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四川省达州铁路中学2023-2024学年八年级下学期期中检测数学试卷
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这是一份四川省达州铁路中学2023-2024学年八年级下学期期中检测数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列手机中的图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．a2＜b2C．a33．在平面直角坐标系中，将点P-2,1向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P'的坐标是（ ）
A．2,4B．-6,4C．1,-3D．-5,5
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．4x2+y2=2x+y2x-y B．a4-y=4a-ay2
C．x2+3x-1=xx+3-1 D．-4x+12xy-9y2=-2x-3y2
5．下图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A．x>-1B．-16．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足m-3+n-52=0，那么它的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．11或15
7．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为90°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠E的度数为（ ）
A．46°B．56°C．45°D．51°
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1=k1x+5与直线l2：y2=k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k2x
x>-2B．x<-2C．x<3D．x>3
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若BC=52，S△PB'C=4.5，则BB'=（ ）
A．2B．22C．32D．42
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．因式分解：4x2-16 = ．
12．如果不等式a-1x>5的解集是x<5a-1，那么a的取值范围是 ．
13．如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF= ．
如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝2，△ABD的周长为11，则△ABC的周长为 ．
15．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
三、解答题（共90分）
16． （1）（4分）解不等式：10+3x+2≤x-2
（2）（6分）解不等式组：4+3x<13x+23-x≤2
17．（5分）因式分解：a3+ab2﹣2a2b
18．（9分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．请你画出以下图形：
（1）将△ABC向下平移4个单位，得到的△A′B′C′；
（2）将△A′B′C′绕点C'顺时针旋转90°，得到的△A″B″C′；
（3）以点AA′A″为顶点的三角形的面积为 ．
（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
（9分）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
(3)当为何值时代数式有最大值？求出这个最大值．
21. (9分）计算：
（1）1﹣= ；
（2）（1﹣）（1﹣）= ；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；
（4）请你利用你找到的简便方法计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
22．（10分）【初步探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A1，0，点B4，1，点C在第四象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 ．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2，0，点C是y轴上的动点，线段CA绕若点C按逆时针方向旋转至线段CB，CA=CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．
23．（8分）达州铁路中学组织七年级、八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
24．（11分）如图1，直线AB：y=2x+2与直线AC交于y轴上一点A，点C在x轴正半轴上，OC=32．
(1)求直线AC的函数表达式；
(2)如图2，将直线AC绕点C逆时针旋转与射线AB交于点D，若△ACD面积是154，求点D的坐标；
(3)点E是直线AC上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接BE，EF，FB，当△BEF是以EF为底边的等腰直角三角形时，直接写出F点的坐标．
25.（11分）请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP'．
(1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC= °，等边△ABC的边长为 ．
(2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= 5，BP= 2，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
（3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，∠A=75°，AB=22km，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是__ ____km．
A型号客车
B型号客车
载客量（人辆）
40
55
租金（元/辆）
900
1200
参考答案：
一、选择：1-5 BBBDC 6-10 CBCAB
二、填空：11．4（x+2）（x-2） 12. a<1 13． 10 14． 15 15. 2
三、解答题16．解：（1）10+3x+2≤x-2，
去括号得：10+3x+6≤x-2，
移项得：3x-x≤-2-10-6，
合并同类项得：2x≤-18，
系数化为1得：x≤-9；
（2）4+3x<13①x+23-x≤2②
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x>-2，
∴不等式组的解集为-2≤x<3．
17．aa-b2
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】a3﹣2a2b+ab2
=a(a2-2ab+b2)
=a(a-b)2．
18.解：（1）如图所示 （2）如图所示
（3）8
19.（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
（1）(a-4)(a-2)
（2）解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴a2-b2c2=a2-b2a2+b2，
∴a2-b2a2+b2-c2=0
∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0，
解得a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
(3)-x2-4x+8
=-x2+4x-8
=-x2+4x+4-12
=-(x+2)2+12
∴x+2=0，解得x=-2，原式有最大值=12
21.解：（1） （2） （3）
（4）请你利用你找到的简便方法计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=××××××…××××
=．
22．（1）结论：△AED是等腰直角三角形．
理由：∵在△ABE和△ECD中，
AB=CE∠B=∠C=90°BE=CD，
∴△ABE≌△ECDSAS，
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵在Rt△EDC中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
2，-3或5，-2或3，-1
（3）25．
23.（1）解：设带队老师有x人，则学生有210x+35人，
由题意可得：x+210x+35=700，
解得：x=30，
∴210x+35=2×10×30+35=670，
答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；
（2）解：设租用A种型号的客车a辆，则租用B种型号的客车16-a辆，总费用为w元，
由题意可得：w=900a+120016-a=-300a+19200，
∵w=-300<0，
∴w随a的增大而减小，
∵每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，
∴-300a+19200≤1620040a+5516-a≥700，
解得：10≤a≤12，
∵a为整数，
∴a=10或11或12，即共有三种租车方案，
∴当a=12时，w取得最小值，此时w=15600，
答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元．
24．（1）解：∵直线AB：y=2x+2分别与x轴，y轴交于B、A两点，
∴在y=2x+2中，当x=0时，y=2，
∴A点坐标为0，2，
∵点C在x轴正半轴上，OC=32，
∴C32，0，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴32k+b=0b=2，
∴k=-43b=2，
∴直线AC的函数表达式为y=-43x+2；
（2）解：∵直线AB：y=2x+2分别与x轴，y轴交于B、A两点，
∴在y=2x+2中，当y=0时，2x+2=0，
解得x=-1，
∴B-1，0，
∴OB=1，
∴BC=1+32=52，
∵A0，2，
∴OA=2，
∴S△ABC=12BC⋅AO=12×52×2=52，
由题意知，点D在x轴下方，
∵S△ACD=S△ABC+S△BCD，
∴52+12×52×yD=154，
∴yD=-1，
把y=-1代入y=2x+2，
∴2x+2=-1，
解得x=-32，
∴D-32，-1；
点F的坐标为73，0或-133，0或0，-74或0，134．
（1）150, 7
（2）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP'A，则△BPC≌△BP'A．
∴AP'=PC=1，BP=BP'=2；
连接PP'，在Rt△BP'P中，
∵BP=BP'=2，∠PBP'=90°，
∴PP'=2，∠BP'P=45°；
在△AP'P中，AP'=1，PP'=2，AP=5，
∵12+22=52，即AP'2+PP'2=AP2；
∴△AP'P是直角三角形，即∠AP'P=90°，
∴∠AP'B=135°，
∴∠BPC=∠AP'B=135°．
过点B作BE⊥AP'，交AP'的延长线于点E；则△BEP'是等腰直角三角形，
∴∠EP'B=45°，
∴EP'=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；
∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
（3）210
1．下列手机中的图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．a2＜b2C．a3
A．2,4B．-6,4C．1,-3D．-5,5
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．4x2+y2=2x+y2x-y B．a4-y=4a-ay2
C．x2+3x-1=xx+3-1 D．-4x+12xy-9y2=-2x-3y2
5．下图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A．x>-1B．-1
A．11B．13C．11或13D．11或15
7．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为90°，A，D，E三点在同一直线上时，则∠E的度数为（ ）
A．46°B．56°C．45°D．51°
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1=k1x+5与直线l2：y2=k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k2x
x>-2B．x<-2C．x<3D．x>3
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若BC=52，S△PB'C=4.5，则BB'=（ ）
A．2B．22C．32D．42
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．因式分解：4x2-16 = ．
12．如果不等式a-1x>5的解集是x<5a-1，那么a的取值范围是 ．
13．如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF= ．
如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝2，△ABD的周长为11，则△ABC的周长为 ．
15．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
三、解答题（共90分）
16． （1）（4分）解不等式：10+3x+2≤x-2
（2）（6分）解不等式组：4+3x<13x+23-x≤2
17．（5分）因式分解：a3+ab2﹣2a2b
18．（9分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．请你画出以下图形：
（1）将△ABC向下平移4个单位，得到的△A′B′C′；
（2）将△A′B′C′绕点C'顺时针旋转90°，得到的△A″B″C′；
（3）以点AA′A″为顶点的三角形的面积为 ．
（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
（9分）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
(3)当为何值时代数式有最大值？求出这个最大值．
21. (9分）计算：
（1）1﹣= ；
（2）（1﹣）（1﹣）= ；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；
（4）请你利用你找到的简便方法计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
22．（10分）【初步探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A1，0，点B4，1，点C在第四象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 ．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2，0，点C是y轴上的动点，线段CA绕若点C按逆时针方向旋转至线段CB，CA=CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．
23．（8分）达州铁路中学组织七年级、八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
24．（11分）如图1，直线AB：y=2x+2与直线AC交于y轴上一点A，点C在x轴正半轴上，OC=32．
(1)求直线AC的函数表达式；
(2)如图2，将直线AC绕点C逆时针旋转与射线AB交于点D，若△ACD面积是154，求点D的坐标；
(3)点E是直线AC上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接BE，EF，FB，当△BEF是以EF为底边的等腰直角三角形时，直接写出F点的坐标．
25.（11分）请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP'．
(1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC= °，等边△ABC的边长为 ．
(2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= 5，BP= 2，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
（3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，∠A=75°，AB=22km，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是__ ____km．
A型号客车
B型号客车
载客量（人辆）
40
55
租金（元/辆）
900
1200
参考答案：
一、选择：1-5 BBBDC 6-10 CBCAB
二、填空：11．4（x+2）（x-2） 12. a<1 13． 10 14． 15 15. 2
三、解答题16．解：（1）10+3x+2≤x-2，
去括号得：10+3x+6≤x-2，
移项得：3x-x≤-2-10-6，
合并同类项得：2x≤-18，
系数化为1得：x≤-9；
（2）4+3x<13①x+23-x≤2②
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x>-2，
∴不等式组的解集为-2≤x<3．
17．aa-b2
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】a3﹣2a2b+ab2
=a(a2-2ab+b2)
=a(a-b)2．
18.解：（1）如图所示 （2）如图所示
（3）8
19.（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
（1）(a-4)(a-2)
（2）解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴a2-b2c2=a2-b2a2+b2，
∴a2-b2a2+b2-c2=0
∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0，
解得a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
(3)-x2-4x+8
=-x2+4x-8
=-x2+4x+4-12
=-(x+2)2+12
∴x+2=0，解得x=-2，原式有最大值=12
21.解：（1） （2） （3）
（4）请你利用你找到的简便方法计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=××××××…××××
=．
22．（1）结论：△AED是等腰直角三角形．
理由：∵在△ABE和△ECD中，
AB=CE∠B=∠C=90°BE=CD，
∴△ABE≌△ECDSAS，
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵在Rt△EDC中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
2，-3或5，-2或3，-1
（3）25．
23.（1）解：设带队老师有x人，则学生有210x+35人，
由题意可得：x+210x+35=700，
解得：x=30，
∴210x+35=2×10×30+35=670，
答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；
（2）解：设租用A种型号的客车a辆，则租用B种型号的客车16-a辆，总费用为w元，
由题意可得：w=900a+120016-a=-300a+19200，
∵w=-300<0，
∴w随a的增大而减小，
∵每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，
∴-300a+19200≤1620040a+5516-a≥700，
解得：10≤a≤12，
∵a为整数，
∴a=10或11或12，即共有三种租车方案，
∴当a=12时，w取得最小值，此时w=15600，
答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元．
24．（1）解：∵直线AB：y=2x+2分别与x轴，y轴交于B、A两点，
∴在y=2x+2中，当x=0时，y=2，
∴A点坐标为0，2，
∵点C在x轴正半轴上，OC=32，
∴C32，0，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴32k+b=0b=2，
∴k=-43b=2，
∴直线AC的函数表达式为y=-43x+2；
（2）解：∵直线AB：y=2x+2分别与x轴，y轴交于B、A两点，
∴在y=2x+2中，当y=0时，2x+2=0，
解得x=-1，
∴B-1，0，
∴OB=1，
∴BC=1+32=52，
∵A0，2，
∴OA=2，
∴S△ABC=12BC⋅AO=12×52×2=52，
由题意知，点D在x轴下方，
∵S△ACD=S△ABC+S△BCD，
∴52+12×52×yD=154，
∴yD=-1，
把y=-1代入y=2x+2，
∴2x+2=-1，
解得x=-32，
∴D-32，-1；
点F的坐标为73，0或-133，0或0，-74或0，134．
（1）150, 7
（2）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP'A，则△BPC≌△BP'A．
∴AP'=PC=1，BP=BP'=2；
连接PP'，在Rt△BP'P中，
∵BP=BP'=2，∠PBP'=90°，
∴PP'=2，∠BP'P=45°；
在△AP'P中，AP'=1，PP'=2，AP=5，
∵12+22=52，即AP'2+PP'2=AP2；
∴△AP'P是直角三角形，即∠AP'P=90°，
∴∠AP'B=135°，
∴∠BPC=∠AP'B=135°．
过点B作BE⊥AP'，交AP'的延长线于点E；则△BEP'是等腰直角三角形，
∴∠EP'B=45°，
∴EP'=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；
∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
（3）210
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