2024年北京市东城区数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2024年北京市东城区数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．若关于的方程有增根，则
D．若关于的不等式恰有2个正整数解，则的最大值是4
2、（4分）如图，正方形ABCD，点E、F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG的长为（ ）
A．B．5C．D．
3、（4分）下列事件中,属于随机事件的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．矩形的两条对角线相等
D．菱形的每一条对角线平分一组对角
4、（4分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
A．y=3（x-2）2+1 B．y=3（x+2）2-1 C．y=3（x-2）2-1 D．y=3（x+2）2+1
5、（4分）已知一次函数的图象经过点A，且函数值y随x的增大而减小，则点A的坐标可能是
A．B．C．D．
6、（4分）若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）在中山市举行“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学捐款金额统计如下：
则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( )
A．20元，30元B．20元，35元C．100元，35元D．100元，30元
8、（4分）若，则等于（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________．
10、（4分）若的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为______.
11、（4分）如果顺次连接四边形的四边中点得到的新四边形是菱形，则与的数量关系是___．
12、（4分）若直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与y轴相交于点（0，﹣3），则直线的函数表达式是_________．
13、（4分）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某汽车租凭公司要购买轿车和面包车共辆，其中轿车最少要购买辆，轿车每辆万元，购头面包车每辆万元，公司可投入的购车资金不超过万元．
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车日租金为元，每辆面包车日租金为元，假设新购买的这辆汽车每日都可以全部租出，公司希望辆汽车的日租金最高，那么应该选择以上的哪种购买方案？且日租金最高为多少元？
15、（8分）小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷.如图1是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明（包含设计费与印刷费），乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图2所示.
（1）分别写出甲乙两公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式.
（2）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由.
16、（8分）正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连结．
（1）已知点在线段上.
①若，求度数；
②求证：.
（2）已知正方形边长为，且，请直接写出线段的长．
17、（10分）如图，ABCD中，的角平分线交AD于点E，的角平分线交 于点，，，=50°.
（1）求的度数；
（2）求ABCD的周长.
18、（10分）如图，在中，，，DF是的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG．
求证：≌．
若．
求CG的长．
在的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．
在内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出，，的面积之比．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
20、（4分）如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____．
21、（4分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
22、（4分）如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角__________．
23、（4分）如图，直线y＝x+1与坐标轴相交于A、B两点，在其图象上取一点A1，以O、A1为顶点作第一个等边三角形OA1B1，再在直线上取一点A2，以A2、B1为顶点作第二个等边三角形A2B1B2，…，一直这样作下去，则第10个等边三角形的边长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图所示．在Rt△ABC中，AB＝CB，ED⊥CB，垂足为D点，且∠CED＝60°，∠EAB＝30°，AE＝2，求CB的长．
25、（10分）计算：
（1）2﹣6+3；
（2）（1+）（﹣）+（﹣）×．
26、（12分）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据多边形内角和定理，全等三角形的判定，分式方程的解，不等式的正整数解
分别进行判断即可解答.
【详解】
五边形的内角和，所以，A错误；
B选项所述相等的两边中，可能出现一个直角三角形的直角边和另一个三角形
的斜边相等的情形，这种情况下两三角形不全等，所以，B错误；
选项C中的方程的增根只能是，且应是整式方程的根，由此可得，.故C错误；
故选D.
此题考查多边形内角和定理，全等三角形的判定，分式方程的解，不等式的正整数解，解题关键在于掌握各性质定理.
2、C
【解析】
如图，连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，列出方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，CF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∵S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，
∴•5•BG=25-•5•1-•5•2-•3•4，
∴BG=，
故选C．
本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3、B
【解析】
根据平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质结合随机事件与必然事件的概念逐一进行分析判断即可.
【详解】
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是必然事件，故不符合题意；
B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，是随机事件，故符合题意；
C. 矩形的两条对角线相等，正确，是必然事件，故不符合题意；
D. 菱形的每一条对角线平分一组对角，正确，是必然事件，故不符合题意，
故选B.
本题考查了随机事件与必然事件，涉及了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质等，熟练掌握相关的知识是解题的关键.
4、D
【解析】
试题分析：二次函数的平移规律：上加下减，左加右减.
把二次函数的图象向左平移2个单位，得到
再向上平移1个单位，得到
故选D.
考点：二次函数的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的平移规律，即可完成.
5、B
【解析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：一次函数的函数值y随x的增大而减小，
．
A、当，时，，解得，此点不符合题意，故本选项错误；
B、当，时，，解得，此点符合题意，故本选项正确；
C、当，时，，解得，此点不符合题意，故本选项错误；
D、当，时，，解得，此点不符合题意，故本选项错误．
故选：B．
考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
6、B
【解析】
首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围．
【详解】
解：，
解①得x＜m，
解②得x≥1．
则不等式组的解集是1≤x＜m．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是1，4，5，2．
∴2＜m≤3．
故选：B．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7、A
【解析】
观察图表可得，捐款金额为20元的学生数最多为20人，所以众数为20元；已知共有50位同学捐款，可得第25位同学和26位同学捐款数的平均数为中位数，即中位数为=30元；故选A．
8、A
【解析】
由可得利用进行化简即可.
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：A
本题考查了二次根式的性质，正确运用公式进行化简是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、m＜
【解析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△＝(－3)2−4m＞0，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝(－3)2−4m＞0，
∴m＜，
故答案为：m＜．
本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，此题难度不大．
10、1
【解析】
根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质计算即可．
【详解】
解：，，
，
这个三角形是直角三角形，斜边长为10，
最长边上的中线长为1，
故答案为：1．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11、
【解析】
先证明EFGH是平行四边形，再根据菱形的性质求解即可.
【详解】
如图1所示，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HE∥AC，HE=AC，GF∥AC，GF=AC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四边形EFGH是平行四边形． 连接BD，如图2所示：
若四边形EFGH成为菱形，
则EF=HE，
由（1）得：HE=AC，
同理：EF=BD，
∴AC=BD；
故答案为：AC=BD．
本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
12、y＝2x﹣1．
【解析】
根据两条直线平行问题得到k＝2，然后把点（0，﹣1）代入y＝2x+b可求出b的值，从而可确定所求直线解析式．
【详解】
∵直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，
∴k＝2，
把点（0，﹣1）代入y＝2x+b得
b＝﹣1，
∴所求直线解析式为y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
考查了待定系数法求函数解析式以及两条直线相交或平行问题，解题时注意：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2．
13、2.4或
【解析】
分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）三种，理由见解析；（2）购买5辆轿车，5辆面包车时，日租金最高为1550元．
【解析】
（1）本题首先根据题中的不等关系轿车最少要购买3辆及公司可投入的购车资金不超过55万元，列出不等式组，进而求出x的取值范围，即可确定符合公司要求的购买方案；
（2）本题先由题意求出日租金总额和轿车数量之间的函数关系，再根据一次函数的增减性求出使日租金最大的方案，进而得出具体的日租金．
【详解】
解：（1）设购轿车x辆，
由已知得x≥3且7x+4（10-x）≤55，
∴解得3≤x≤5，
又因为x为正整数，
∴x=3、4、5，
∴符合题意的购买方案有三种；
（2）可设日租金总额为W，
则W=200x+110（10-x）=90x+1．
∵90＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x取5时，W最大=1550元，
∴可知购买5辆轿车，5辆面包车时，日租金最高为1550元．
本题主要考查一元一次不等式组应用及已一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系或不等关系．
15、 ( 1 )甲的解析式为：y=乙的解析式为：;（2）当时，选择乙公司比较合算，当时，选择两个公司一样合算，当时，选择甲公司比较合算
【解析】
（1）根据甲公司的方案分别求出不超过200张和超过200张的不等式即可得出甲的解析式，设乙的解析式为y=kx，根据图像，把（200，1600）代入即可得出乙的解析式；（2）先求出收费相同时的张数，根据解析式分别画出图象，根据图象即可得出结论.
【详解】
（1）当0≤x≤200时，甲公司的收费为y=5x+1000，
当x>200时，甲公司的收费为y=1000+5×200+3（x-200）=3x+1400，
∴甲公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=,
根据图像设乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=kx，
根据图像可知函数图像经过点（200，1600），
∴1600=200k，
解得k=8，
∴乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=8x.
（2）当0≤x≤200时，5x+1000=8x，解得x=，（舍去）
当x>200时，3x+1400=8x，解得x=280，
∴当印刷数量为280张时，甲、乙公司的收费相同，
由（1）得到的关系式可画函数图象如下：
根据图像可知，当0≤x≤280时，选择乙公司比较合算，当时，选择两个公司一样合算，当时，选择甲公司比较合算
本题考查一次函数图象和应用，根据求出的关系式画出函数图象，并从图象上获取信息是解题关键.
16、（1）①；②见解析；（2）的长为或
【解析】
(1) ①根据正方形性质，求出；根据等腰三角形性质，求出的度数，即可求得.
②根据正方形对称性得到；根据四边形内角和证出；利用等角对等边即可证出.
（2）分情况讨论：①当点F在线段BC上时; ②当点F在线段CB延长线上时;根据正方形的对称性，证出；再根据等腰三角形的性质，求出线段NC，BN；利用勾股定理，求出BE、BD，进而求出DE.
【详解】
解：（1）①为正方形，
．
又，
．
②证明：正方形关于对称，
，
．

又，

又
，
，
．
（2）①当点F在线段BC上时，过E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，如图1所示：

∴N是CF的中点，
∴BF=1，∴CF=1

又∵四边形CDMN是矩形
∴为等腰直角三角形

∴
②当点F在线段CB延长线上时，如图2所示：
过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M
∵正方形ABCD关于BD对称


又∵


又
∴FC=3
∴
∴
∴ ,
综上所述，的长为或
本题考查了三角形全等、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理等知识点；难点在（2），注意分情况讨论；本题难度较大，属于中考压轴题.
17、（1）；（2）1．
【解析】
（1）根据平行四边形的对角相等得出∠ADC=∠ABC=50°，再根据角平分线定义即可求出∠FDC的度数；
（2）根据平行四边形的对边平行得出AE∥BC，利用平行线的性质以及角平分线定义得出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得出AE=AB=5，那么AD=AE+DE=8，进而得到▱ABCD的周长．
【详解】
解：（1）∵▱ABCD中，∠ABC=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°，
∵DF平分∠ADC，
（2）四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵DE=3，
∴AD=AE+DE=8，
∴▱ABCD的周长=2（AB+AD）=2（5+8）=1．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，难度适中．
18、（1）证明见解析；（2）①1；②或或．（3）：3：1．
【解析】
根据矩形的性质、翻折不变性利用HL即可证明；
想办法证明即可解决问题；
共三种情形画出图形，分别解决问题即可；
如图5中，连接OD、OE、OB、首先证明四边形DOHC是矩形，求出OD、OH、OE即可解决问题.
【详解】
如图1中，
四边形DEFG是矩形，
，，
由翻折不变性可知：，，
，，
，
≌，
如图1中，≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图2中，当点P与A重合，点Q与E重合时，四边形PQGC是平行四边形，此时
如图3中，当四边形QPGC是平行四边形时，．
如图4中，当四边形PQCG是平行四边形时，作于M，CE交DF于N．
易知，，
如图中，当四边形PQCG是平行四边形时，，
综上所述，满足条件的平行四边形的面积为或或．
如图5中，连接OD、OE、OB、OC．
四边形AOHD是平行四边形，
，，
四边形CDOH是平行四边形，
，
四边形CDOH是矩形，
，
≌，
，
，，
，，，，
：：：：：3：1．
本题考查四边形综合题、解直角三角形、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质、等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，再利用连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的长度
∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，
∴BC=AB=3，
∴CE= == ，
故答案为.
本题考查利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题关键．
20、1
【解析】
将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k．
【详解】
解：设A（1，m）．
把A （1，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣1+6＝4，
把A （1，4）代入y＝kx得4＝1k，解得k＝1．
故答案是：1．
本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
21、1．
【解析】
∵，
∴=0，b－2=0，解得a=3，b=2．
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长=．
22、36°
【解析】
由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱ABCD，得出BC=BC，由等腰三角形的性质得出∠BCC=∠C，由旋转角∠ABA=∠CBC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱ ABCD，
∴BC=BC，
∴∠BCC=∠C，
∵∠A=72°，
∴∠C=∠C=72°，
∴∠BCC=∠C，
∴∠CBC=180°−2×72°=36°，
∴∠ABA=36°，
故答案为36.
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握其性质得出∠BCC=∠C.
23、
【解析】
作A1D⊥x轴于D，A2E⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得OD＝B1D，B1E＝B2E，∠OA1D＝30°，∠B1A2E＝30°，设OD＝t，B1E＝a，则A1D＝t，A2E＝a，则A1点坐标为（t， t），把A1的坐标代入y＝x+1，可解得t＝，于是得到B1点的坐标为（，0），OB1＝，则A2点坐标为（+a， a），然后把A2的坐标代入y＝x+1可解得a＝，B1B2＝2，同理得到B2B3＝4，…，按照此规律得到B9B10＝29•．
【详解】
解：作A1D⊥x轴于D，A2E⊥x轴于E，如图，
∵△OA1B1、△B1A2B2均为等边三角形，
∴OD＝B1D，B1E＝B2E，∠OA1D＝30°，∠B1A2E＝30°，
设OD＝t，B1E＝a，则A1D＝t，A2E＝a，
∴A1点坐标为（t， t），
把A1（t， t）代入y＝x+1，得t＝t+1，解得t＝，
∴OB1＝，
∴A2点坐标为（+a， a），
把A2（+a， a）代入y＝x+1，得a＝（+a）+1，解得a＝，
∴B1B2＝2，
同理得到B2B3＝22•，
…，
按照此规律得到B9B10＝29•．
故选答案为29•．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了等边三角形的性质．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、．
【解析】
直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出DC的长，进而得出BC的长．
【详解】
过E点作EF⊥AB，垂足为F．
∵∠EAB＝30°，AE＝2，∴EF＝BD＝1．
又∵∠CED＝60°，∴∠ECD＝30°．
∵AB＝CB，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠EAC＝∠ECA＝15°，∴AE＝CE＝2．
在Rt△CDE中，∵∠ECD＝30°，∴ED＝1，CD，∴CB＝CD+BD＝1．
本题考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25、（1）14;（2）
【解析】
（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）首先利用二次根式乘法运算法则化简，进而计算得出答案．
【详解】
（1）原式=4-6×+12
=4-2+12
=14；
（2）原式=-+-3+6-3
=．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
26、△ABC和△DEF相似，理由详见解析
【解析】
首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．
【详解】
△ABC和△DEF相似，理由如下：
由勾股定理，得：AC＝，AB＝2，BC＝5，
DF＝2，DE＝4， EF＝2，
，
所以，△ABC∽△DEF.
本题考查相似三角形的判定，找准对应边成比例即可.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
金额（元）
20
30
35
50
100
学生数（人）
20
10
5
10
5