2024-2025学年江苏省南京市南京外国语学校数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省南京市南京外国语学校数学九上开学考试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学均时间是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2、（4分）如图，□ABCD中，E为BC边上一点，且AE交DC延长线于F，连接BF，下列关于面积的结论中错误的是( )
A．S△ABF =S△ADEB．S△ABF =S△ADF
C．S△ABF=S□ABCDD．S△ADE=S□ABCD
3、（4分）如图，点Р是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣5，2）
5、（4分）直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．13B．9C．8.5D．6.5
6、（4分）如图，菱形ABCD中，，AB=6，则（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列代数式中，属于最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
8、（4分）某校对八年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为(单位：h)：4、4、3.5、5、5、4，这组数据的众数是( )
A．4B．3.5C．5D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_____．
10、（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是______________．
11、（4分）分解因式：x3-3x=______．
12、（4分）在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
13、（4分）在三角形中，点分别是的中点，于点，若，则________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．
（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ．
（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．
15、（8分）（1）已知，求的值；
（2）解方程：.
16、（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
17、（10分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．
18、（10分）为了解某校八年级150名女生的身高情况，从中随机抽取10名女生，测得身高并绘制如下条形统计图.
（1）求出这10名女生的身高的中位数和众数；
（2）依据样本估计该校八年级全体女生的平均身高；
（3）请你根据这个样本，在该校八年级中，设计一个挑选50名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= _____．
20、（4分）方程x2＝2x的解是__________．
21、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点0，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E.F两点，若AC =2，∠DAO =300，则FB的长度为________ ．
22、（4分）某校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、整体表现三个方面对选手进行评分．评分规则按主题占，内容占，整体表现占，计算加权平均数作为选手的比赛成绩．小强的各项成绩如表，他的比赛成绩为__分．
23、（4分）直角三角形两边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
25、（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．
（1）求证：△BCP≌△DCQ；
（2）延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②若△BCP是等边三角形，请画出图形，判断△DEP的形状，并说明理由．
26、（12分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．连接AF、BD．
求证：四边形ABDF是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据题意得：（1×1+2×2+4×3+2×4+1×5）÷10=3（小时），
答：这10名学生周末学均时间是3小时；
故选B．
2、B
【解析】
根据△ABF与△ABC等底同高，△ADE与△ADC等底同高，结合平行四边形的性质可得S△ABF＝S△ABC=S▱ABCD，S△ADE＝S△ADC＝S▱ABCD，问题得解.
【详解】
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF与△ABC等底同高，△ADE与△ADC等底同高
∴S△ABF＝S△ABC=S▱ABCD，S△ADE＝S△ADC＝S▱ABCD，
∴S△ABF =S△ADE，
∴A，C，D正确；
∵S△ADF＝S△ADE＋S△DEF，S△ABF＝S△ADE，
∴S△ADF＞S△ABF，
∴B不正确；
故选B．
本题考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键．
3、C
【解析】
先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP＝M′N＝AB＝1．
【详解】
解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N＝AB＝1，
∴MP＋NP＝M′N＝1，即MP＋NP的最小值为1，
故选：C.
本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
4、C
【解析】
此题涉及的知识点是坐标与图形的变化﹣平移，掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，就可以得出结果．
【详解】
根据点的平移的规律：向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），据此求解可得．
∵点B的坐标为（3，1），
∴向左平移6个单位后，点B1的坐标（﹣3，1），
故选C
此题重点考察学生对于图形的平移的应用，掌握点的坐标的平移规律是解题的关键．
5、D
【解析】
根据题意首先利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边，
所以斜边上的中线长.
故选：D.
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记相关性质是解题的关键．
6、D
【解析】
利用菱形的性质可求，在30°直角三角形中利用勾股定理可求BD的一半长，则BD可求．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，设AC与BD交于点O，
，，
，，
故选：D．
本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度一般借助菱形的对角线互相垂直，在直角三角形中求解．
7、A
【解析】
最简二次根式满足下列两个条件：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判断即可.
【详解】
解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
8、A
【解析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
【详解】
在这一组数据中4出现了3次，次数最多，故众数是4.
故选:A.
考查众数的概念，掌握众数的概念是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
根据题意可知，
∴．
10、
【解析】
根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．
【详解】
根据题意得：
解得，
故答案为：．
本题主要考查学生对二次根式有意义时被开方数的取值的掌握，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键.
11、
【解析】
先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【详解】
x3-3x=x（x2-3），
=．
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
12、2
【解析】
根据轴对称的性质，作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为AE′的长．
【详解】
作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，
∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为2．
此题考查轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解题的关键．
13、80°
【解析】
先由中位线定理推出，再由平行线的性质推出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HF=CF，最后由三角形内角和定理求出.
【详解】
∵点分别是的中点
∴（中位线的性质）
又∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵
∴三角形是三角形
∵是斜边上的中线
∴
∴（等边对等角）
∴
本题考查了中位线定理，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形内角和定理.熟记性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（1）1，2.
【解析】
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
（1）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【详解】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=20°，
∴∠ABE+∠CBE=20°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=20°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=20°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（1）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=20°，点M是BE的中点，
∴BE=1CM=1，
∴FG=1，
故答案为：1．
应用：同探究（1）得，BE=1ME=1CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键．
15、（1）；（2），.
【解析】
（1）代入即可进行求解；
（2）根据因式分解法即可求解一元二次方程.
【详解】
（1）代入得：
；
（2）解：，
，
，.
此题主要考查代数式求值与解一元二次方程，解题的关键是熟知整式的运算及方程的解法.
16、（1），；（2）或．
【解析】
（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可；
（2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围；
【详解】
解：（1）∵点在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为：．
∵点在上，
∴．
∴．
将点，代入，得．
解得 ．
直线的解析式为：．
（2）直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，
x的取值范围是或．
∴不等式的解集为或．
本题主要考查的是反比例函数的综合应用，数形结合是解答问题（2）的关键
17、证明见解析．
【解析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，
∵∠EAG=∠FCH，AE=CF，∠AEG=∠CFH，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG=CH．
18、 (1）众数162，中位数161.5;（2）161cm;（3）.
【解析】
（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数和众数；
（2）根据加权平均数的求法可以解答本题；
（3）根据题意可以设计出合理的方案，注意本题答案不唯一．
【详解】
解：（1）这10名女生的身高为：154、158、158、161、161、162、162、162、165、167，
∴这10名女生的身高的中位数是：cm，众数是162cm，
即这10名女生的身高的中位数和众数分别是161.5cm、162cm；
（2）平均身高.
（3）可以先将八年级身高是162cm的所有女生挑选出来，若不够，再挑选身高与162cm最接近的，直到挑选到50人为止．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、20°
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE=BD，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为20°．
点睛：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．
20、x1＝0， x2＝2
【解析】
利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】
解：原方程化为：
所以：
所以： 或
解得：
故答案为：
本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
21、2
【解析】
先根据矩形的性质，推理得到∠OBF=30°，，再根据含30°角的性质可得OF=BF ，利用勾股定理即可得到BF的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，，
∴∠OBF=∠ODA =30°，
∴OF=BF.
又∵Rt△BOF中，
BF2-OF2=OB2，
∴BF2-BF2= ，
∴BF=2.
本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
22、1
【解析】
根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】
解：根据题意，得小强的比赛成绩为，
故答案为1．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
23、6或6.5
【解析】
分类讨论，（1）若斜边为12，则直角三角形斜边上的中线的长是6；
（2）若12是直角边，则斜边为13，则直角三角形斜边上的中线的长是6.5；
综上述，直角三角形斜边上的中线的长是6或6.5.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；
（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.
【详解】
(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB ，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC，
∴AE=DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.
∴AD=CD
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形.
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
25、（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②作图见解析；△DEP为等腰直角三角形，理由见解析．
【解析】
（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．
【详解】
（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ；
（2）①如图b，
∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，
∴∠DEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥DQ；
②画图如下，
∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，
∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．
26、证明见解析.
【解析】
先由SSS证明△ABC≌△DFE，再根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF和AB=DF，即可得出结论．
【详解】
解：∵BE=FC
∴BE+EC=FC+EC
∴BC=FE
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE
∴AB∥DF，又AB=DF
∴四边形ABDF是平行四边形
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
主题
内容
整体表现
85
92
90