2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学10月月考试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学10月月考试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝0化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案．
【详解】解：x（x+1）-2x=0，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（a≠0）．
2. 若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A. 0＜r＜3B. 2＜r＜8C. 3＜r＜5D. r＞5
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；
正确有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
4. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可得到结论．
【详解】解：∵Δ=b2-4ac=＜0，
∴方程总没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△ODB是等边三角形，得到∠DOB＝60°，根据∠AOD＝∠AOB－∠DOB即可解决问题.
【详解】连结OD，如图.∵扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的D处，折痕交于点，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∴OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝110°－60°＝50°.故选B.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及半径，想办法证明△OBD是等边三角形是解决本题的关键.
6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC =70°B. ∠BAD =80°C. CE =CDD. CE =AE
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 一元二次方程的根是______________．
【答案】x1＝0，x2＝-1
【解析】
【分析】先移项得到x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
详解】解：，
x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
所以x1＝0，x2＝-1．
故答案为：x1＝0，x2＝-1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
8. 把方程化成的形式，则的值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】方程配方得到结果，确定出与的值，即可求出的值．
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，
即，
，，
则．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9. ⊙O中的弦AB长等于半径长，则弦AB所对的圆周角是________．
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，再根据“⊙O中的弦AB长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【详解】解：如图，
AB为⊙O的弦，且AB=OA=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠P= ∠AOB=30°，
∴∠P′=180°﹣∠P=180°﹣30°=150°．
∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．
所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是根据题意作辅助线进行求解．
10. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】且
【解析】
【分析】通过一元二次方程的定义可得，根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，可知该方程根的判别式大于等于0，求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，
，且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式．满足一元二次方的条件之一便是二次项系数不为0；当根的判别式大于等于0时，一元二次方程有实数根，当根的判别式小于0时，一元二次方程没有实数根．熟练掌握根的判别式的意义以及一元二次方程的定义是解题的关键．
11. 如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A=80°，∠C=60°，则∠B的大小为_______．
【答案】140°
【解析】
【分析】连接OB，可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而即可求解．
【详解】连接OB，
∵OA=OB=OC，
∴∠A=∠ABO=80°，∠C=∠CBO=60°，
∴∠ABC =∠ABO+∠CBO=140°，
故答案是：140°．
【点睛】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆的性质，是解题的关键．
12. 设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝_____．
【答案】2020．
【解析】
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=2，m2﹣2m=2022，将其代入原式=m2﹣2m﹣m﹣n=m2﹣2m﹣（m+n）计算可得．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022=0的两个实数根，∴m+n=2，m2﹣2m=2022，
则原式=m2﹣2m﹣m﹣n
=m2﹣2m﹣（m+n）
=2022﹣2
=2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
13. 三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为___．
【答案】10
【解析】
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为6，然后计算此三角形的周长．
【详解】解：，
，
所以，，
而，
所以三角形第三边长为4，
所以此三角形周长为．
故答案为10．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法、三角形三边的关系，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14. 的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
15. 如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的大小是________°．
【答案】48
【解析】
【详解】如图：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD=16°，
∴在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=32°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=32°，
∴在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=16°+32°=48°．
故答案为48
16. 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接OQ、MN，证MN是△POQ的中位线，确定点M在以N为圆心，1为半径的圆上，点M落在ON上时，OM最小，此时OM=ON-NM=1，即OM最小=1．
【详解】如图，连接OQ、MN，
∵OP=4，ON=2，
∴点N是OP的中点，
又∵M是PQ的中点，
∴MN是△POQ的中位线，
∴MN= OQ=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
∴当点M落在ON上时，OM最小，此时OM=ON-NM=1，即OM最小=1．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角形的中位线定理，确定点M在以N为圆心1为半径的圆上是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（4）整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
移项，得：，
开平方，得：，
，；
【小问2详解】
解：，
因式分解，得：，
于是得：或，
，；
【小问3详解】
解：
移项，得：，
提公因式，得：，
于是得：或，
，；
【小问4详解】
解：
整理，得：，
，，，
∴，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适、简便的方法是解本题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为，m的值为
【解析】
【分析】（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；
（2）设方程的另外一根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另外一根为a，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为，m的值为．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．
19. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
20. 如图，要设计一幅宽20 cm，长 40 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1:2.如果要使得彩条之外的面积为512 cm2，求设计横彩条的宽度
【答案】设计横彩条的宽度为．
【解析】
【分析】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，则彩条之外的图形面积可等于以长为，宽为的矩形的面积，列出等量关系式求解即可．
【详解】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，
根据题意得：，
化简得：，
，
解得：（不合题意，舍去），，
答：设计横彩条的宽度为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用面积关系列等式是解决问题的关键．
21. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
【答案】10%；3327.5万元
【解析】
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用2015年的经费×（1+增长率）即可．
【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为．
则，
解得（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
22. 如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，利用垂径定理得到相等的弧，两边相减即可得证．
【详解】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点．
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴，
∴
即：．
【点睛】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是正确地作出垂直于弦的半径．
23. 已知．
（1）用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若在中，，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的垂直平分线，再作的垂直平分线，二者交于O点，连接，以O为圆心、为半径画圆，问题得解；
（2）连接交于D点，根据是等腰的外接圆，可得，，则利用勾股定理可得，在中，，根据勾股定理得：，问题即可得解．
【小问1详解】
作图如下，
即为所求；
【小问2详解】
连接交于D点，如图，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是的外接圆，
∴在等腰中，有，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴．
∴的半径为．
【点睛】本题考查了复杂作图---作三角形的外接圆以及勾股定理等知识，掌握三角形的外接圆的作法是解答本题的关键．
24. 商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
【答案】当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1 800元．
【解析】
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：每件利润×降价后的销量=1800，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设这种衬衫的单价降了x元，
根据题意得：，
整理得：，
，
解得：．
答：当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1 800元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
25. 阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程解为 ；
（2）间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
【答案】（1）x1，x2，x3，x4；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用换元法解方程，设y＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y的方程得到y1＝2，y2＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；
（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．
【小问1详解】
解：，
设，则原方程可化为，
解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
所以原方程的解为，，，．
故答案为：，，，；
【小问2详解】
解：实数，满足：，且，
、可看作方程的两不相等的实数根，
，；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．
26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
【答案】（1）t＝1 s或s；（2）t＝s；（3）t＝ (8－ )s或t＝ (－18 )s
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，N＝2tcm，NC＝(12－2t)cm，在Rt△MBN中，根据勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理和要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值计算即可；
（3）若△DMN为等腰三角形，有3种情况，当DM＝MN，当DM＝DN，当MN＝DN，分别求解即可；
【详解】解：∵点M、N的运动时间为t．
点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动， AB＝6cm，BC＝12cm
∴AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，
BN＝2tcm，NC＝(12－2t)cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△MBN、△DAM，△DNC都是直角三角形．
（1）在Rt△MBN中，根据勾股定理得，
BM2＋BN2＝MN2，即(6－t)2＋(2t)2＝()2,
解得 t1＝1，t2＝,
∴当t＝1s或s时，MN＝cm；
（2）在Rt△MNB中，根据勾股定理，得，
MN2＝BM2＋BN2，
即MN2＝(6－t)2＋(2t)2，
＝5(t－)2＋，
要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值即可，即求5(t－)2＋的最小值．
当t＝s时，MN2的值最小，最小为．
∴当t＝s时，MN的长度最短，此时最短长度为cm．
（3）在Rt△DAM，Rt△BMN和Rt△DNC中，根据勾股定理得，
DM2＝DA2＋AM2，MN2＝BM2＋BN2，DN2＝NC2＋DC2．
即DM2＝122＋t2，MN2＝(6－t)2＋(2t)2，DN2＝(12－2t)2＋62．
若△DMN为等腰三角形，有3种情况：
①当DM＝MN，即DM2＝MN2时，t2＋122＝(6－t)2＋(2t)2，
解得t1＝，t2＝；
∵0≤t≤6，
∴t1＝，t2＝均不合题意，舍去．
②当DM＝DN，即DM2＝DN2时，t2＋122＝(12－2t)2＋62，
解得 t1＝8－，t2＝8＋．
∵0≤t≤6，t2＝8＋不合题意，舍去．
③当MN＝DN，即MN2＝DN2时，(6－t)2＋(2t)2＝(12－2t)2＋62，
解得 t1＝－18，t2＝－－18．
∵0≤t≤6，t2＝－－18不合题意，舍去，
综上所述，
当t＝ (8－ )s时，△DMN为等腰三角形，
当t＝ (－18 )s时，△DMN为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．