福建省泉州第五中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份福建省泉州第五中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了下列各组线段，4sin60°的值为，自然数n满足，这样的n的个数是等内容，欢迎下载使用。

班级 座号 姓名 命题人：陈颖蕙、王春凤 审核人：刘晓榕
一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
2．4sin60°的值为（ ）
A．3B．1C．D．2
3．若n是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式n2﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣1或2D．﹣1与2
4．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3B．4：9C．16：81D．不能确定
5．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
6．如图，某地修建一座高BC＝5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
7．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18B．12C．24D．9
8．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（ ）
A．18B．C．D．
9．自然数n满足，这样的n的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接FD；若AC＝4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
二．填空题（共6小题）
11．已知，则＝ ．
12．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．若DE＝2，则BC＝ ．
13．我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广。利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，BE＞AE。如图，已知AB为2米，E为边AB的黄金分割点，则线段BE的长为 米．
14．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝ ．
15．在锐角三角形ABC中，2AB2＝2AC2+BC2，则的值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，点M为线段AA'上一动点，则的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：|3-1|+（2022-π）0+（12）-1-tan60°
18．（8分）解方程：（1）x2−2x−4=0 (2) (x−3)2=5(3−x)
19．（8分）如图，中山路MN一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠ACM＝30°．小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
20．（7分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．求证：△EDM∽△FBM；
21（8分）．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x﹣2＝0．
（1）（4分）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）（4分）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝1，求m的值．
22（10分）．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元．
（1）（4分）求y与x的函数表达式；
（2）（6分）每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？
23．（10分）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）（5分）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）（5分）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
24．（13分）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i＝3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．
（1）（6分）求叶片OA的长；
（2）（7分）在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．
（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，，结果保留整数）
25．（14分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．
【特例感知】
（1）（4分）①如图1，当α＝60°时，则AF与BE的数量关系为 ；
【尝试探究】（5分）（2）如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】（5分）（3）如图3，当α＝30°，且点B，E，F三点共线时，若，，请直接写出AF的长．
一．选择题（共10小题）
1．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ C ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
【解答】解：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4＝2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
故选：C．
2．4sin60°的值为（ D ）
A．3B．1C．D．
【解答】解：4sin60°=4×32=
故选：D
3．若n是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式n2﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣1或2D．﹣1与2
【解答】解：把x＝n代入方程x2﹣x﹣2＝0，
可得：n2﹣n﹣2＝0，
∴n2﹣n＝2．
故选：B．
4．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3B．4：9C．16：81D．不能确定
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为4：9；
故选：B．
5．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴∠C＝∠ADE＝80°，
故选：C．
6．如图，某地修建一座高BC＝5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
【解答】解：如图所示：
∵i＝1：，BC＝5m，
∴，
解得：AC＝5（m），
则AB＝＝＝10（m），
故选：A．
7．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18B．12C．24D．9
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），
∴△ABC∽△A'B'C'且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝1：4，
∵△ABC的面积是6，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C．
8．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（ ）
A．18B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12﹣5＝7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴＝，即＝，解得CG＝，
∴DG＝12﹣＝．
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴＝，即＝，解得DE＝．
故选：B．
9．自然数n满足，这样的n的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：①当 n2﹣2n﹣2＝1 时，无论指数为何值等式成立．
解方程得 n1＝3，n2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当 n2﹣2n﹣2＝﹣1 时，n不为自然数；
③当 n2﹣2n﹣2≠±1 时，当n为自然数，则 n2﹣2n﹣2≠0，所以n2+47＝16n﹣16等式成立．
解方程得 n1＝7，n2＝9．
综上所述，满足条件的n值有3个，故选B．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接FD；若AC＝4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠DCE＝∠CAE，且AC＝BC，∠ACD＝∠CBH＝90°，
∴△ACD≌△CBH（ASA），
∴CD＝BH，
∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，
∴CD＝DB＝BH＝2，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠HBF＝∠DBF，且BF＝BF，BH＝BD，
∴△DBF≌△HBF（SAS）
∴DF＝FH，
∵CH＝＝＝2，
∴CF+DF＝CF+FH＝CH＝2，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．已知，则＝ ．
【解答】解：设a＝7t，则b＝3t（t≠0），
∴＝＝＝．
故答案为．
12．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．若DE＝2，则BC＝ 4 ．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，
∵DE＝2，
∴BC＝4．
故答案为：4．
13．我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广。利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，BE＞AE。如图，已知AB为2米，E为边AB的黄金分割点，则线段BE的长为 （﹣1） 米．
【解答】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE＞AE，AB为2米，
∴BE＝AB＝×2＝（﹣1）米，
故答案为：（﹣1）．
14．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝ 4 ．
【解答】解法一：∵点D、E分别为AB、AC的中点，线段BE、CD相交于点O，
∴O点为△ABC的重心，
∴OC＝2OD＝4；
解法二：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴OD：OC＝DE：BC＝1：2，
∴OC＝2OD＝4．
故答案为4．
15．在锐角三角形ABC中，2AB2＝2AC2+BC2，则的值为 ．
【解答】解：如图所示，过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
AB2＝AM2+BM2．
在Rt△ACM中，
AC2＝AM2+MC2．
∵2AB2＝2AC2+BC2，
∴2（AM2+BM2）＝2（AM2+MC2）+（BM+MC）2，
整理得，3MC2+2BM•MC﹣BM2＝0，
∴，
解得，
∴．
在Rt△ABM中，
tanB＝，
在Rt△ACM中，
tanC＝，
∴．
故答案为：．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，点M为线段AA'上一动点，则的最小值为 ．
【解答】解：作A'H⊥AB于H，作ML⊥A'H于L，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC＝4，
∵沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，
∴∠AGE＝90°，A'G＝AG，
∴∠AGE＝∠ADC，
∵∠EAG＝∠CAD，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴AA'＝2AG＝，
∵∠AA'H＝∠ACB，
∴sin∠AA'H＝sin∠ACB，
∴，
∴ML＝A'M，
∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为AH的长，
∴AH＝＝，
∴的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）|3-1|+（2022-π）0+（12）-1-tan60°；
【解答】（1）解：原式＝3-1+1+2-3
＝2；
18．解方程：（1）x2−2x−4=0 (2) (x−3)2=5(3−x)
解：x2-2x+1=5 解：（x-3）2-5（3-x）
(x-1)2=5 (3-x)(3-x-5)=0
x-1=±5 (3-x)(-2-x)=0
X1=5+1,x2=-5+1 x1=3,x2=-2
19.如图，中山路MN一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠ACM＝30°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
【解答】解：（1）∵AC2＝64，BC2＝225，AB2＝289，64+225＝289，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；如图，过点B作BD⊥MN，垂足为D，
∵∠ACM＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，BC＝15km，
∴CD＝BC＝（km），BD＝BC＝（km），
答：小明与B送奶站的最近距离为km．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．求证：△EDM∽△FBM；
【解答】（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，
∴DC＝EB．
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠EDB＝∠FBM．
又∵∠DME＝∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x﹣2＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝1，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（﹣2）
＝（2m+1）2+8＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝2m+1，x1x2＝﹣2，
∵x1+x2+x1x2＝1，
∴2m+1﹣2＝1，
解得：m＝1．
21．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？
【解答】解：（1）可卖出千克数为500﹣10x＝500﹣10x，
∴y与x的函数表达式为y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）＝﹣10x2+400x+5000；
（2）∵y＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∴当x＝20时，y有最大值9000．
答：商店销售单价应定为20元时，销售利润最大，为9000元．
23．阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴＝；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m），
又∵，
即，
∴BC＝90m，
∴S△ABC＝×＝1800（m2）．
23．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i＝3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．
（1）求叶片OA的长；
（2）在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．
（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，，结果保留整数）
【解答】解：（1）∵DE垂直于水平地面EF，
∴∠E＝90°．
∵坡比i＝3：4，坡面DF长10 m，
∴DE＝6 m，EF＝8 m．
∵MF＝25 m，
∴ME＝33 m．
由题意得：∠OME＝53°，
∴OE＝ME•tan53°≈33×＝44 m．
∵MN＝23.5 m，
∴NE＝ME+MN＝56.5 m．
由题意得：∠N＝30°，
∴AE＝NE•tan30°≈32 m．
∴OA＝OE﹣AE＝44﹣32＝12 m；
（2）作CM⊥OE于点M．
∴∠CMO＝90°．
∵∠AOC＝120°，∠AOE＝90°，
∴∠COM＝30°．
由题意得：OC＝OA＝12 m，
∴OM＝OC•cs∠COM＝12×＝6 m．
∴ME＝OE﹣OM＝44﹣6≈34 m．
∴叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34 m．
24．【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．
【特例感知】
（1）①如图1，当α＝60°时，则AF与BE的数量关系为 AF＝BE ；
【尝试探究】
（2）如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，当α＝30°，且点B，E，F三点共线时，若，，请直接写出AF的长．
【解答】解：（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，
∵△FEC是等边三角形，∴CE＝CF，
∵∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，
在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴AF＝BE，
故答案为：AF＝BE；
（2）BE＝2csαAF；理由如下：
如图2，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，∠ACB＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝α，
∴∠FEC＝∠FCE＝α，∠ACB＝∠FCE＝α．
∴∠EFC＝180°﹣2α．
∴∠BAC＝∠EFC．
∴△ABC∽△FEC．
∴．
∴．
∵∠ACB＝∠FCE＝α，
∴∠BCE＝∠ACF．
∴△BCE∽△ACF．
∴．
∵AB＝AC，H为BC的中点，
∴BC＝2CH．
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
∴．
∴．
∴BE＝2csαAF．
（4）．理由如下：
如图3，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴∠BMD＝∠H＝90°．
∴DM∥CH．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DB＝DE．
∴BM＝EM．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝30°，
∴FE＝FC，∠FEC＝∠FCE＝30°．
∴∠HFC＝∠FEC+∠FCE＝60°．
∴∠HCF＝180°﹣∠H﹣∠HFC＝30°．
∴FC＝2FH．
∵FE＝FC，
∴FE＝2FH．
设BM＝x，则BE＝2x，
∵DM∥CH，
∴，
∴BH＝5BM＝5x．
∴EH＝BH﹣BE＝3x．
∵FE＝2FH，
∴FE＝FC＝2x，FH＝x．
∴．
在Rt△BHC中，∠BHC＝90°，，
∴BH2+CH2＝BC2．
∴，解得x＝2．
∴BE＝2x＝4．
∵BE＝2csαAF，
∴．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/21 9:30:16；用户：杨惠秋（小初高数学）；邮箱：15659099114；学号：41121597