2019-2020学年江苏省常州市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省常州市九年级上学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，则a的值为( )
A. -2B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=2代入x2+ax=0，即可求解.
【详解】∵x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，
∴，解得：a=-2.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键.
2.点点同学对数据26，36，36，46，50，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 标准差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、方差和标准差的概念，结合题意即可解答.
【详解】因为这组数据的中位数是36和46的平均数，则这组数据中的中位数是41，与涂污数字无关，故选B.
【点睛】本题考查平均数、中位数、方差和标准差，解题的关键是熟悉平均数、中位数、方差和标准差的相关计算.
3.河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1: ，AB= 6m，则BC的长是（ ）
A. m B .3m C.m D.6m
【答案】B
【解析】
【分析】
根据坡度定义，可知：，可得：∠A=30°，进而求解.
【详解】∵斜坡AB的坡度=1: ，
∴∠A=30°，
∴BC=.
故选B.
【点睛】本题主要考查坡度的定义，根据坡度，求出∠A的度数，是解题的关键.
4.若两个相似三角形的周长比为1:3，则它们的面积比为（ ）
A. 1:9B. 1:6C. 1:3D. 6:1
【答案】A
【解析】
【分析】
由两个相似三角形的周长比为1:3，可得，两个相似三角形的相似比为1:3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】∵两个相似三角形的周长比为1:3，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴它们的面积比为1:9，
故选A.
【点睛】本题主要考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
5.如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（ ）
A. 9πB. 18πC. 24πD. 36π
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×6＝18π．
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6.如图⊙P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限上，则∠BCO的度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
试题解析：连接AB，

∵tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°，
∴∠OCB=∠OAB=30°（圆周角定理）．
故选B．
7.如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，即可得到答案.
【详解】∵，，AC=2，
∴AB：AC：BC=：2：= ：：1
A.三边比值=： ：1，不符合题意，
B. 三边比值=3： ：，不符合题意，
C. 三边比值= ：：1，符合题意，
D. 三边比值= ：：2，不符合题意，
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理，分别求出各个选项中三角形的三边长的比值，是解题的关键.
8.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO= .
【详解】如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD=90，
∵∠AOB+∠AOD=90,∠AOD+∠ADO=90，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO=.
故选D．
【点睛】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
二、填空题
9.如果2a=3b，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质即可得到的值.
【详解】∵2a=3b
故答案为
【点睛】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键.
10.若是锐角，且，则__________．
【答案】
【解析】
∵，
∴，
∴．
11.不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
12.如图，电线杆上的路灯距离地面，身高的小明站在距离电线杆的底部（点的处，则小明的影子长为___．
【答案】5．
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】由题意得，，
即，
解得：．
故答案为5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
13.某楼盘2018年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2020 年初房价为16200元。设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，根据题意可列方程为__________.
【答案】20000（1-x）2=16200
【解析】
【分析】
由楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，两次降价后的单价是原来单价的(1-x)2，根据题意列出方程即可.
【详解】设楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，
根据题意得：20000（1-x）2=16200，
故答案是：20000（1-x）2=16200.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出题目中的等量关系是解题的关键.
14.关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，可得判别式的值大于0且2-k≠0，进而求出k的取值范围，即可得到答案.
【详解】∵关于x的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴=且2-k≠0，
∴k>1且k≠2，
∴整数k的最小值是3，
故答案是3.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意列出关于k的不等式组，是解题的关键.
15.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出 ， ，故为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.
【详解】连接AQ，BQ，
，
，且，
为等腰直角三角形
,

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.
16.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，6为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点A、B，已知点C（5， 0）、D（0， 3），P为AB上一点，则2PD+CP的最小值为__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
在y轴上找一点E，使AE=OA=6，易证∆DOP~∆POE，从而可得PE=2PD，进而根据两点之间线段最短，即可求解.
【详解】在y轴上找一点E，使AE=OA=6，
∵D（0， 3），
∴OD=3，
∵∠DOP=∠POE， ，
∴∆DOP~∆POE，
∴，即：PE=2PD，
∴2PD+CP=PE+CP，
当点C，P，E三点共线时，2PD+CP=PE+CP的值最小，
∴2PD+CP的最小值=.
故答案是：13.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键.
三、解答题
17.(1) 解方程: x(x-4)=5;
(2)求值: tan245°- 2cs60°.
【答案】(1) x1=5, x2=-1 ; (2) 0
【解析】
【分析】
(1) 先把一元二次方程化为一般形式，再进行求解，即可；
(2) 分别求出特殊角的三角函数值，再作减法，即可.
【详解】(1)x(x-4)=5，
去括号，得：，
配方得：，即：，
开平方得：，
∴.
(2)原式=12- 2×
=1-1
=0.
【点睛】本题主要考查一元二次方程得解法和特殊角得三角函数值，掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值，是解题的关键.
18.如图，在平面直角坐标系x O y中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （1， 2），B（7，2），C（5，6）.
(1)在图中画出△ABC外接圆的圆心P;
(2)圆心P的坐标是______;
(3) tan∠ACB=________.
【答案】（1）详见解析；（2）（4,3）;（3）3
【解析】
【分析】
(1)作AB，AC的中垂线，交于点P，即为所求点；
(2)由A （1， 2），B（7，2），可求出点P的横坐标，设点P的纵坐标为y，连接PA，PC，
由PA=PC，列出关于y的方程，即可求解；
(3)连接AP，BP，作△ABC外接圆，可得：∠ACB=∠APF，进而求出tan∠ACB的值.
【详解】（1）作AB，AC的中垂线，交于点P，即为所求点，如图所示：
（2）∵A （1， 2），B（7，2），C（5，6），
∴点P的横坐标为（1+7）÷2=4，
设点P的纵坐标为y，连接PA，PC，如图1，
∵点P是△ABC外接圆的圆心，
∴PA=PC，
∴，解得：y=3，
∴点P的坐标是：（4,3），
故答案是：（4,3）.
（3）连接AP，BP，作△ABC外接圆，如图2，
∵∠ACB=∠APB，∠APF=∠APB，
∴∠ACB=∠APF，
∴tan∠ACB= tan∠APF ===3，
故答案是：3.

图1 图2
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆的性质和锐角的正切三角函数的定义，根据圆周角定理得：∠ACB=∠APF，是解题得关键.
19.某中学在“书香校园”活动中，为了解学生的读书情况，学校抽样调查了部分同学在一周内的阅读时间，绘制如下统计图.根据图中信息，解答下列问题:
(1)被抽查学生阅读时间中位数为____h,平均数为_____h;
(2)若该校共有2000名学生，请你估算该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数.
【答案】（1）2；2.34；（2）720
【解析】
【分析】
(1)根据中位数和平均数的定义，即可求解；
(2)先求出50人中该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数的比例，再乘以2000，即可.
【详解】（1）∵抽查的学生共有50人，按读书时间从少到多排序后处在第25，26位的数都是2小时，
∴中位数是2小时，
平均数=(小时)，
故答案是： 2，2.34；
（2）2000×= 720（人），
答：该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数有720人.
【点睛】本题主要考查中位数和平均数的定义，理解中位数和平均数的定义，是解题的关键.
20.小明放学回家看到桌上有一盘小麻糕，妈妈说当中有芝麻馅、肉馅各1个，青菜馅2个，这些小麻糕除馅外无其他差别.
(1)小明随机从盘中取出一个小麻糕，取出的是芝麻馅的概率是_________.
(2)小明随机从盘中一次取出两个小麻糕，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求取出的两个都是青菜馅的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据求概率的公式，即可求解；
(2)由题意画出树状图，再根据概率的公式，即可求解.
【详解】（1）∵有芝麻馅、肉馅各1个，青菜馅2个，
∴小明随机从盘中取出一个小麻糕，取出的是芝麻馅的概率是：，
故答案是：；
（2）如图所示：
一共有12种可能，取出的两个都是青菜的有2种，
∴取出的两个都是青菜馅的概率是：.
【点睛】本题主要考查画树状图，求概率，掌握画树状图的方法，是解题的关键.
21.如图，在矩形ABCD中，AB:BC=1:2, 点E在AD上，且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由.
【答案】相似，理由见详解.
【解析】
【分析】
根据三角形相似的判定定理，即可得证.
【详解】△ABC~△EAB，理由如下：
∵AB:BC=1:2，
∴设AB=2x，BC=4x，
在矩形ABCD中，AD=BC=4x,
∵ED=3AE，
∴ED=3x，AE=x，
∴，
∵∠EAB=∠ABC=90°，
∴△ABC~△EAB
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，是解题的关键.
22.如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ?
【答案】宽为1m,高为1.5m.
【解析】
【分析】
设窗户的宽为x，则高为，根据等量关系，列出方程，即可.
【详解】设窗户的宽为x，则高为，
由题意得：，
解得：，
∴=，
答：窗框的宽为1m，高为1.5m.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用——几何问题，找出等量关系，列出方程，是解题的关键.
23.如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，且AC=OC.
（1）求弧BC的度数；
（2）设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）60°；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OB、BC，根据切线的性质求得OB⊥AB，根据直角三角形斜边中线的性质得出BC=OA，进而求得OB=BC=OC，得出△OBC是等边三角形，求得∠BOC=60°，即可求得的度数；
（2）先求得直角三角形的面积和扇形的面积，根据S阴影=S△AOB﹣S扇形即可求得．
【详解】（1）连接OB、BC．
∵AB是圆O的切线，切点为B，∴OB⊥AB．
∵AC=OC，∴BC=OA．
∵AC=OC=OA，∴OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴的度数为60°；
（2）∵∠BOC=60°，OA=10，∴AB=sin60°•OA=×10=5，∴S△AOB=AB•OB=×5×5=．
∵S扇形=×60=，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形=．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，解题的关键是连接OB，构建直角三角形．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sin A=
(1)求AB的长;
(2)若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE∽△ABC时，求CE的长.
【答案】（1）AB=10（2）4或
【解析】
【分析】
（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，可设设BC=3x，AB=5x，求得AC=4x，进而求出AB的值；
（2）当△CFE∽△ABC时，分两种情况：①当点E在AB上，②当点E在BC上，分别求出CE的长，即可.
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，
设BC=3x，AB=5x，则，
∵AC=8，
∴4x=8，解得：x=2，
∴AB=5x=5×2=10.
（2）分两种情况：
①当点E在AB上时，△CFE∽△ABC，如图1，
∴∠FEC=∠BCA=90°，∠ECF=∠CAB，
∴AE=CE（等腰三角形三线合一）
∵AC=8，
∴CE=4；
②当点E在BC上时，△CFE∽△ABC，如图2，
∴∠ECF=∠CAB，，
∵∠CAB+∠ACF=∠ECF+∠ACF=90°，
∴CF⊥AB，
∴CF==4.8，
∴=4.8×=

图1 图2
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质定理，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键.
25.如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.
(1) 当点C落在射线AF上时，求DE的长;
(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cs∠FAB的值;
(3)若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.
【答案】（1）DE=3；（2） ；（3）BP=12-12或6＜BP≤
【解析】
【分析】
(1)当点C落在射线AF上时，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
(3)以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，分三类：①当圆M与CD相切时，求出BP的值；②当圆M过点C时，求出BP的值；③当圆M过点D时，求出BP的值，进而，可求出BP的范围.
【详解】（1）当点C落在射线AF上时，如图1，
∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直线AE翻折得△AEF，
∴AF=AD=6，AC=，
∴CF=AC-AF=10-6=4，
设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，
∵在Rt∆CFE中，，
∴，解得：x=3，
∴DE=3；
（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，如图2，
设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，
设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，
∵，
∴，解得：x=，
∴cs∠FAB==；
（3）以PB为底边作等腰直角三角形∆PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，
①当圆M与CD相切时，如图3，切点为Q，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，
连接QM，延长QM交PB于点H，则HQ⊥CD，HQ⊥PB，
∵∆PMB是等腰直角三角形，
∴设PH=BH=MH=x，则PM=QM=
∵HQ=AD=6，
∴x+=6，解得：x=，
∴BP=2x=
②当圆M过点C时，如图4，此时，边CD上有两个点Q满足∠BQP=45°，
∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，
∴BP=BC=6，
③当圆M过点D时，如图5，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，
连接MD，过点M作MN⊥AD，MH⊥BP，
设PH=HM=HB=x，则MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，
∵在Rt∆MND中，，
∴，解得：x=，
∴BP=2×=，
综上所述：线段BP长的取值范围是：BP=12-12或6＜BP≤.

图1 图2 图3
图4 图5
【点睛】本题主要考查圆和直线的位置关系和三角形的综合问题，根据题意，画出图形，利用数形结合和方程思想方法，是解题的关键.