2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（ ）
A. 朝上一面的数字恰好是6B. 朝上一面的数字是2的整数倍
C. 朝上一面的数字是3的整数倍D. 朝上一面的数字不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据概率公式，逐一求出各选项事件发生的概率，最后比较大小即可．
【详解】解：A． 朝上一面的数字恰好是6的概率为：1÷6=；
B． 朝上一面的数字是2的整数倍可以是2、4、6，有3种可能，故概率为：3÷6=；
C． 朝上一面的数字是3的整数倍可以是3、6，有2种可能，故概率为：2÷6=；
D． 朝上一面的数字不小于2可以是2、3、4、5、6，有5种可能，，故概率为：5÷6=
∵＜＜＜
∴D选项事件发生的概率最大
故选D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A． 是一元二次方程，故本选项符合题意；
B． 是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C． 是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
3.一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为，
∴
解得：，即其圆心角度数是
故选C．
【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
4.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=是解决此题的关键．
5.某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172，方差为，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172，此时全班同学身高的方差为，那么与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】
设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：
∵
∴即
故选B．
【点睛】此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
6.若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论．
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或3
解得：，，
故选C．
【点睛】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，将答案填在答题纸上）
7.方程的解为________．
【答案】
【解析】
解：∵x2=4，∴x=2或x=﹣2，故答案为，．
点睛：本题主要考查解一元二次方程的能力，掌握如果方程化成x2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±是关键．
8.一个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为9，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：即可求出该圆锥的侧面积．
【详解】解：底面圆周长为，即圆锥的侧面展开后的弧长为，
∵母线长为9，
∴圆锥的侧面展开后的半径为9，
∴圆锥的侧面积
故答案为：
【点睛】此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：是解决此题的关键．
9.将一元二次方程变形为的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式配方即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
10.小华在一次射击训练中的6次成绩（单位：环）分别为：9，8，9，10，8，8，则他这6次成绩的中位数比众数多__________环．
【答案】0.5
【解析】
【分析】
根据中位数的定义和众数的定义，分别求出中位数和众数，然后作差即可．
【详解】解：将这6次成绩从小到大排列： 8， 8，8，9，9，10，
故这6次的成绩的中位数为：（8+9）÷2=环
根据众数的定义，这6次的成绩的众数为8环
∴他这6次成绩的中位数比众数多－8=环
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求一组数的中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解决此题的关键．
11.如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．
【详解】解：连接OA
∵圆的直径为5，油的最大深度
∴OA=OC=
∴OD=CD－OC=
∵
根据勾股定理可得：AD=
∴AB=2AD=4m
故答案为：4．
【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．
12.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质，将方程变为，然后根据平方的非负性即可求出b的取值范围．
【详解】解：∵
∴
∵，关于的一元二次方程有实数根，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】此题考查的是一元二次方程根的情况，掌握平方的非负性是解决此题的关键．
13.在中，，，，则内切圆的半径是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出斜边AB的长，然后根据直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）计算即可．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理可得：
∴内切圆的半径是
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是求直角三角形内切圆的半径，掌握直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）是解决此题的关键．
14.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“总售价=每棵的售价×棵数”列方程即可．
【详解】解：根据题意可得：
故答案为：．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
15.如图，正方形的顶点、在圆上，若，圆的半径为2，则阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和）
【答案】
【解析】
【分析】
设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】解：设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm
∴AF为圆的直径
∵，圆的半径为2，
∴AF=4cm
在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=
∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cs∠EAF·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF
=
=
=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
16.如图，，点、都在射线上，，，是射线上的一个动点，过、、三点作圆，当该圆与相切时，其半径的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN，设圆C的半径为r，再根据等腰直角三角形的性质即可用r表示出CD、NC，最后根据勾股定理列方程即可求出r．
【详解】解：如图所示，圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D
∵，，
∴PQ=OQ－OP=4
根据垂径定理，PN=
∴ON=PN＋OP=4
在Rt△OND中，∠O=45°
∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，OD=
设圆C的半径为r，即CM=CP=r
∵圆C与相切于点M，
∴∠CMD=90°
∴△CMD为等腰直角三角形
∴CM=DM=r，CD=
∴NC=ND－CD=4－
根据勾股定理可得：NC2＋PN2=CP2
即
解得：（此时DM＞OD，点M不在射线OB上，故舍去）
故答案为：．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解方程
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
∴或，
∴；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.
18.解方程：2x2+3x﹣1=0．
【答案】．
【解析】
【分析】
找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x=．
考点：解一元二次方程-公式法．
19.已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
【答案】（1）见解析；（2）1或－3
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法求出方程的两个解，再证明这两个解不相等即可；
（2）根据（1）中的两个解分类讨论即可．
【详解】（1）证明： 原方程可化为
或
，
∵
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，解得：m=1，即方程的另一个根为1；
当m=-1时，则另一个根为，
∴另一个根为1或－3
故答案为：1或－3．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程和根据一元二次方程的一个根求另一个根，掌握因式分解法解一元二次方程和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
20.如图，是圆的直径，点在圆上，分别连接、，过点作直线，使.求证：直线与圆相切.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后根据直角三角形的性质和已知条件即可证出，最后根据切线的判定定理即可证出直线与圆相切．
【详解】证明：∵是圆的直径
∴
∴
∵
∴，
即
∵点在圆上
∴直线与圆相切．
【点睛】此题考查是圆周角定理的推论和切线的判定，掌握直径所对的圆周角是直角和切线的判定定理是解决此题的关键．
21.用一根长12的铁丝能否围成面积是7的矩形？请通过计算说明理由.
【答案】用一根长12的铁丝能围成面积是7的矩形，理由见解析
【解析】
【分析】
设这根铁丝围成的矩形的一边长为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并解方程即可．
【详解】解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为．
根据题意，得
解这个方程，得，
当时，；当时，
答：用一根长12铁丝能围成面积是7的矩形．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用矩形的面积公式列方程是解决此题的关键．
22.某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“”，错误的写“”，小明在做判断题时，每道题都在“”或“”中随机写了一个.
（1）小明做对第1题的概率是 ；
（2）求小明这3道题全做对的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求概率即可；
（2）写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）∵第一题可以写A或B，共2种结果，其中作对的可能只有1种，
∴小明做对第1题的概率是1÷2=
故答案为；
（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件）的结果只有 1种，
∴小明这3道题全做对的概率为1÷8=．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
23.如图，在中，，，圆是的外接圆.
（1）求圆的半径；
（2）若在同一平面内的圆也经过、两点，且，请直接写出圆的半径的长.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）过点作，垂足为，连接，根据垂直平分线的性质可得在上，根据垂径定理即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD，设，根据勾股定理列出方程即可求出半径；
（2）根据垂直平分线的判定可得点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上，然后根据点A和点P的相对位置分类讨论，然后根据勾股定理分别求出半径即可．
【详解】（1）过点作，垂足为，连接
∵，
∴垂直平分
∵
∴点在的垂直平分线上，即在上．
∵
∴
∵在中，，
∴
设，则
∵在中，，
∴，即
解得，即圆的半径为．
（2）∵圆也经过、两点，
∴PA=PB
∴点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上
①当点P在A下方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB
∴PD=AD－AP=4
根据勾股定理PB=；
②当点P在A上方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB
∴PD=AD+AP=8
根据勾股定理PB=．
综上所述：圆的半径的长为或．
【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理，掌握垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理的结合、数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
24.甲、乙两名同学5次数学练习（满分120分）的成绩如下表：（单位：分）
已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分.
（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为 分，方差为 分；
（2）甲、乙都认为自已在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他们俩观点的理由.
【答案】（1）100，10；（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数公式和方差公式计算即可；
（2）通过成绩逐渐的变化情况或100分以上（含100分）的次数分析即可．
【详解】解：（1）乙=
乙=
故答案为：100，10；
（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．
【点睛】此题考查的是求平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解决此题的关键．
25.如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；
（2）在图②中画圆一个内接正八边形.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；
（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
【详解】（1）设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形即为所求．
（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形即为所求．
【点睛】此题考查的是画圆的内接正六边形和内接正八边形，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键．
26.某小型工厂9月份生产的、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍，设产品生产数量的增长率为（），若10月份该工厂的总收入增加了，求的值.
【答案】5%
【解析】
【分析】
根据题意，列出方程即可求出x的值．
【详解】根据题意，得
整理，得
解这个方程，得，（不合题意，舍去）
所以的值是5%．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
27.数学概念
若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.
理解概念
（1）若点是的等角点，且，则的度数是 .
（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，
②如图②，
深入思考
（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤
【解析】
【分析】
（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；
（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；
②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；
（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；
（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．
【详解】（1）（i）若=时，
∴==100°
（ii）若时，
∴（360°－）=130°；
（iii）若=时，
360°－－=160°，
综上所述：=100°、130°或160°
故答案为：100、130或160．
（2）选择①：
连接
∵
∴
∴
∵，
∴
∴是的等角点．
选择②
连接
∵
∴
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵
∴
∴是的等角点
（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，
根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC
∴△BCD为等边三角形
∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°
作CD的垂直平分线交MN于点O
以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆
∴∠BQC=180°－∠BDC=120°
∵BD=CD
∴∠BQD=∠CQD
∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°
∴∠BQA=∠CQA=∠BQC
如图③，点即为所求．
（4）③⑤．
①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心
假设∠BAC=60°，∠ACB=30°
∵点O是△ABC的内心
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°
∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°
显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；
②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；
③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；
④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；
⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点．
如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接，
∵由旋转得，，
∴是等边三角形．
∴
∴
∵、是定点，
∴当、、、四点共线时，最小，即最小．
而当为的强等角点时，，
此时便能保证、、、四点共线，进而使最小．
故答案为：③⑤．
【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．测试日期
11月5日
11月20日
12月5日
12月20日
1月3日
甲
96
97
100
103
104
乙
100
95
100
105
100