2023-2024学年福建省泉州市南安市实验中学九年级上学期月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市南安市实验中学九年级上学期月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三年数学科试卷
一、选择题：
1．下列二次根式中最简二次根式是( )
A．B．C．D．
2．下列运算中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．将方程进行配方，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) .
A．m=0B．m>0C．m<-1D．m>-1
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是( ) .
A．B．C．D．
6．下列事件为必然事件的是（ ）．
A．抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不小于1
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．一年有367天
7．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
8．如图，在中，点E在上，若，则与的面积的比为（ ）．

A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）

A．4B．8C．2D．4
10．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )
A．a＜0B．abc＞0C．a+b+c＞0D．b2-4ac＞0
二、填空题：
11．当x 时，二次根式有意义．
12．已知（b≠0），则的值为 ．
13．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
14．二次函数图象的顶点坐标是 ．
15．定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为 (用含m的代数式表示).
16．如图，在矩形中，点E在上，且于F，连结，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填写序号即可）．
三、解答题：
17．计算：．
18．解方程：．
19．如图，在正方形方格纸中，是一个格点三角形，点的坐标分别为，，．
(1)以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，放大后点的对应点分别为，，，点在第一象限，请你在所给的方格纸中作出；
(2)若为线段上的任一点，则放大后点P的 对应点的坐标为 ．
20．在一个不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同．
(1)如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？
(2)小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小东随机摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
21．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号）
22．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：ABE∽DBC；
（2）求线段AE的长．
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24．如图，由绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
(1)求∠BDE的度数；
(2)F是EC延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．
试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的判定条件即可解答；最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
【详解】解：A．不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．不是最简二次根式，不符合题意；
D．不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定．
【详解】解∶ A、与不是同类二次根式，不能合并，故原说法错误，符合题意；
B、，故原说法正确，不符合题意；
C、，故原说法正确，不符合题意；
D、，故原说法正确，不符合题意；
故选∶ A．
【点睛】此题主要考查了实数的运算．二次根式的运算法则与有理数的运算法则是一样的，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据配方法的一般步骤：把常数项移动到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4．C
【分析】方程无实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：由题意得：△=4+4m<0，
∴m<-1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．C
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，

故选C.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键．
6．A
【分析】利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A、掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不小于1，是必然事件，故此选项正确；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项错误；
C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、一年有367天，是不可能事件，故此选项错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了随机事件，正确把握各事件的定义是解题关键．
7．B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=4，CE=6，BD=3，可代入求解DF=4．5．
故选B
考点：平行线分线段成比例
8．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，由平行四边形的性质可得，再结合可得,然后证明，最后根据相似三角形的性质即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
9．D
【详解】试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D．
考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
10．C
【详解】试题解析：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴左边，-＜0，
∴b＜0，abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选C．
考点：二次函数图象与性质.
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得答案．
熟记二次根式有意义的条件是解题关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】由可设a＝2k，b＝3k，进而代入求出答案．
【详解】∵(b≠0)
可设a＝2k，b＝3k (k≠0)
则
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，可直接利用比例的性质或设k法．
13．##30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，

由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
14．
【分析】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标.
【详解】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标为(2,3).
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟记抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解本题的关键.
15．
【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解．
本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则．
【详解】∵a、b是方程的两个根，
∴
∵，
∴
故答案为：．
16．①④##④①
【分析】根据矩形的性质，等角的余角相等可得,，即可证明进而判断①，根据可得，根据，结合相似比可得，进而判断②，过点作，反证法证明可得，进而判断③，连接设则，勾股定理求得各边，根据建立关系式，进而可得，进而求得，即可判断④
【详解】解：四边形是矩形
,
,
，
故①正确；
即
故②不正确
过点作，如图，
若，
则
即与矛盾，故
故③不正确
设则
中，
连接，如图，
在 中，
在中，
即①
又②
①+②得
故④正确，
故答案为：①④
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，根据特殊角的三角函数值求角度，掌握以上知识是解题的关键．
17．
【分析】按照运算顺序先计算二次根式的乘除法，然后再进行加减运算即可．
【详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
18．，
【分析】观察到，可移项因式分解解方程．
【详解】∵
∴，即
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据题意选择适当的方法是解题的关键．
19．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）由位似变换的性质可得答案．
此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）若为线段上的任一点，则放大后点P的对应点的坐标为，
故答案为：．
20．(1)
(2)游戏规则对双方公平．理由见解析．
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球共有三种情况，其中摸到标有数字2的概率为．
（2）列树状图或表格可知，共有九种情况，其中两人无论谁先谁后，摸出较大数字的概率都等于，据此可判断游戏规则对双方公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．解题的关键是明确：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）从袋中任意摸出一个球，共有三种可能：1、2、3，其中摸到标有数字2的概率是．
（2）列树状图如下．
由图可以看出，小明获胜的情况有：三种，则小明获胜的概率是．
小东获胜的情况有：三种，则小东获胜的概率是．
因双方获胜的概率相同，故规则对双方公平．
21．3+3.5
【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcs∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．
【详解】如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵tan∠DCF=i=，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF=CD=2，CF=CDcs∠DCF=4×=2，
∴BF=BC+CF=2+2=4，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，
则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，
故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．
考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
22．（1）证明见解析；（2）AE=15．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案．
【详解】（1）∵AB＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
∵△ABE∽△DBC，
∴，
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴，
∴BE＝20，
∴AE＝＝15．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23．(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设每次下降的百分率为，根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列出方程进行求解即可；
（2）设每千克应涨价元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每千克应涨价5元．
24．(1)
(2)①，理由见详解；②证明见详解
【分析】（1）由旋转的性质得出，，，得出，可求出的度数；
（2）①由旋转的性质得出，，证得，由三角形外角的性质可得出结论；
②过点作交于点，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）解：由绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
在中，，
，
．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，
∴，
，
∵，
∴．
②证明：过点作交于点，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，，
（ASA），
，
，
又，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，过点A作轴交的延长线于点，则可得，继而可得，先求出的解析式，继而求得长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先确定出，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．
则，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为，
将、代入则有：，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，，
即，
∴．
∵．
∴
设点，则F点坐标为，
∴．
∴，
当时，有最大值．
（3）∵，，．
∴，，，
∴，
∴，
∵过点作直线，直线的表达式为，
∴直线的表达式为．
设点的坐标为．
①当点在直线右侧时，如图，，过点P作轴于点N，过点Q作于点M，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为．
②当点在直线左侧时．如图，，过点P作轴于点N，过点Q作于点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．