四川省达州市渠县中学2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

2022-2023学年四川省达州市渠县中学八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4.下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，使点落在的延长线上的点处，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如果不等式的解集是，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在中，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线交于点，交于点，连接，下列结论不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D. ≌

10.如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论；；；其中不正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是          ．

12.已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值______ ．

13.若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______ ．

14.在中，，，则边上的中线的取值范围是______．

15.如图，在平面直角坐标系中，点坐标，有一长度为的线段在直线的图象上滑动，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解答下列问题．
分解因式：；
；
解不等式组，并将解集表示在数轴上．

17.本小题分
已知，，求的值．

18.本小题分

如图，已知是的角平分线，于点，于点，．
求证：是等腰三角形；
若，，求的长，

19.本小题分

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
将向下平移个单位长度得到，画出；画出绕点逆时针旋转后得到的．

20.本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接．
求，的值和两直线交点的坐标；
求的面积；
根据图象直接写出时自变量的取值范围．

21.本小题分
在中，，将在平面内绕点顺时针旋转旋转角不超过，得到，其中点的对应点为点，连接，．
如图，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明；
如图，若点在边上，，，求的长．

22.本小题分
若关于、的二元一次方程组的解满足，且，求的取值范围．

23.本小题分
在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有、两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元．
设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的式子．
如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排、两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
在中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？

24.本小题分
阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法
原式．
试用“分组分解法”因式分解：．
已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立，
当时，求的值；
当时，用含的代数式分别表示，，．

25.本小题分
【模型建立】如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌．
【模型应用】如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是直线上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】 

【解析】解：、，，故此选项不符合题意；
B、，，故此选项不符合题意；
C、不等式两边都乘以，不确定是什么数，所以不等号的方向不确定是否改变，故此选项不符合题意；
D、，，，故此选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐一分析即可．
本题考查了不等式的性质，应用不等式的性质时应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．

3.【答案】 

【解析】解：点在平面直角坐标系的第四象限内，
，
解得：，
则的范围在数轴上可表示为：

故选：．
根据第四象限点的特征确定出的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知，，，
在中，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
本题考查了旋转的性质．关键是根据旋转时，对应边相等得出等腰三角形，对应角相等将角进行转化．

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，两图象的交点坐标是，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故选：．
根据图象得出两图象的交点坐标是和当时，，推出时，，即可得到答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：不等式的解集是，
，
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

是的角平分线，，
，
在和中，
，
≌，
，设面积为，
同理≌，
，
即，
解得．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为，然后根据列出方程求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
与关于对称，
≌，
故A，，D正确，
故选：．
由作图可知，垂直平分线段，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．

10.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，正确；
同理得：，
，
，正确；
，
由知：，，
中，，
，
，
正确；
当时，，
，
，
，则与不相等，
不正确；
所以本题不正确的有，
故选：．
根据三角形的内角和定理判定，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；
根据，，及线段的和与差可得的长；
根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；
要想得到，必有，而，可知，从而得．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

11.【答案】或 

【解析】解：分两种情况讨论：
若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：．
这个等腰三角形的顶角的度数为：或．
故答案为：或．
由等腰三角形中有一个角等于，可分别从若为顶角与若为底角去分析求解，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．

12.【答案】 

【解析】解：设另一个因式为，
关于的二次三项式有一个因式为，
，
，
即．
故答案为：．
设另一个因式为，根据因式分解得出，，再求出答案即可．
本题考查了因式分解的意义和方法，能求出是解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组只有个整数解，
，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
延长到，使，连接，证≌，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．

15.【答案】 

【解析】解：根据垂线段最短，当时最小，当平分时，的值最小，此时的值最小，
直线，
，，
，
，
点坐标，
，
，
，
，
，
且平分，
，
的最小值为：．
故答案为：．
根据垂线段最短可知当垂直平分时，的值最小，解直角三角形即可求得的最小值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线，明确垂直平分时的值最小是解题的关键．

16.【答案】解：原式
；
原式
；
，
由得：，
，
，
，
由得：，
，
，
，
，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
． 

【解析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
先把多项式各项化成含有的形式，然后提取公因式进行分解因式即可；
先利用不等式的基本性质，解各个不等式，按照同小取小的口诀，找出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
本题主要考查了分解因式和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和解不等式组的一般步骤．

17.【答案】解：，，
，
，
的值为． 

【解析】由，，求出，故．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，求出．

18.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
即是等腰三角形；
解：由可知是等腰三角形，
又是的角平分线，，
，，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据角平分线性质得到，，利用判定≌，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可得解；
根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．

19.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作．
 

【解析】利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

20.【答案】解：将代入得，，
将代入得，，
联立，，
解得，，
故D点坐标为；
由可知，点坐标为，
；
由图可知，直线在交点左侧时，还要在轴上方，，即，有． 

【解析】将代入，即可求出的值，将代入即可求出的值，联立求的坐标．
由可知，点坐标为，分别求出和的面积，相加即可．
由图可直接得出时自变量的取值范围．
本题考查了两条直线相交或平行的问题，主要是理解一次函数图象上点的坐标特征．

21.【答案】解：，理由如下：
在平面内绕点顺时针旋转旋转角不超过，得到，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，

在平面内绕点顺时针旋转旋转角不超过，得到，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，且，
，
，，
在中，，
，
，
的长为． 

【解析】由旋转的性质可得，可得，由平行线的性质可得；
过点作于点，由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，可得，即可得的长．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．

22.【答案】解：由可得：，
，
，
解得，
即的取值范围为． 

【解析】先求出方程组的解，再根据，即可求得的取值范围．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．

23.【答案】解：元万元，元万元，
设用型车厢节，则用型车厢节，总运费为万元，
依题意，得；
依题意，得，
解得：，
，
取整数，故A型车厢可用节或节或节，相应有三种装车方案：
节型车厢和节型车厢；
节型车厢和节型车厢；
节型车厢和节型车厢．
由函数知，越大，越少，故当时，运费最省，这时万元，
答：安排型车厢节、型车厢节运费最省，最小运费为万元． 

【解析】总费用型车厢节数型车厢节数．
应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．型车厢节数型车厢节数；型车厢节数型车厢节数．
应结合的函数，的自变量的取值来解决．
此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．

24.【答案】解：

；
当时，得，，
，
；
当时，
，，，，
，
即，
，
，
，
，
由得，得，，
，即，
，
，
，
，
又由，，得，即，
，即，
或，
，或，
又，则，
，． 

【解析】根据因式分解分组分解法分解即可；
根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．

25.【答案】证明：如图，，于点，于点，
，
，
，
≌．
解：如图，作交直线于点，作轴于点，
，
，
由旋转得，
，
，
≌，
直线，当时，则，
解得；
当时，，
，，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的函数表达式为．
解：能成为等腰直角三角形，
，轴于点、轴于点，
，，四边形为矩形，
设，
如图，，则，
过点作轴于点，交的延长线于点，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
将代入，
得，
解得，
；
如图，，则，
作轴于点，轴于点，
，
，
≌，
，，
，
，
将代入，
得过且过，
解得，
；
如图，，且点在上方，则，
作交射线于点，
，
，
≌，
，，
，，
，
将代入，
得，
解得，
，
不在第一象限，
不符合题意，舍去；
如图，，且点在下方，则，
作交的延长线于点，则，
，
≌，
，，
，，
，
将代入，
得，
解得，
，
综上所述，点的坐标为或或 

【解析】由，于点，于点，得，则，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
利用一线三垂直，证明≌，求出点的坐标，待定系数法求出解析式．
分四种情况讨论，一是，则，过点作轴于点，交的延长线于点，可证明≌，得，，由及，得得出点坐标，将其代入，求出的值再求出点的坐标；二是，则，作轴于点，轴于点，可证明≌，得，，所以，则，将其代入，求出的值再求出点的坐标；三是，且点在上方，则，作交射线于点，可证明≌，得，，则，将其代入，求出的值再求出点的坐标并进行检验，舍去不符合题意的解；四是，且点在下方，则，作交的延长线于点，可证明≌，得，，则，将其代入，求出的值再求出点的坐标，最后得到问题的答案．
此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．