江苏南京秦淮外国语学校2024年九年级上学期第一次数学月考试题+答案

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1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
2．方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是
A．B．C．D．
3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．且
4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响
A．平均分B．众数C．中位数D．极差
5．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为
A．B．C．D．
6．如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，，则的半径为
A．4B．4.8C．D．
二．填空题（共10小题）
7．若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ．
8．已知的圆心坐标为，直径为6，则与轴的位置关系是 ．
9．若 .
10．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
11．如图所示，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为 ．
12．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为 ．
13．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
14．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为 ．
15．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
16．如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 ．
三．解答题（共11小题）
17．解下列方程：
（1）；
（2）．
先化简，再求值：；从，0，1，2中任选一个代入求值．
19．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1） ， ， ；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
21．如图，直线经过点，且，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
22．如图，内接于，为的中点，在上，连接．
（1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
23．在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上，，为常数），以为圆心、适当的长度为半径作，使点、在上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，直线与有且只有一个公共点，则 ．
24．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”．
（1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由；
（2）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值．
25．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形，．．
①若，，请在横线处填出四边形是什么特殊的四边形？ ．
②若，，则 ．
（2）如图2，矩形的长和宽为方程的两根，其中．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．在点，的运动过程中，若四边形是等腰直角四边形，求的长．
26．如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点．
（1）求证；
（2）连接，若为直径，，，求的半径．
27．【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
秦外九上练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【解答】解：，故选：．
2．方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是
A．B．C．D．
【解答】解：，，即，故选：．
3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．且
【解答】解：当时，△，，即且，
当时，此时方程为，满足题意，
所以．故选：．
4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响
A．平均分B．众数C．中位数D．极差
【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．故选：．
5．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是内接四边形，，
等边的顶点在上，，，故选：．
6．如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，，则的半径为
A．4B．4.8C．D．
【解答】解：以点为圆心，以为半径画圆，延长交于点，连接，，如图所示：
在△中，，，，由勾股定理得：，
，为的直径，点，，在同一条直线上，，
，，
在△中，，，由勾股定理得：．
．故选：．
二．填空题（共10小题）
7．若一元二次方程的两个根是，，则的值是 1 ．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，，，
，故答案为：1．
8．已知的圆心坐标为，直径为6，则与轴的位置关系是 相切 ．
【解答】解：的圆心坐标为，圆心到轴的距离为3，
的直径为6，的半径为3，圆心到轴的距离为等于的半径，
与轴相切．故答案为：相切．
9．若 .
【解答】解：令
，解得（舍去）．故.
10．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 且． ．
【解答】解：分式方程去分母得：，即，
当，即时，解得：，
分式方程的解为正数且，且，解得：且．
故答案为：且．
11．如图所示，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为 ．
【解答】解：点是的内切圆的圆心，
、分别平分、，，，
，，
．
故答案为：．
12．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为 24 ．
【解答】解：，这组数据的平均数是6，数据个数是4，
这组数据的总和为；故答案为：24．
13．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
【解答】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，，故答案为：．
14．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为 或 ．
【解答】解：点坐标为，点是的中点，，．
分与相切和与相切两种情况考虑：
①当与相切时，如图1所示．
点横坐标为，．
在中，，，，
，即，解得：；
②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示．
，，．
，四边形为矩形，，．
在中，，，，
，即，解得：，（不合题意，舍去）．
综上所述：的值为或．故答案为：或．
15．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 289 ．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为，连接，，
则四边形为正方形，
，，，
，，
而，①，
小正方形的面积为49，，②，
把①代入②中得，，（负值舍去），
大正方形的面积为 289．故答案为：289．
16．如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 ．
【解答】解：方法一：以为原点，建立坐标系，过点作
设，则，，
，，，，，，
，，，，
，，，四边形为矩形，，，
为，的中点，，
令，，点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
点所经过的路径长为：，
方法二：在上运动，运动路径为线段，为中点，的运动路径亦为线段，
当与重合时，，当与重合时，，
点所经过的路径长为：，故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），，，，
解得，．
（2），，或，
解得，．
18．先化简，再求值：；从，0，1，2中任选一个代入求值．
【解答】解：
，
根据分式有意义的条件得且，只能为2，当时，原式．
19．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1） 8 ， ， ；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”
【解答】解：（1）由题可得，；
甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数；
而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数；
故答案为：8，8，9；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定．
(3)由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差，
选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小．故答案为：变小．
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，整理，得：，
解得：，，尽可能让顾客得到实惠，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
21．如图，直线经过点，且，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接，
，，，直线经过点，是的半径，
是的半径，且，直线是的切线．
（2）解：，，的半径为4，，
，，，，
，
阴影部分的面积是．
22．如图，内接于，为的中点，在上，连接．
（1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
【解答】（1）（Ⅰ）证明：连接、，如图，
为优弧的中点，，，
又，、都在的垂直平分线上，即是垂直平分线，；
（Ⅱ）证明：连接，如图，
，，，，，
，，．又，；
23．在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上，，为常数），以为圆心、适当的长度为半径作，使点、在上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，直线与有且只有一个公共点，则 4或24 ．
【解答】解：（1）由点的坐标知，改点在直线上，由圆的定义知，点在的中垂线上，
故上述两条直线的交点，即为点为位置，由此画出如图所示．
（2）如图所示，设直线与有且只有一个公共点为点，
则和直线垂直，且，
点在直线，点是直线和直线的交点，
则点，，由得：，
解得或24．故答案为：4或24．
24．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”．
（1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由；
（2）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值．
【解答】解：（1）不存在“优值”．理由如下：
假设存在优值为，则有，整理得：，
则，无论取何值时，，方程没有实数根，
即代数式不存在“优值”．
（2）设“优值”为，则有，整理得：，
，，．
两个“优值”差为5，或，或．
25．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形，．．
①若，，请在横线处填出四边形是什么特殊的四边形？ 正方形 ．
②若，，则 ．
（2）如图2，矩形的长和宽为方程的两根，其中．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．在点，的运动过程中，若四边形是等腰直角四边形，求的长．
【解答】（1）①解：，，四边形为平行四边形，
，四边形为菱形，，四边形为正方形，
故答案为：正方形；
②证明：连接、，如图所示：
，，垂直平分，，
，，，，
故答案为：12；
（2）解：，，或，
解得：，，，，，
根据题意可知，当或时，四边形是等腰直角四边形；
当时，连接，过点作于点，如图所示：
运动时间为：（秒，，，
，四边形为矩形，，，
，；
当时，连接，过点作于点，如图所示：
则，此时运动时间为：，，
，四边形矩形，，，
，；综上分析可知，或．
26．如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点．
（1）求证；
（2）连接，若为直径，，，求的半径．
【解答】（1）证明：连接并延长交于点，连接，
是的切线，，
，，即，，是的垂直平分线，；
（2）解：，，，
设，在和中，由勾股定理得：，，
即，，，
解得． （舍去）．的半径为5．
【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 2 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
【解答】解：（1）正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
设，，
，，，，
大正方形面积是小正方形面积的2倍，故答案为：2；
（2）如图，
，，，，，
，结合图形变换可得：；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
为圆外一个定点，当与相切时，最大，，
，由（2）可得：，
，，，；6 20:07:51；用户：15365143975；邮箱：15365143975；学号：51233选手
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
0.4
乙
9
3.2
选手
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
0.4
乙
9
3.2