则M={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共6个样本点,
所以P(M)=621=27.
故正、副队长都来自“田径队”的概率为27.
答案与分层梯度式解析
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
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