2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期中试题及答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，直线与的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】已知圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，根据以上内容判断即可．
【详解】解：∵的半径为，点O到直线的距离为，
∴，
∴与直线的位置关系是相离，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，能熟记直线和圆的位置关系内容是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：相离，相交，相切，已知：圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，
2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
3. 用“配方法”解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BC，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得∠ADC的度数．
【详解】解：连接，
是直径，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键．
5. 如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设正六边形的边长为，根据正三角形性质和正六边形的定义分别求出阴影部分的面积和正三角形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，交于点，设正六边形的边长为，
∵六边形为正六边形，
∴，
每个外角的度数为：，
∴，
∴，和都是等边三角形，且边长都等于，
∵为正三角形，
∴，
在和和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都为正三角形且边长分别为和，
∴，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴飞镖投中阴影部分的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．本题还考查了等边三角形的性质，正六边形的定义及外角和，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识．根据等边三角形的性质及正六边形的定义得出阴影部分的面积解题的关键．
6. 如图，在中，是直径，点，，在圆上，，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，，在中，利用三边关系可得，从而得出，则可判断结论①；利用勾股定理求得，得到，则可判断结论②；结合可判断结论③；结合可判断结论④．
【详解】解：如图，连接，，
∵在中，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，则结论①错误；
∵在中，是直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，则结论②正确；
∵，
∴，
∴，则结论③错误；
∵，
∴，
∴，则结论④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查弧和弦的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，推论中的两条弧是指同为优弧或劣弧．也考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形的三边关系定理等知识．正确理解和掌握同圆或等圆中的弧和弦的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程中，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是__________分．
【答案】
【解析】
【详解】解：5+3+2=10．
,
故答案为:77．
9. 已知，是一元二次方程的两根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先将化为一般式，再根据根与系数的关系求得和，最后代入即可求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，当，是一元二次方程的两根时，则：，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
10. 一只不透明的袋子中共有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同．从袋中随机摸出个球，恰好是红球的概率为，则袋中红球的个数是_________个．
【答案】
【解析】
【分析】设红球有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设红球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则袋中红球的个数是个．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式的应用，随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．理解和掌握概率公式是解题的关键．
11. 某地区新能源汽车保有量2020年底达到30万辆，2022年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】可先表示出2021年的产能，那么2021年的产能×（1＋增长率）＝41，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，则2021年的产能为，2022年的产能在2021年产能的基础上增加，为，
则列出的方程是．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图，在的内接四边形中，．若点在上，则的度数为__________°．
【答案】##125度
【解析】
【分析】连接，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角，
∴圆锥的底面圆周长，
∴圆锥的底面圆半径．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．
14. 如图，是三角形纸片的内切圆，在的右侧沿着相切的直线剪下．若的周长为，，则剪下的的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理求得，，即可求解．
【详解】解：∵是三角形纸片的内切圆，与相切，
∴，，
即剪下的的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
15. 如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为________°．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，，，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．
【详解】解：连接，，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
16. 如图，在中，，，是中线，分别为边上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】证明，得出在以为直径的上，从而计算出答案．
【详解】解：在中：，，是中线，
∴,,
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在以为直径的上，取的中点,连接，当三点共线时，线段取得最小值，
在中：,，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在中：，
在中，，
当三点共线时，线段取得最小值，．
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，隐圆求线段最值问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：
（1）填表（单位：环）
（2）计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？
【答案】（1）①；②；③
（2）乙运动员射击成绩更稳定
【解析】
【分析】（1）先根据折线统计图得出两运动员的涉及环数，再依据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（3）先根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：由折线统计图知，甲射击环数为，
乙射击环数为，
∴甲射击环数的平均数，众数为，
乙射击环数的中位数，
故答案为：①；②；③
【小问2详解】
甲射击环数的方差
乙射击环数的方差，
∵，
∴乙运动员射击成绩更稳定．
【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，方差，掌握以上知识是解题的关键．
19. 计划选派护士支援某地的防疫工作，决定用随机抽取的方式从4名护士中确定人选，其中1人是团员，其余3人均是党员．
（1）随机抽取1人，恰好是党员的概率为__________；
（2）随机抽取2人，求被抽到的两名护士恰好都是党员的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可解决问题；
（2）设团员用T表示，其余3人均是党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
【小问1详解】
解：随机抽取1人，恰好是党员的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：团员用T表示，其余3人均是党员用G表示．
从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是党员的（记为事件A）的结果有6种，
则．
【点睛】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，弓形是由和弦所围成的图形，弓形的高是的中点到的距离，点是所在圆的圆心，，弓形的高为．
（1）求的半径；
（2）经测量的度数约为，则弓形的面积为__________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，交于点，设的半径为，根据垂径定理可得，，从而得出，然后利用勾股定理建立关于的方程，最后解方程即可；
（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，交于点，设的半径为，
∵点为圆心，，弓形的高为．
∴，点是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
解得：．
∴的半径为．
【小问2详解】
∵，，
∴
．
∴弓形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识，运用了分割法求不规则图形面积的解题方法．解题的关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形求出圆的半径．
21. 已知关于的方程（为常数）．
（1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根为和，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出，，利用即可得到k的值．
【小问1详解】
证明：由题意知，，，，
则，
所以，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由题意知，，，
∵，
∴，解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．
22. 如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接．
（1）求证；
（2）延长相交于点，若，则的度数为_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的内接四边形可得，根据可得，等量代换可得，根据等角对等边即可得证；
（2）设，根据直径所对的圆周角是90度，三线合一，可得，根据三角形内角和定理，可得，根据圆的内接四边形对角互补可得，继而根据三角形的外角性质得出，进而建立方程，解方程即可求解．
小问1详解】
证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接到，延长相交于点，
设，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
23. 某水果成本价为12元/千克．经调研，该水果在某平台上的售价为28元/千克时，可销售300千克；售价每降2元，销量将增加100千克．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若销售该水果获利6000元，则售价应降低多少元？
【答案】售价应降低6元．
【解析】
【分析】设售价应降价x元，则每千克的利润为元，每天的销售量为千克，根据销售该水果的利润=每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能减少库存，即可确定x的值．
【详解】解：设售价应降价x元，则每千克的利润为元，每天的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要尽可能减少库存，
∴．
答：售价应降低6元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 已知直线与相切于点．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中，作出直线，使与相切，且；
（2）在图②中，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点，过点作即可；
（2）连接并延长交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧交直线于点、，连接、分别交于点、，分别以点、为圆心以的长为半径画弧分别交于点、，过点、作直线，过点、作直线，过点作，过点作即可．
【小问1详解】
解：连接并延长交于点，过点作，
∵是的半径，
∴直线与相切，
∵直线与相切于点，
∴，
∴．
则直线即为所作．
【小问2详解】
连接并延长交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧交直线于点、，连接、分别交于点、，分别以点、为圆心以的长为半径画弧分别交于点、，过点、作直线，过点、作直线，过点作，过点作，设的半径为，连接，，
∴，，
∵直线与相切于点，
∴，
∴，
∴和都是直角三角形，且，
∴，，，
，，，
∴，
在和中，
∵，，，
又∵，
即，，
∴，且，，
∴直线和直线都与相切，
∴，，
∴，，
∴直线和直线即为所作；
∵，，
∵
∴直线和直线都与相切，
∴，
∴，，
∴直线和直线即为所作．
综上所述，直线，直线，直线和直线即为所作．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形度角的性质及逆定理，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识．解题的关键是掌握尺规作图的基本作图．
25. 如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点作，与交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是的切线，得出，证明，得出，即可得证；
（2）根据是的直径，得，进而得出，根据垂径定理可得，勾股定理得出，等面积法求得的长，继而求得的长，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
在与中，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接交于点，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，在一块长m，宽m矩形绿地内，建一个矩形花圃．
（1）要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽，求矩形花圃的周长；
（2）要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半，问这样的矩形花圃能否围出？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）m
（2）不能，理解见解析
【解析】
【分析】（1）设矩形花圃四周的绿地的宽为m，则矩形花圃的长为m，宽为m，然后根据矩形花圃的面积是矩形绿地面积的—半列出方程，解出并判断符合题意的值，分别代入，计算即可；
（2）设矩形花圃的长为m，根据矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半表示出其宽为m，根据矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半列出方程，解得的值并判断是否符合题意即可得出答案．
【小问1详解】
解：设矩形花圃四周的绿地的宽为m，则矩形花圃的长为m，宽为m，依题意，得：
，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∵
∴不符合题意，应舍去，只取，
∴矩形花圃长为，宽为，
∴矩形花圃的周长为（m）．
【小问2详解】
不能，理由如下：
设矩形花圃的长为m，则它的宽为m，依题意得：
，
整理得：，，
当时，
，不符合题意，
当时，，不符合题意，
∴不能围出面积是矩形绿地面积的一半，且周长是矩形绿地周长的一半的矩形花圃．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．注意：在求得未知数的值以后，应判断是否符合题意．
27. （1）已知是的两条弦，且，如图①，是的直径．求证：；
（2）如图②，连接．请用无刻度的直尺作出的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图③，四边形是的内接四边形，．若的半径为6，，且，则的长度为__________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，，证明，可得，
（2）连接并延长，交于点，连接，则即为所求，由（1）可得 ，继而证明即可求解．
（3）连接，过点作，垂足分别为，证明，设，根据，得出，，，
在中，根据，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接并延长，交于点，连接，则即为所求，
理由如下，
连接,延长交于点
由（1）可知
∴
∵
∴
∵
即
∴
∴即为所求，
（3）如图，连接，过点作，垂足分别为，
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
又
∴
在与中，
∴，
∴
设，∵，
∴，
∴，，
在中，，
即，
解得，，
∴或，
∵，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弦与弧之间的关系，垂径定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
平均数
中位数
众数
甲的射击成绩
①________
8
③_________
乙的射击成绩
8
②__________
9