05 第62讲　随机事件的相互独立性与条件概率 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立.
(2)判断方法:
①根据定义;
②根据实际意义;
③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件B,事件A与事件B,事件A 与事件B也相互独立.
(3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不可以推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时, P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立.
2.条件概率
(1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)= ;
②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= ;
③设B和B互为 ,则P(B|A)=1-P(B|A).
(3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .
②特例: 当P(A)>0时,当且仅当事件A与B 时,有P(B|A)=P(B).
常用结论
1.乘法公式的推广:
设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.
2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知事件A与B相互独立,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,则P(B)= .
2.[教材改编] 甲、乙两人独立地破解同一个谜题,他们破解出该谜题的概率分别为12,23,则该谜题被破解的概率为 .
3.[教材改编] 交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查,发现该地区上班时间拥堵的概率为415,下班时间拥堵的概率为215,上、下班时间都拥堵的概率为110.设事件A为“上班时间拥堵”,事件B为“下班时间拥堵”,则P(B|A)= ,P(A|B)= .
题组二 常错题
◆索引:事件的相互独立性理解不准确;条件概率的含义理解不准确;乘法公式应用不准确.
4.公司要求甲、乙、丙3个人在规定的时间内完成各自的任务,已知甲、乙、丙在规定的时间内完成各自的任务的概率分别为25,23,14,则3个人中至少有2个人在规定的时间内完成各自的任务的概率为 .
5.某校体育活动期间,有足球、篮球、乒乓球三项运动供学生选择.小明、小红从这三项运动中各随机选择一项,且他们的选择情况相互独立,在小明选择篮球的前提下,两人的选择不同的概率为 .
6.一张储蓄卡的密码共6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,他任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为 .
相互独立事件的概率
例1 (多选题)[2023·石家庄模拟] 甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球,甲盒子中小球的编号依次为1,2,3,4,乙盒子中小球的编号依次为5,6,7,8,同时从两个盒子中各取出1个小球,记下小球上的数字.记事件A为“取出的数字之和为偶数”,事件B为“取出的数字之和等于9”,事件C为“取出的数字之和大于9”,则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件
B.B与C是对立事件
C.A与C不是相互独立事件
D.A与B是相互独立事件
例2 [2023·黑龙江牡丹江一中模拟] 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛,比赛分三轮,每轮两场比赛,具体赛程如下表:
规定:每场比赛获胜的球队记3分,输的球队记0分,平局两队各记1分,三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名,排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当,彼此间胜、负、平的概率均为13,丁的水平较弱,面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16,12,13,每场比赛结果相互独立.
(1)求丁的总分为7分的概率,判断此时丁能否出线,并说明理由;
(2)若第一轮比赛结束,甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3,0,3,0,求丁以6分的成绩出线的概率.


总结反思
1.两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响.
(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定两个事件是相互独立的;
(2)确定两个事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0