2019-2020学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期末试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2＝－3x的解是（ ）
A. x＝0B. x＝3C. x1＝0，x2＝3D. x1＝0，x2＝－3
【答案】D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）x2=-3x，
x2+3x=0，
x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=-3．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2.一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．
故选A．
【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
3.如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则（ ）
A. 4.4B. 4C. 3.4D. 2.4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
∴ 即
解得：EF=2.4
故答案为D．
【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
4.如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（ ）
A. 9 cmB. 10 cmC. 11 cmD. 12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M ，
∴DM=CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．
A 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6.如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）
A. 7 : 12B. 7 : 24C. 13 : 36D. 13 : 72
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵DF=CF，BE=CE，
∴，，
∴，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，
∴S△AGH：=1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴,
∴,
∴,
∴=7∶24,
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，将答案填在答题纸上）
7.若＝，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
8.设、是关于的方程的两个根，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
9.将抛物线y＝－5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
【答案】y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．
10.如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
【答案】∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.在一块边长为30 cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=，故答案为：.
【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
12.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
【答案】15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=×5×2π×3=15π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
13.如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．
【详解】解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=,则DF=
∴的面积为=
故答案为．
【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵
坐标y的对应值如下表
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝________．
【答案】－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
，解得，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴x==−1±，
∵<0,
∴=−1-＜0，
∵-4≤-≤-3，
∴，
∴-3≤−1−≤，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
15.如图，在中，，，，是上一点，，过点的直线将分成两部分，使其所分成的三角形与相似，若直线与另一边的交点为点，则__________．
【答案】1，，
【解析】
分析】
根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】解：如图：当DP∥AB时
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=1
如图：当P在AB上，即DP∥AC
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=
如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,
∴△DCP∽△ACB
∴即，解得DP=
故答案为1，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．
16.如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．
【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，
∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，
∴PC=DE=2，
∵，
∴
又∵∠PCF=∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴
∴PA+PB=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=
∴PA+PB ≥.
∴PA+PB的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解方程：（1）3x2－6x－2＝0； （2）(x－2)2＝(2x＋1)2．
【答案】（1）x1＝1＋，x2＝1－；（2）x1＝，x2＝－3
【解析】
【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：x2－2x＝
x2－2x＋1＝＋1
(x－1)2＝
x－1＝±
∴x1＝1＋，x2＝1－
（2）解：[ (x－2)＋(2x＋1)] [ (x－2)－(2x＋1)]＝0
(3x－1) (－x－3)＝0
∴x1＝，x2＝－3
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．
18.为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）填写下表：
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
【答案】（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小
【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:=8,
小华射击命中的方差:,
小亮射击命中的中位数:；
（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
19.某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=，
故答案为:；
（2）解：列表如下：
共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）
∴P（E）＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．
（1）则b＝，c＝；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为，顶点坐标为；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当－3＜x＜2时，y的取值范围是．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）（0，3），（1，4）（3）见解析；（4）－12＜y≤4
【解析】
【分析】
（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y＝－x2＋bx＋c即可；
（2）由（1）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可;
（3）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可;
（4）直接由图象可得出y的取值范围.
【详解】（1）解：把点（2，3），（3，0）坐标直接代入y＝－x2＋bx＋c得
，解得 ，
故答案为:b=2，c=3;
（2）解：令x=0,c=3, 二次函数图像与y轴的交点坐标为则（0，3），
二次函数解析式为y=y＝-x2＋2x＋3=-(x-1)²+4,则顶点坐标为(1,4).
（3）解：如图所示
…
（4）解：根据图像，当－3＜x＜2时，y的取值范围是:－12＜y≤4.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
21.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．
（1）⊙O的半径为 ；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.
【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H
则∠OHA＝∠OHB＝90°
∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°
∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2
∴OH＝＝2
∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x
=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
22.如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，、在边上．
（1）求证：∽；
（2）若，则面积与面积的比为 ．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）先证∠AGD=∠B，再根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明；
（2）由（1）得∽，则△ADG面积与△BEF面积的比= =4．
【详解】（1）证：在矩形中，=90°
∴=90°
∵=90°
∴=90°
∴
在和中
∵,=90°
∴∽
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD=EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴
故答案为4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△ADG∽△FEB是解答本题的关键．
23.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）k≥.
【解析】
【分析】
（1）根据判别式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+)²+，即可得出结果.
【详解】（1）证：当y=0时 x2－2mx＋m2＋m－1＝0
∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）
＝8m2－4m2－4m＋4
＝4m2－4m＋4
＝（2m－1）2 ＋3＞0
∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根
∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点
（2）解：平移后的解析式为: y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),
∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+)²+,∴k≥.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．
24.（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则,即,∴AP=.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为的中点，得到，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为的中点
∴
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°
∴△ABD∽△CDE
∴＝
∴＝
∴AD＝DC＝4, CE＝，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，
∴AC＝＝8
∴⊙O的半径为4.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
26.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：
注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）
（1）①求y关于x的函数表达式；
②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为 ．
【答案】（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2.
【解析】
【分析】
（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；
②设该商品的售价是x元，则月销售利润w= y（x－30），求解即可；
（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w取得最大值2400，解关于m的方程即可．
【详解】（1）①解：设y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
根据题意得：,解得：
∴y＝－10x＋700
②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元
设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元
根据题意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）
＝－10x2＋1000 x－21000＝－10（x－50）2＋4000
∴当x＝50时w有最大值，最大值为4000
答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．
（2）由题意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x2+（1000+10m）x-21000-700m
对称轴为x=50+
∵m＞0
∴50+>50
∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件
∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是2400元
∴-10×402+（1000+10m）×40-21000-700m=2400
解得：m=2
∴m的值为2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．
27.在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．
（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；
（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）的面积为；（3）、5、15、
【解析】
【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB和，即可证明∽；
（2）过点作交与点，交于点，则；再结合矩形的性质，证得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后运用勾股定理求得GF的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，
∴
由折叠可得
∵
∴
∴
在和中
∵，
∴∽
（2）解：过点作交与点，交于点，则
∵矩形中，
∴
由折叠可得：，，
∵
∴
∴
在和中
∵
∴∽
∴
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴的面积为
（3）设DE=x，以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=，
由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，
∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，
故答案为、、5、15．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－3
－3
－1
3
9
…
平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华

8

小亮
8

3
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750