2024-2025学年北师大版必修第一册 第一章　预备知识 单元测试

这是一份2024-2025学年北师大版必修第一册 第一章　预备知识 单元测试，共5页。

第一章　预备知识全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∀x∈Z,|x|∈N”的否定为(　　)A.∃x∈Z,|x|∉N`　　　　B.∀x∈Z,|x|∉NC.∃x∉Z,|x|∉N`　　　　D.∀x∉Z,|x|∉N2.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)A.a≥2　　　　B.a>2　　　　C.a≥4　　　　D.a>43.下列命题是真命题的是(　　)A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个值大于1B.∀x∈R,x0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式ax+bx-2>0的解集为(　　)A.{x|x<-2或x>1}`　　　　B.{x|12}`　　　　D.{x|-11,b>12,且2a+b=3,则1a-1+12b-1的最小值为(　　)A.1　　　　B.92　　　　C.9　　　　D.128.已知集合A={a1,a2,…,an},任取1≤i≤jy>0,则存在正数t,使yxy>0,s>t>0,0>u>v,则xsuy+1y,则x>y11.记max{a,b}=a,a≥b,b,a0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　)A.xy的最大值为18`　　　　B.x+2y的最大值为12C.x+y的最小值为82-3`　　　　D.max{x+2,2y+2}的最小值为8三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M为　　　　.(只需要写出一个满足条件的集合即可) 13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　. 14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:①男学生人数多于女学生人数; ②女学生人数多于教师人数;③教师人数的两倍多于男学生人数.(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　; (2)该小组人数的最小值为　　　　.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知集合A={x|(x+2)(5-x)≤0},B={x|2a+10,b>0,c>0.(1)若ab=1,求1a+1b+4a+b的最小值;(2)若a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤13.17.(15分)已知关于x的不等式x2-abx+b-14≤0.(1)当a=1,b=4时,解不等式;(2)若不等式仅有一解,求1a+b的最小值.18.(17分)湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕,此次运动会有两个吉祥物孝孝、感感.它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本,融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象,寓意运动员敢于拼搏,微笑面对胜负,体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点.由市场调研分析可知,当前该吉祥物的产量供不应求,某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为W(x)千元,且W(x)=2x2+20x,02或x<-4},B={x|x>a},若B⊆A,则a≥2.故选A.3.A　对于A选项,假设x,y都不大于1,即x≤1且y≤1,由不等式的性质可得x+y≤2,与题设矛盾,假设不成立,故原命题为真命题;对于B选项,当x=1时,x=x2,故原命题是假命题;对于C选项,若a=b=0,则ab无意义,即a+b=0⇒/ ab=-1,故原命题是假命题;对于D选项,∀x∈R,x2+2>0,故原命题是假命题.故选A.4.C　①因为a,b是正实数,所以ba,ab是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②推导错误;③由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将xy+yx整体提出负号后,-xy,-yx均为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确.5.D　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,所以a-b=0,即b=a.故不等式ax+bx-2>0,即ax+ax-2>0,等价于x+1x-2<0,解得-10的解集为{x|-10,2<-a-22<4,22+(a-2)×2+5-a>0,42+(a-2)×4+5-a>0,解得-1331,b>12,且2a+b=3,∴a-1>0,2b-1>0,4(a-1)+(2b-1)=1,故1a-1+12b-1=1a-1+12b-1[4(a-1)+(2b-1)]=4+2b-1a-1+4(a-1)2b-1+1≥5+22b-1a-1·4(a-1)2b-1=5+4=9,当且仅当a=76,b=23时“=”成立.故选C.8.C　不妨设a1>a2>…>an,若集合A中的正数个数不小于4,取(i,j,k)=(1,2,3),可得a2+a3=a1,取(i,j,k)=(1,2,4),可得a2+a4=a1,此时a3=a4,不符合集合中元素的互异性,因此集合A中的正数至多有3个,同理,集合A中的负数至多有3个.又考虑A={3,2,1,0,-1,-2,-3},符合题意,所以n的最大值为7.故选C.9.AD　对于命题p,∵∀x∈[0,3],a≥x2,∴a≥(x2)max=3,∴a≥3.对于命题q,∵∃x∈R,x2+4x+a=0,∴Δ=42-4a≥0,解得a≤4.若命题p与命题q均为真命题,则3≤a≤4,只有A,D满足.故选AD.10.AC　对于A,y-tx-t-yx=x(y-t)-y(x-t)x(x-t)=t(y-x)x(x-t),因为x>y>0,t>0,所以t(y-x)<0,所以当x-t<0时,t(y-x)x(x-t)>0,即y-tx-t>yx,所以存在正数t,使yxy>0,s>t>0,所以xs>yt>0,因为0>u>v,所以-v>-u>0,所以-vxs>-uyt>0,所以vxs0,所以xsuy+1y=2,此时x0,解得03,所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.故选ACD.12.答案　{a1,a2}(答案不唯一)解析　∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},故M中必有元素a1,a2,又M⊆{a1,a2,a3,a4},∴M中可能有元素a3,a4,进而可写出M.13.答案　{a|a≤2}解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1-4,要使B⫋A,则a>-4,3a+5≤-2或a>-4,2a+1≥5,解得-40,b>0,所以1a+1b+4a+b=a+bab+4a+b=a+b+4a+b≥4,(4分)当且仅当ab=1,a+b=4a+b,即a=b=1时取等号.所以1a+1b+4a+b的最小值为4.(7分)(2)证明:因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立,(9分)将a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,所以ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac≤1,(13分)即ab+bc+ac≤13,当且仅当a=b=c=13时取等号.(15分)17.解析　(1)当a=1,b=4时,不等式为x2-2x+34≤0,(2分)即4x2-8x+3≤0,解得12≤x≤32,(5分)故不等式的解集为x|12≤x≤32.(7分)(2)由题意可知ab≥0,若不等式x2-abx+b-14≤0仅有一解,则ab-4×b-14=0,(9分)所以ab=b-1>0,即b>1,a=b-1b,(11分)故1a+b=bb-1+b=1+1b-1+b=2+1b-1+b-1≥2+21b-1·(b-1)=4,(13分)当且仅当b-1=1b-1,即b=2时取等号,所以1a+b的最小值为4.(15分)18.解析　(1)依题意可知总成本为(2x+4)千元,即f(x)=W(x)-(2x+4),(3分)则f(x)=2x2+20x-(2x+4),0136,所以当x=11时,f(x)取得最大值,最大值为154.所以该企业要使利润最大,应生产11千件该吉祥物,最大利润为154千元.(17分)19.解析　(1)集合B不是“好集”. (1分)理由:假设集合B是“好集”. 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.所以集合B不是“好集”.(3分)有理数集Q是“好集”.(4分)理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,1x∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(6分)(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(8分)(3)命题p,q均为真命题.理由如下:(9分)任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A.当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1,1x-1,1x∈A,所以1x-1-1x∈A,即1x(x-1)∈A,所以x(x-1)∈A.(11分)由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.(13分)若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以12xy∈A.(15分)由(2)可得1xy=12xy+12xy∈A,所以xy∈A.综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.若x,y∈A,且x≠0,则1x∈A,所以yx=y·1x∈A,即命题q为真命题.(17分)