冀教版（2024）八年级上册15.4 二次根式的混合教学设计

这是一份冀教版（2024）八年级上册15.4 二次根式的混合教学设计，共4页。

1.了解二次根式混合运算的运算顺序.
2.能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算.
3.掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.
学习重点
能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算.
学习难点
掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.
课时活动设计
探究新知
教师提出问题,学生思考、交流、总结.
1.根据以前所学,观察下列式子的运算顺序并进行计算.
(1)(3+5)×4; (2)(3a+5a)÷8.
解:(1)(3+5)×4=8×4=32.
(2)(3a+5a)÷8=8a÷8=a.
2.类比整数、整式的运算顺序对下列二次根式进行计算.
(1)3×(6+10);(2)(62+318)÷2;
(3)(3-2)(3+2);(4)(6-3)(6+3).
解:(1)3×(6+10)=3×6+3×10=32+30.
(2)(62+318)÷2=62÷2+318÷2=6+9=15.
(3)(3-2)(3+2)=(3)2-22=3-4=-1.
(4)(6-3)(6+3)=(6)2-(3)2=6-3=3.
3.你在运算时,用到了哪些运算律和乘法公式?
解:运用到了乘法对加法的分配率和平方差公式.
教师引导学生归纳:
在含有二次根式的加、减、乘、除运算的式子中,我们可以按一定的顺序进行计算,并将计算结果化简为最简二次根式.
与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算,也应先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.运算律、乘法分式仍然适用.
设计意图:通过数和整式的混合运算引出二次根式的混合运算,让学生在独立思考的基础上,体验探索过程,培养学生解决问题的能力.
典例精讲
例1 计算下列各式:
(1)2×(8-10); (2)(24+50)÷2.
解:(1)(方法1)2×(8-10)=16-20=4-25.
(方法2)2×(8-10)=2×(22-2×5)=4-25.
(2)(方法1)(24+50)÷2=24÷2+50÷2=12+25=23+5.
(方法2)(24+50)÷2=(36+52)÷2=26÷2+52÷2=23+5.
例2 计算下列各式:
(1)(5+2)(5-2); (2)(3+1)2.
解:(1)(5+2)(5-2)=(5)2-(2)2=5-2=3.
(2)(3+1)2=(3)2+2×3×1+12=4+23.
归纳:平方差公式:(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2=a-b(a≥0,b≥0);
完全平方公式:(a±b)2=a+b±2ab(a≥0,b≥0)在实数范围内也成立.
例3 计算下列各式:
(1)12-1; (2)(5+3)(3-3).
教师引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化?(2)应采用哪种方法计算.
教师巡视指导后展示答案,分析过程.
解:(1)12-1 = 2+1(2-1)(2+1) = 2+12-1 = 2+1.
(2)(5+3)(3-3)=53-15+(3)2-33=23-12.
设计意图:通过例题,让学生知道二次的加、减、乘、除混合运算与整式的加、减、乘、除混合运算很类似,所以,要注意知识的延续和发展,引导学生用类比的方法来学习新知识.
巩固训练
1.计算下列各式:
(1)12-13+127;
(2)22-1+18-412;
(3)(23-32)2;
(4)(7+7)2-(7-7)2.
解:(1)原式=23-33+39=1639.
(2)原式=2(2+1)+32-22=22+2+32-22=32+2.
(3)原式=12+18-2×23×32=30-126.
(4)原式=(7+7+7-7)×(7+7-7+7)=14×27=287.
2.计算:
(1)2-18+38;
(2)424÷66×-233;
(3)(3+2)(3-2)+(5-2)2;
(4)27-613÷3×22.
解:(1)原式=2-32+62=42.
(2)原式=86÷66×-233=43×-233=-893.
(3)原式=(3)2-22+(5)2+22-45=3-4+5+4-45=8-45.
(4)原式=(33-23)÷3×22=3÷3×22=1×22=22.
3.已知x=5+1,y=5-1,求下列各式的值:
(1)x2-xy+y2;
(2)xy+yx.
解:∵x=5+1,y=5-1,
∴x+y=25,xy=4.
(1)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=(25)2-3×4=20-12=8.
(2)xy+yx = x2+y2xy = (x+y)2-2xyxy = (25)2-2×44 = 20-84 =3.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.二次根式混合运算的顺序:
先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.
2.乘法公式:
平方差公式:(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2=a-b(a≥0,b≥0);
完全平方公式:(a±b)2=a+b±2ab(a≥0,b≥0).
设计意图:帮助学生反思、总结本节课的知识与方法,让学生对本节课内容有一个更深刻、更全面的认识.有利于帮助学生理清知识脉络,巩固学习效果.
课堂8分钟.
1.教材第103页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思