2024-2025学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=1+3i2+i的实部和虚部分别是( )
A. 1，1B. 1，iC. −13,53D. −13,53i
2.已知向量a=(2,2)，b=(λ,−4)，λ∈R，若a⊥(a+b)，则λ=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 3 2
B. 2
C. 3
D. 2 2
4.已知向量a=(1,1),b=(−2,1)，则a在b方向上的投影数量为( )
A. 15B. −15C. 55D. − 55
5.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )
A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增B. 在区间[3π4,π]上单调递减
C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增D. 在区间[3π2,2π]上单调递减
6.已知f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，若方程|f(x)|=1在区间(0,2π)上恰有3个实根，则ω的取值范围是( )
A. 12<ω≤56B. 56<ω≤1C. 1<ω≤43D. 1≤ω≤43
7.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常重要的一部.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1.若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是( )
A. 2+2 2B. 2 2C. 3+2 2D. 3+2 3
8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x−2)是偶函数，当0≤x≤2时，f(x)=x2−4x，则当6≤x≤8时，f(x)的解析式为( )
A. f(x)=−x2−4xB. f(x)=x2−16x+60
C. f(x)=x2−12x+32D. f(x)=−x2+12x−32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有( )
A. 事件A与事件B对立B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件C相互独立D. P(C)=P(AB)
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，A=π3，O为△ABC的外心，则( )
A. 若△ABC有两个解，则3B. OA⋅BC的取值范围为[−3 3,3 3]
C. BA⋅BC的最大值为9
D. 若B，C为平面上的定点，则A点的轨迹长度为83 3π
11.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论正确的是( )
A. 当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角
B. 当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角
C. 直线AB与a所成角的最小值为45°
D. 直线AB与a所成角的最大值为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1， 2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则m+n= ．
13.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D1为球心， 5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ．
14.已知函数f(x)=12x+1(x>0)2x2+4x+2(x≤0)，若函数g(x)=f(f(x)−m)−2，当g(x)恰有3个零点时，求m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组：[65,75)，[75,85)，[85,95)，[95,105)，[105,115)，[115,125)，[125,135)，[135,145)，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[95,105)，[105,115)的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．
16.(本小题15分)
如图，已知多面体ABC−A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
(1)证明：AB1⊥A1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.
(1)证明：BD=b;
(2)若AD=2DC，求cs∠ABC．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)求证：AB⊥PD；
(2)若∠BPC=90°，PB= 2，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P−ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n当m,n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−x2y1|；当m,n共线时，规定S(m,n)=0．
(1)分别根据下列已知条件求S(m,n)；
①m=(2,1)，n=(−1,2)；
②m=(1,2)，n=(2,4)；
(2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)记OA=a，OB=b，OC=c，且满足c=λa+μb，a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，求S(c,a)+S(c,b)的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.AB
11.BC
12.3
13. 2π2
14.(1,3]∪{4}
15.解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.080；
(2)用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：
70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10=102(分)；
(3)由频率分布直方图可知[95,105)的频数为500×0.030×10=150，[105,115)的频数为500×0.020×10=100，所以两组人数比值为3：2，
按照分层抽样抽取5人，则在[95,105)，[105,115)分别抽取3人和2人，
记[95,105)这组三人的编号为A，B，C，[105,115)这组两人的编号为a，b，
故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：
(A,B)，(A,C)，(C,B)，(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)
设事件M=“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则M={(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)}，共6种情况．
故P(M)=610=35，
即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为35．
16.(1)证明：以A为原点，AC，AA1所在直线分别为y，z轴，在平面ABC内作Ax⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(1, 3,2)，A1(0,0,4)，C1(0,2 3,1)，
∴AB1=(1, 3,2)，A1C1=(0,2 3,−3)，
∴AB1⋅A1C1= 3×2 3+2×(−3)=0，即AB1⊥A1C1．
(2)解：由(1)可知，AC1=(0,2 3,1)，AB=(1, 3,0)，AB1=(1, 3,2)，
设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=0n⋅AB1=0，即x+ 3y=0x+ 3y+2z=0，
令y=1，则x=− 3，z=0，∴n=(− 3,1,0)，
设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cs|=|n⋅AC1|n|⋅|AC1||=|2 32× 13|= 3913，
故直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为 3913．
17.解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，
∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，
∵b2=ac，
∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC=asinC，
∵BDsin∠ABC=asinC．
∴BD=b；
(2)由(1)知BD=b，
∵AD=2DC，
∴AD=23b，DC=13b，
在△ABD中，由余弦定理知，cs∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，
在△CBD中，由余弦定理知，cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，
∵∠BDA+∠BDC=π，
∴cs∠BDA+cs∠BDC=0，
即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，
得11b2=3c2+6a2，
∵b2=ac，
∴3c2−11ac+6a2=0，
∴c=3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，
当c=3a时，cs∠ABC=76>1(舍)；
当c=23a时，cs∠ABC=712；
综上所述，cs∠ABC=712．
18.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，
又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
(2)过点P作PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，
作OM⊥BC，交BC于M，连接PM，
又∵OM⋂PO=O，OM，PO⊂平面POM，
∴BC⊥平面POM，
又∵PM⊂平面POM，∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB= 2，PC=2，
∴BC= PB2+PC2= 6，
∴PM=PB·PCBC=2 2 6=2 33，
∴BM= PB2−PM2= 2−43= 63，
设AB=x，则OM=x，故PO= PM2−OM2= 43−x2，
故VP−ABCD=13x× 6× 43−x2=13 8x2−6x4=13 −6(x2−23)2+83，
当x2=23，即x= 63时，(VP−ABCD)max=2 69，
建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，
则P(0,0, 63)，D(−2 63,0,0)，C(−2 63, 63,0)，
M(0, 63,0)，B( 63, 63,0)，
设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
由m⋅PB= 63x1+ 63y1− 63z1=0m⋅PC=−2 63x1+ 63y1− 63z1=0，取z1=1，得m=(0,1,1);
由n⋅PC=−2 63x2+ 63y2− 63z2=0n⋅PD=−2 63x2− 63z2=0，取x2=1，得n=(1,0,−2)．
∴cs=n⋅m|n| |m|=−2 2× 5=− 105，
由图可知，二面角B−PC−D的平面角为锐角，
∴二面角B−PC−D的平面角的余弦值为 105．
19.解：(1)因为①m=(2,1)，n=(−1,2)，所以S(m,n)=|2×2−1×(−1)|=5；
②因为m=(1,2)，n=(2,4)，所以S(m,n)=|1×4−2×2|=0．
(2)因为m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，且p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
所以p=(λx1+μx2,λy1+μy2)，所以S(p,m)=|(λx1+μx2)y1−(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2−x2y1|，
同理S(p,n)=|λ||x1y2−x2y1|，所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)．
(3)设〈a,c〉=α，因为a⊥b，所以〈c,b〉=3π2−α或〈c,b〉=π2−α，
当〈c,b〉=3π2−α时，S(c,a)+S(c,b)=2⋅12|c||a|sinα+2⋅12|c||b|sin(3π2−α)
=sinα+sin(3π2−α)=sinα−csα= 2sin(α−π4)，
当α−π4=π2，即α=3π4时，S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2；
当〈c,b〉=π2−α时，S(a,c)+S(c,b)=2⋅12|c||a|sinα+2⋅12|c||b|sin(π2−α)
=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
当α=π4时，S(a,c)+S(c,b)取到最大值 2．
所以S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2．