【专项练习】全套专题数学2023-2024：华益中学八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：华益中学八年级下学期期末数学试卷含解析，共31页。

A．|y|＝xB．y＝x2+2x+1
C．y＝3x+1D．y＝3（x﹣1）2﹣4
2．（3分）若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（ ）
A．k≠﹣2B．k＝±2C．k＝2D．
3．（3分）点A（2，y1）和B（1，y2）都在直线y＝x﹣2上，则y1与y2的关系是（ ）
A．y1≥y2B．y1≤y2C．y1＜y2D．y1＞y2
4．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．矩形的四个内角相等
B．正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴
C．菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2.根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣3）2＝1
7．（3分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．36×25﹣36x﹣25x＝840
B．36x+25x＝840
C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840
D．（36﹣x）（25﹣x）＝840
8．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＝2时，y有最大值﹣1
C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2
D．经过第一、二、四象限
9．（3分）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4D．y＝﹣（x+1）2+4
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴与x轴交点的横坐标为2．下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1，其中正确的结论为（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m+n的值等于 ．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．
14．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2与y轴交点的坐标为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm．
16．（3分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC、BC、AB、OC，若AB＝4cm，四边形OACB的面积为20cm2，则OC的长为 cm．
三．计算题（本大题共6个小题，每小题8分，共18分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
20．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别是边BC，AD的中点，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝8，则平行四边形ABCD的面积为 ．
21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．（8分）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）．
（1）求n、k、b的值；
（2）求C点坐标；
（3）求四边形AOCD的面积．
23．（8分）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1≠x2．
（1）若x1＝3x2＝3，求8a+2b的值；
（2）在（1）的条件下，若该函数在﹣1≤x≤4时，有最小值﹣4，求函数的表达式；
（3）若该抛物线的顶点为点P．与y轴交于点D，经过P、D两点的直线PD交x轴于点E．当，且﹣3≤c≤﹣1时，请求出△ODE面积S的取值范围．
25．（8分）对凸四边形我们进行约定：
若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；
若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；
若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；
若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形；
（1）判断下列说法的正确性，正确的请在括号内打“√”；错误的打“×”
①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形
②内角不是90°的菱形一定是“线垂不等”四边形
③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形
（2）如图，在矩形ABCD中，P是AD边上一点，若∠APC﹣∠ABD＝2∠PCD；
①连接BP，四边形BCDP是“ ”四边形；
②若AB＝4，且AP＝2DP，求AD的长．
（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），且AB＝4，点C（s，n），D（t，n）（s＞t）都在函数图象上，若四边形ABCD是“线垂且等”四边形，求C点坐标．
甲
乙
丙
丁
平均数/cm
561
560
561
560
方差S2
15.5
3.5
3.5
15.6
组别
成绩x（分）
百分比
A组
x＜60
5%
B组
60≤x＜70
15%
C组
70≤x＜80
a
D组
80≤x＜90
35%
E组
90≤x≤100
25%
2023-2024：华益中学八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．|y|＝xB．y＝x2+2x+1
C．y＝3x+1D．y＝3（x﹣1）2﹣4
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：A．当x≠0时，对于每一个x的值，y都有2个值与之相对应，它们互为相反数，不符合函数的定义，
∴A符合题意；
BCD．对于每一个x的值，y都有唯一一个值与之相对应，符合函数的定义，
∴BCD不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的概念，理解并熟练掌握函数的定义是解题的关键．
2．（3分）若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（ ）
A．k≠﹣2B．k＝±2C．k＝2D．
【分析】根据正比例函数的定义得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可．
【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，
∴k+2≠0且k2﹣4＝0，
解得：k＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．
3．（3分）点A（2，y1）和B（1，y2）都在直线y＝x﹣2上，则y1与y2的关系是（ ）
A．y1≥y2B．y1≤y2C．y1＜y2D．y1＞y2
【分析】根据一次函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：∵y＝x﹣2，k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵2＞1，
∴y1＞y2；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．矩形的四个内角相等
B．正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴
C．菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用矩形的对角线的性质、正方形的性质、菱形的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、矩形的四个内角相等，正确，不符合题意；
B、正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴，正确，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，正确，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，轴对称的性质，解题的关键是了解矩形的对角线的性质、正方形的性质、菱形的性质及平行四边形的判定方法等知识，难度不大．
5．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2.根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：因为队员乙和丙的方差最小，但队员乙平均数小，所以丙的成绩好，所以队员丙成绩好又发挥稳定．
故选：C．
【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣3）2＝1
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7．（3分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．36×25﹣36x﹣25x＝840
B．36x+25x＝840
C．（36﹣x）（25﹣x）+x2＝840
D．（36﹣x）（25﹣x）＝840
【分析】设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为（36﹣x）米、宽为（25﹣x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为840平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为（36﹣x）米、宽为（25﹣x）米的矩形，
根据题意得：（36﹣x）（25﹣x）＝840．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＝2时，y有最大值﹣1
C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2
D．经过第一、二、四象限
【分析】依据题意，由抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，又a＝3＞0，从而当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故可判断A；又抛物线开口向上，则当x＝2时，y取最小值为﹣1，故可判断B；依据题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合抛物线的对称轴是直线x＝2，又|3﹣2|＝|1﹣2|，可得y1＝y2，故可判断C；依据题意，当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，则当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，则可判断D．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，
又a＝3＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意．
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意．
由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
又|3﹣2|＝|1﹣2|，
∴y1＝y2，故C错误，不合题意．
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，
∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9．（3分）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4D．y＝﹣（x+1）2+4
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1；
然后向上平移3个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1+3．
即y＝﹣（x+1）2+4，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴与x轴交点的横坐标为2．下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1，其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，
故①正确；
由图象可知：a＞0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＜0．
故②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴b＜a+c．
故③正确；
∵对称轴x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0．
故④错误；
故①②③正确．
故选：B．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m+n的值等于 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：因为m，n是一元二次方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，
所以m+n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．
【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
14．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2与y轴交点的坐标为 （0，3） ．
【分析】取x＝0，求出y的值，即可得出答案．
【解答】解：设x＝0，则y＝（﹣1）2+2＝3，
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是要牢记图象与y轴的交点的求法．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 14 cm．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【解答】解：∵BD＝AD，BE＝EC，
∴DE＝AC＝4cm，DE∥AC，
∵CF＝FA，CE＝BE，
∴EF＝AB＝3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝14cm．
故答案为14．
【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC、BC、AB、OC，若AB＝4cm，四边形OACB的面积为20cm2，则OC的长为 10 cm．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝4cm，四边形OACB的面积为20cm2，
∴，
解得OC＝10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
三．计算题（本大题共6个小题，每小题8分，共18分）
17．（8分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：
＝4+2﹣+3﹣1
＝8﹣．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解题的关键．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）把原方程化为x2﹣4x+4＝2，则（x﹣2）2＝2，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）把原方程化为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，再利用因式分解的方法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x+4＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
∴或，
解得．
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝2.5，x2＝2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法与因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，即可得根的判别式Δ≥0，即可得不等式（﹣2）2+4m≥0，继而求得答案；
（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m，又由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6，即可得方程：22+2m＝11，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2+4m≥0，
解得：m≥﹣1．
故m的取值范围是m≥﹣1；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6，
∴22+2m＝6，
解得：m＝1．
故m的值是1．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
20．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别是边BC，AD的中点，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝8，则平行四边形ABCD的面积为 64 ．
【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由AE＝AF，即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，证△ABE是等边三角形，得出AB＝BE＝8，BC＝16，由锐角三角函数定义得AH＝sin∠ABC•AB＝4，再由平行四边形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝8，
∴BC＝2BE＝16，
AH＝sin∠ABC•AB＝sin60°×AB＝×8＝4，
∴S平行四边形ABCD＝AH•BC＝4×16＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 20 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 D 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【分析】（1）用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以100%可得a的值，最后补全条形统计图即可．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数约300人．
【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
22．（8分）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）．
（1）求n、k、b的值；
（2）求C点坐标；
（3）求四边形AOCD的面积．
【分析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y＝kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y＝x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；
（2）由（1）得y＝3x﹣1，令y＝0，即可推出结论；
（3）根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解．
【解答】解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1），
把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1，
把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2），
把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3，
故答案为：2，3，﹣1；
（2）由（1）得y＝3x﹣1，
∵C点在直线得y＝3x﹣1上，
令y＝0，则3x﹣1＝0，则x＝，
∴C（，0）；
（3）由（1）知，D（1，2），
∵函数y＝kx+b 的图象经过点B（0，﹣1）、D（1，2），
∴，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝3x﹣1，
易知A（0，1），令y＝0，得x＝，
∴C（，0），
连接OD，
则S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×1+××2＝．
【点评】考查了两条直线相交或平行问题，点的坐标，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
23．（8分）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为m，再由题意列出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m，
依题意，得：80（1+m）2＝125，
解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为25%．
（2）由题意，设每个售价为x元，
∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）]
＝（x﹣70）（700﹣5x）
＝﹣5x2+1050x﹣49000
＝﹣5（x﹣105）2+6125．
∴当x＝105时，每天的最大利润为6125．
∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元．
答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
24．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1≠x2．
（1）若x1＝3x2＝3，求8a+2b的值；
（2）在（1）的条件下，若该函数在﹣1≤x≤4时，有最小值﹣4，求函数的表达式；
（3）若该抛物线的顶点为点P．与y轴交于点D，经过P、D两点的直线PD交x轴于点E．当，且﹣3≤c≤﹣1时，请求出△ODE面积S的取值范围．
【分析】（1）求出点A（3，0）、B（1，0），可得抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝ax2﹣4ax+3a，即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝2，再由该函数在﹣1≤x≤4时，有最小值﹣4，分两种情况：若a＞0，若a＜0，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）先求出顶点P的坐标为（），点D的坐标为（0，c），再求出直线PD的解析式y＝+c，然后结合，可得点E的坐标为（，0），然后根据﹣3≤c≤﹣1，可得OE＝，从而得到S＝OD×OE＝﹣，进而得到，然后根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）解：∵x1＝3x2＝3，
∴点A（3，0）、B（1，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝ax2﹣4ax+3a，
∵抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴﹣4a＝b，
∴8a+2b＝8a+2×（﹣4a）＝0；
（2）解：由（1）得：y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵该函数在﹣1≤x≤4时，有最小值﹣4，
若a＞0，
∴当x＝2时，有最小值﹣4，
∴﹣a＝﹣4，即a＝4，
∴函数的表达式为y＝4x2﹣16x+12；
若a＜0，
∵2﹣（﹣1）＞4﹣2，
∴此时当x＝﹣1时，有最小值﹣4，
∴a（﹣1﹣2）2﹣a＝﹣4，即a＝，
∴函数的表达式为y＝+2x﹣．
综上所述，函数的表达式为y＝4x2﹣16x+12或y＝；
（3）解：∵y＝ax2+bx+c＝，
∴顶点P的坐标为（），
当x＝0时，y＝c，
∴点D的坐标为（0，c），即OD＝﹣c，
设直线PD的解析式为y＝kx+m，
∴，解得：，
∴直线PD的解析式为y＝x+c，
对于y＝x+c，当y＝0时，x＝，
∴点E的坐标为（，0），
∵，
∴，
∴b＝﹣6c﹣1，
∴点E的坐标为（，0），即（，0），
∵﹣3≤c≤﹣1，
∴﹣17≤6c+1≤﹣5，﹣6≤2c≤﹣2，
∴，
∴OE＝，
∴S＝＝＝，
∴＝，
∴当时，随的增大而减小，∵﹣3≤c≤﹣1，∴﹣1≤≤，
∴当＝﹣1时，取得最大值，此时＝4，当＝时，取得最小值，此时＝，∴，
∴．
【点评】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握配方法和构建二次函数是解题的关键．
25．（8分）对凸四边形我们进行约定：
若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；
若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；
若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；
若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形；
（1）判断下列说法的正确性，正确的请在括号内打“√”；错误的打“×”
①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形 ×
②内角不是90°的菱形一定是“线垂不等”四边形 √
③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形 √
（2）如图，在矩形ABCD中，P是AD边上一点，若∠APC﹣∠ABD＝2∠PCD；
①连接BP，四边形BCDP是“ 线垂不等 ”四边形；
②若AB＝4，且AP＝2DP，求AD的长．
（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），且AB＝4，点C（s，n），D（t，n）（s＞t）都在函数图象上，若四边形ABCD是“线垂且等”四边形，求C点坐标．
【分析】（1）根据新定义，逐项判断，即可求解；
（2）①设CP，BD交于点E，根据三角形外角的性质以及∠APC﹣∠ABD＝2∠PCD，可得∠CBD＝∠PCD，从而得到PC⊥BD，即可解答；
②证明△ABD∽△DPC，即可求解；
（3）先求出该函数解析式，然后分两种情况，当CD再x轴的下方时；当CD再x轴的上方时，结合新定义，即可求解．
【解答】解：（1）①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形，错误；
②内角不是90°的菱形一定是“线垂不等”四边形，正确；
③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形，正确；
故答案为：×；√；√；
（2）①如图，设CP，BD交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCE+∠PCD＝90°，
∵∠APC﹣∠ABD＝2∠PCD，∠APC＝∠ADC+∠PCD＝90°+∠PCD，
∴90°+∠PCD﹣∠ABD＝2∠PCD，
∴∠ABD+∠PCD＝90°，
∴∠CBD＝∠PCD，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，
∴∠BEC＝90°，
即PC⊥BD，
∴四边形BCDP是“线垂不等”四边形；
故答案为：线垂不等；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠A＝90°，AB＝CD＝4，
设PD＝x，则AP＝2x，AD＝3x，
由①得PC⊥BD，
∴∠ADB+∠BDC＝90°＝∠PCD+∠BDC，
∴∠ADB＝∠PCD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴△ABD∽△DPC，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），且AB＝4，
∴，
∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴b＝2，
把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣2+c，
解得c＝3，
∴该函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当CD再x轴的下方时，如图，设AC，BD交于点F，直线x＝1分别交AB，CD于点G，H，
则，
∵点C（s，n），D（t，n）（s＞t），
∴点C，D关于直线x＝1对称，CD＝s﹣t，
即，
∴点F在直线x＝1上，t＝2﹣s，
∴AF＝BF，DF＝CF，
∵四边形ABCD是“线垂且等”四边形，
∴AC⊥BD，
∴△ABF，△CDF均为等腰直角三角形，
∴，，
∴n＝﹣（s+1），
∵点C（s，n）在函数图象上，
∴﹣（s+1）＝﹣s2﹣2s+3，
解得或（舍去），
∴C的坐标为；
当CD再x轴的上方时，同理点C的坐标为；
综上，点C的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的综合应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 10:24:44；用户：高老师；邮箱：13207316879；学号：50587240甲
乙
丙
丁
平均数/cm
561
560
561
560
方差S2
15.5
3.5
3.5
15.6
组别
成绩x（分）
百分比
A组
x＜60
5%
B组
60≤x＜70
15%
C组
70≤x＜80
a
D组
80≤x＜90
35%
E组
90≤x≤100
25%