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数学八年级上册1.2 怎样判定三角形全等学案及答案
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这是一份数学八年级上册1.2 怎样判定三角形全等学案及答案，共12页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，学时安排，第一学时，学习过程，第二学时，第三学时等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1．掌握“边角边”这一三角形全等的判定方法。
2．经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决一些简单的实际问题。
3．培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值。
4．掌握“ASA”这一三角形全等的判定方法，并能利用这些条件判别三角形是否全等
5．经历“AAS”的探究过程，理解由“ASA”推出“AAS”，并会简单的运用“AAS”判定三角形全等。
6．通过学习进一步培养学生的合作交流能力和问题探究能力。
7．掌握“SSS”这一三角形全等的判定方法，并能灵活运用“SSS”方法来判定三角形全等。
8．了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及生活中的实际应用。
9．培养学生的合作交流能力和发散思维能力。
【学习重点】
1．探究“边角边”这一判定方法，以及这一方法的应用。
2．“ASA”这一判定方法的探究，以及这一方法的应用。
3．“SSS”这一判定方法的探究以及应用。
【学习难点】
1．让同学们了解三角形全等中“边边角”的辨析。
2．由“ASA”推导出“AAS”这一判定方法，并能简单运用。
3．用“SSS”判别方法来进行有关的推理论证。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、学具准备
剪刀、三角板、直尺、长方形的纸片等。
二、导入激学
我们知道两个全等形是一定能完全重合，我们也可以通过看是否重合来判断两个图形是否全等。但对于两个三角形如何不通过叠合的方式来判断是否全等呢？
三、导预疑学
请你利用10分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）只知道一条边相等的两个三角形一定全等吗？只知道一个角相等的两个三角形一定全等吗？
（2）知道一条边及一个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两条边分别相等的两个三角形全等吗？
（3）两个三角形中有三组对应相等的元素（边或角），会有哪几种可能的情况？
在这些情况中，如果有两条边分别相等，再添上一个角对应相等，这两个三角形能全等吗？
如图，在△ABC与△DEF中，BC=3cm，AC=2cm，∠C=60°，EF=3cm，DF=2cm，∠F=60°，△ABC与△DEF能全等吗？
（若同时改变数值，两个三角形还能重合吗？）
由上面的探究活动猜想并归纳：
在两个三角形中，必须具备_________对元素分别相等，才能保证两个三角形全等。
判定方法1：______________________________________________的两个三角形全等。通常简写成_________________。
注意：在△ABC与△DEF中，若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，观察△ABC与△DEF是否全等？为什么？
结论：_______________________________________________________。
2．预学检测。
如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
问题1：△ABC和△ADC全等吗？
问题2：它们已经有了哪些元素对应相等？
问题3：要想说明△ABC和△ADC全等还缺什么条件？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
点拨：公共边是图形隐含的已知条件。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
设计的活动是：____________________。
（角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边。）
问题二：把预学检测中的两个三角形沿AC剪开，得到如图，
（1）你能说出哪几对元素相等吗？
（2）图中两个三角形全等吗？根据是什么？请叙述完整过程。
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
例1．如图，为了测量池塘边上A．B两点之间的距离，小亮设计了一个方案：先在平地上取一个能够直接到达A和B的点C，然后在射线AC上取一点D，使CD=CA，在射线BC上取一点E，使CE=CB，连接DE，那么线段DE的长就等于A、B两点之间的距离，你认为他的方案对吗？为什么？
知识之根探索：
（1）通常在判断两个三角形全等时，先要寻求是否存在__________对对应相等的元素。
（2）在书写两个三角形全等时，要注意___________________。
例2．下列语句正确的是（ ）
A．有一条边相等的两个三角形全等
B．有两条边相等的三角形全等
C．有两边及一角相等的两个三角形全等
D．有两条边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等
知识之根探索：
（1）有一对元素或者两对元素是无法判断两个三角形全等的。要需要________对元素对应相等。
（2）三角形全等务必讲求对应，在“SAS”中，角必须是对应相等两边的夹角。
六、导标达学
（一）目标1。
1．如图，已知∠ABC=∠DBC，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DBC．
（二）目标2。
1．如图，已知：AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？为什么？
2．如图，E、F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD说明：△ABF≌△DCE。
3．已知：如图点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证：DM=CM，∠ADM＝∠BCM。
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD。
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．将所学知识纳入知识体系。
2．本节解决问题的具体方法是怎样的？请总结此类问题的解题思路。
总结寻找对应元素的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角。
3．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
【第二学时】
【学习过程】
一、学具准备
剪刀、三角板、直尺、半圆仪、长方形的纸片等。
二、导入激学
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
三、导预疑学
请你利用8分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
（2）动手做一做。
①在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B=∠B1，BC=B1C1，如果添一个条件∠C=∠C1，这时边BC与∠B、∠C什么关系？边B1C1与∠B1、∠C1呢？
②剪下你画出的三角形，这两个三角形能重合吗？
3．通过上面的实验，你能得到什么结论？与同学交流。
归纳：_______________________________________________________。
2．预学检测。
如图，已知∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，BC=EF，那么ΔABC与ΔDEF全等吗？为什么？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
设计的活动是：____________________。
问题二：
活动1．在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B=∠B1，BC=B1C1，如果再添一个条件∠A=∠A1，这时边BC与∠A什么关系？边B1C1与∠A1呢？
活动2：∠C与∠C1相等吗？为什么？
活动3：你能判定这两个三角形全等吗？为什么？
活动4：由此你能得出什么结论？
归纳：_______________________________________________________________。
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
例1．如图，在△ABD和△CBD中，已知∠A=∠C，再添加一个什么条件，就可以判定△ABD和△CBD全等？
知识之根探索：
（1）通常在判断两个三角形全等时，先要寻求是否存在__________对应相等的元素。在例1中已知哪些条件__________，根据判定方法还缺__________。
（2）在书写两个三角形全等时，要注意____________________________。
六、导标达学
（一）目标1。
1．在△ABC和△A1B1C1中，∠B=∠B1，∠C=∠C1，你能适当添加一个条件，使△ABC≌△A1B1C1吗？你有几种不同的添加方式？说明理由。
2．如图，应填什么就有△AOC≌△BOD，在△AOC和△BOD中，
（1）∠A=∠B（已知）；
（2）________________（已知）；
（3）∠C=∠D（已知）；
∴△AOC≌△BOD（ ）
（二）目标2。
1．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，△ABD和△ABC全等吗？为什么？
2．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．证明线段或角相等，就是证明它们所在的两个三角形全等。
2．本节解决问题的具体方法是怎样的？据此请总结此类问题的解题思路。
3．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
【第三学时】
【学习过程】
一、学具准备
小木条、图钉、直尺等。
二、导入激学
请同学们取出长度分别是5cm、12cm、13cm的木棍，能否组成三角形？小组同学再对比一下，所做出的这些三角形的形状和大小一样吗？这些三角形全等吗？
三、导预疑学
请你利用10分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）用三根木条制作一个三角形的架子，再用四根木条钉一个四边形的架子，分别拉动架子和的边框，你有什么发现？（小组内交流）
（2）如果再取与架子的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架子，这两个三角形的架子形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？（动手操作，实践交流）
（3）通过以上实验，你能得出什么结论？（小组讨论，交流总结）
归纳：______________________________________________________________________。同时，由实验我们又可得知：由于拥有对应相等三边的所有三角形都全等，所以只要三条边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，所以三角形具有_________，而四边形不具备这样的性质，四边形具有______________。三角形稳定性和四边形的不稳定性在生活及生产实际中都很有用处。
2．预学检测。
（1）如图，已知AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C吗？为什么？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
师生设计的活动是：____________________。
问题二：A
B
C
D
O
如图，已知AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C吗？为什么？
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
1．如图，已知AB=DE，BC=EF，AE=CF，
（1）AC与EF相等吗？为什么？
（2）指出△ABC和△EDF中互相平行的边，并说明理由。
知识之根探索：
（1）在问题1中，推理AC与EF相等运用到了线段的加法及_______性质；
（2）在问题2中要想证明平行往往通过判断同位角或内错角相等来判断，这就转化为判定两个三角形的角是否相等，也就是判断这些角所在的两个三角形是否全等。在解决这种问题常用的析方法叫“执果索因”法。
六、导标达学
（一）目标1。
说明：（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？
（二）目标2。
1．如图，已知AB=CB，AD=CD，∠A与∠C相等吗？为什么？
2．如图，已知AB＝CD，AD＝CB，试说明：∠B＝∠D。
3．如图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连结点A和BC中点的支架，试说明：AD⊥BC。
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．要说明两个角相等，可以利用它们所在的两个三角形全等的性质来说明。
2．有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。
3．四边形问题转化为三角形问题来解决。
4．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
【学习目标】
1．掌握“边角边”这一三角形全等的判定方法。
2．经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决一些简单的实际问题。
3．培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值。
4．掌握“ASA”这一三角形全等的判定方法，并能利用这些条件判别三角形是否全等
5．经历“AAS”的探究过程，理解由“ASA”推出“AAS”，并会简单的运用“AAS”判定三角形全等。
6．通过学习进一步培养学生的合作交流能力和问题探究能力。
7．掌握“SSS”这一三角形全等的判定方法，并能灵活运用“SSS”方法来判定三角形全等。
8．了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及生活中的实际应用。
9．培养学生的合作交流能力和发散思维能力。
【学习重点】
1．探究“边角边”这一判定方法，以及这一方法的应用。
2．“ASA”这一判定方法的探究，以及这一方法的应用。
3．“SSS”这一判定方法的探究以及应用。
【学习难点】
1．让同学们了解三角形全等中“边边角”的辨析。
2．由“ASA”推导出“AAS”这一判定方法，并能简单运用。
3．用“SSS”判别方法来进行有关的推理论证。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、学具准备
剪刀、三角板、直尺、长方形的纸片等。
二、导入激学
我们知道两个全等形是一定能完全重合，我们也可以通过看是否重合来判断两个图形是否全等。但对于两个三角形如何不通过叠合的方式来判断是否全等呢？
三、导预疑学
请你利用10分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）只知道一条边相等的两个三角形一定全等吗？只知道一个角相等的两个三角形一定全等吗？
（2）知道一条边及一个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两条边分别相等的两个三角形全等吗？
（3）两个三角形中有三组对应相等的元素（边或角），会有哪几种可能的情况？
在这些情况中，如果有两条边分别相等，再添上一个角对应相等，这两个三角形能全等吗？
如图，在△ABC与△DEF中，BC=3cm，AC=2cm，∠C=60°，EF=3cm，DF=2cm，∠F=60°，△ABC与△DEF能全等吗？
（若同时改变数值，两个三角形还能重合吗？）
由上面的探究活动猜想并归纳：
在两个三角形中，必须具备_________对元素分别相等，才能保证两个三角形全等。
判定方法1：______________________________________________的两个三角形全等。通常简写成_________________。
注意：在△ABC与△DEF中，若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，观察△ABC与△DEF是否全等？为什么？
结论：_______________________________________________________。
2．预学检测。
如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
问题1：△ABC和△ADC全等吗？
问题2：它们已经有了哪些元素对应相等？
问题3：要想说明△ABC和△ADC全等还缺什么条件？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
点拨：公共边是图形隐含的已知条件。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
设计的活动是：____________________。
（角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边。）
问题二：把预学检测中的两个三角形沿AC剪开，得到如图，
（1）你能说出哪几对元素相等吗？
（2）图中两个三角形全等吗？根据是什么？请叙述完整过程。
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
例1．如图，为了测量池塘边上A．B两点之间的距离，小亮设计了一个方案：先在平地上取一个能够直接到达A和B的点C，然后在射线AC上取一点D，使CD=CA，在射线BC上取一点E，使CE=CB，连接DE，那么线段DE的长就等于A、B两点之间的距离，你认为他的方案对吗？为什么？
知识之根探索：
（1）通常在判断两个三角形全等时，先要寻求是否存在__________对对应相等的元素。
（2）在书写两个三角形全等时，要注意___________________。
例2．下列语句正确的是（ ）
A．有一条边相等的两个三角形全等
B．有两条边相等的三角形全等
C．有两边及一角相等的两个三角形全等
D．有两条边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等
知识之根探索：
（1）有一对元素或者两对元素是无法判断两个三角形全等的。要需要________对元素对应相等。
（2）三角形全等务必讲求对应，在“SAS”中，角必须是对应相等两边的夹角。
六、导标达学
（一）目标1。
1．如图，已知∠ABC=∠DBC，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DBC．
（二）目标2。
1．如图，已知：AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？为什么？
2．如图，E、F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD说明：△ABF≌△DCE。
3．已知：如图点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证：DM=CM，∠ADM＝∠BCM。
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD。
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．将所学知识纳入知识体系。
2．本节解决问题的具体方法是怎样的？请总结此类问题的解题思路。
总结寻找对应元素的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角。
3．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
【第二学时】
【学习过程】
一、学具准备
剪刀、三角板、直尺、半圆仪、长方形的纸片等。
二、导入激学
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
三、导预疑学
请你利用8分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
（2）动手做一做。
①在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B=∠B1，BC=B1C1，如果添一个条件∠C=∠C1，这时边BC与∠B、∠C什么关系？边B1C1与∠B1、∠C1呢？
②剪下你画出的三角形，这两个三角形能重合吗？
3．通过上面的实验，你能得到什么结论？与同学交流。
归纳：_______________________________________________________。
2．预学检测。
如图，已知∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，BC=EF，那么ΔABC与ΔDEF全等吗？为什么？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
设计的活动是：____________________。
问题二：
活动1．在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B=∠B1，BC=B1C1，如果再添一个条件∠A=∠A1，这时边BC与∠A什么关系？边B1C1与∠A1呢？
活动2：∠C与∠C1相等吗？为什么？
活动3：你能判定这两个三角形全等吗？为什么？
活动4：由此你能得出什么结论？
归纳：_______________________________________________________________。
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
例1．如图，在△ABD和△CBD中，已知∠A=∠C，再添加一个什么条件，就可以判定△ABD和△CBD全等？
知识之根探索：
（1）通常在判断两个三角形全等时，先要寻求是否存在__________对应相等的元素。在例1中已知哪些条件__________，根据判定方法还缺__________。
（2）在书写两个三角形全等时，要注意____________________________。
六、导标达学
（一）目标1。
1．在△ABC和△A1B1C1中，∠B=∠B1，∠C=∠C1，你能适当添加一个条件，使△ABC≌△A1B1C1吗？你有几种不同的添加方式？说明理由。
2．如图，应填什么就有△AOC≌△BOD，在△AOC和△BOD中，
（1）∠A=∠B（已知）；
（2）________________（已知）；
（3）∠C=∠D（已知）；
∴△AOC≌△BOD（ ）
（二）目标2。
1．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，△ABD和△ABC全等吗？为什么？
2．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．证明线段或角相等，就是证明它们所在的两个三角形全等。
2．本节解决问题的具体方法是怎样的？据此请总结此类问题的解题思路。
3．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
【第三学时】
【学习过程】
一、学具准备
小木条、图钉、直尺等。
二、导入激学
请同学们取出长度分别是5cm、12cm、13cm的木棍，能否组成三角形？小组同学再对比一下，所做出的这些三角形的形状和大小一样吗？这些三角形全等吗？
三、导预疑学
请你利用10分钟，阅读课本相关内容，自己按要求完成下列任务，讨论后找出疑难问题。
1．预学核心问题。
（1）用三根木条制作一个三角形的架子，再用四根木条钉一个四边形的架子，分别拉动架子和的边框，你有什么发现？（小组内交流）
（2）如果再取与架子的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架子，这两个三角形的架子形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？（动手操作，实践交流）
（3）通过以上实验，你能得出什么结论？（小组讨论，交流总结）
归纳：______________________________________________________________________。同时，由实验我们又可得知：由于拥有对应相等三边的所有三角形都全等，所以只要三条边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，所以三角形具有_________，而四边形不具备这样的性质，四边形具有______________。三角形稳定性和四边形的不稳定性在生活及生产实际中都很有用处。
2．预学检测。
（1）如图，已知AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C吗？为什么？
3．预学评价质疑。
通过预学，你还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。
四、导问互学
问题一：从小组提出的问题中概括出来的核心问题是：____________________。
师生设计的活动是：____________________。
问题二：A
B
C
D
O
如图，已知AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C吗？为什么？
解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？
五、导根典学
1．如图，已知AB=DE，BC=EF，AE=CF，
（1）AC与EF相等吗？为什么？
（2）指出△ABC和△EDF中互相平行的边，并说明理由。
知识之根探索：
（1）在问题1中，推理AC与EF相等运用到了线段的加法及_______性质；
（2）在问题2中要想证明平行往往通过判断同位角或内错角相等来判断，这就转化为判定两个三角形的角是否相等，也就是判断这些角所在的两个三角形是否全等。在解决这种问题常用的析方法叫“执果索因”法。
六、导标达学
（一）目标1。
说明：（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？
（二）目标2。
1．如图，已知AB=CB，AD=CD，∠A与∠C相等吗？为什么？
2．如图，已知AB＝CD，AD＝CB，试说明：∠B＝∠D。
3．如图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连结点A和BC中点的支架，试说明：AD⊥BC。
反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。
七、导法慧学
1．要说明两个角相等，可以利用它们所在的两个三角形全等的性质来说明。
2．有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。
3．四边形问题转化为三角形问题来解决。
4．还有没有更好的解法？你还有疑问吗？
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