【专项练习】全套专题数学2023-2024：雅礼教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：雅礼教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用将学记数法表示为（ ）
A．1342×104B．134.2×105C．1.342×106D．1.342×107
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2+y2＝1
C．x2＝1﹣xD．
3．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（ ）
A．3B．3.5
C．4D．4.5
6．（3分）鞋店对5款运动鞋上周的销售数量进行了统计，如表所示：
鞋店老板决定在下一次进货中多进C款的鞋，影响他决策的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+4通过平移变换可以得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
8．（3分）抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣2）与x轴的两交点之间的距离是（ ）
A．1B．3C．5D．6
9．（3分）一天早上，小南从家出发步行前往学校，途中在早餐店买了份早餐，之后便快步走到学校，这一过程小南走过的路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．下列说法正确的有（ ）个．
①小南家与学校距离为800米；
②小南在早餐店停留了5分钟；
③小南买早餐后快步走的速度是125米/分钟；
④如果小南不买早餐，一直按照之前的速度步行到校，她会比实际情况
早到学校．
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝x2+5x+m上的点，则（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）使函数有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点A点B分别落在点A′、B′，若∠1＝32°，则∠AEF＝ °．
13．（3分）学校组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占60%、面试成绩占40%计算总成绩，小南笔试90分，面试88分，那么她的总成绩为 分．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 ．
15．（3分）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m2+m+2020的值为 ．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①bc＞0；②x＞0时，y随x的增大而增大；③a+b+c＞0；④不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+．
18．（6分）解方程：
（1）3x2＝9；（2）2x2+x﹣2＝0．
19．（6分）如图，平面直角坐标系中直线与直线相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A点坐标；
（2）O为坐标原点，求△AOB的面积．
20．（8分）学校八年级开展了一次环保知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了 名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为 分；
（2）扇形图中D级对应扇形的圆心角为 °；
（3）该校八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2．若以x1，x2的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
22．（9分）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABEC为平行四边形；
（2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝1，BC＝2，求FG的长．
23．（9分）某地2022年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了144亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
24．（10分）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与x轴交于A、B（A在B的左边），A（﹣1，0）与y轴负半轴交于C，且OC＝3OA．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线y＝ax2﹣2ax+c在第四象限内图象上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是（0，﹣7），点D是直线PD与该抛物线唯一的公共点，直线y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于M，N两点，若S△DMN＝6，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接AD和BC，在抛物线上是否存在点Q使∠QBC+∠ADP＝180°，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
甲
乙
丙
丁
9
8.8
8.8
9
S2
0.6
0.8
0.6
1.8
款式
A
B
C
D
E
数量（双）
12
23
50
14
3
销售单价x（元）
22
24
27
销售量y（件）
200
180
150
2023-2024：雅礼教育集团八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用将学记数法表示为（ ）
A．1342×104B．134.2×105C．1.342×106D．1.342×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1342万＝13420000＝1.342×107．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2+y2＝1
C．x2＝1﹣xD．
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．该方程中未知数x的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
D．该方程不是整式方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
3．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【分析】利用平行四边形的性质、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题，符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、四条边都相当的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【解答】解：甲、丁射击成绩的平均环数较大，
∵丁的方差＞甲的方差，
∴甲比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是甲，
故选：A．
【点评】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得BC＝AD＝7；然后利用三角形中位线定理求得．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AD＝7，
∴BC＝AD＝7．
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△EBC的中位线，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解答本题的关键要明确：解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
6．（3分）鞋店对5款运动鞋上周的销售数量进行了统计，如表所示：
鞋店老板决定在下一次进货中多进C款的鞋，影响他决策的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+4通过平移变换可以得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位的解析式为y＝﹣（x+1）2+4﹣3＝﹣（x+1）2+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
8．（3分）抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣2）与x轴的两交点之间的距离是（ ）
A．1B．3C．5D．6
【分析】首先根据题意可得到方程﹣（x+3）（x﹣2）＝0，然后再解方程得到x的值，进而得到交点坐标，从而得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣2）与x轴有两个交点，
∴﹣（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
∴两个交点坐标是（﹣3，0）（2，0），
∴两个交点之间的距离是5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，关键是掌握求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
9．（3分）一天早上，小南从家出发步行前往学校，途中在早餐店买了份早餐，之后便快步走到学校，这一过程小南走过的路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．下列说法正确的有（ ）个．
①小南家与学校距离为800米；
②小南在早餐店停留了5分钟；
③小南买早餐后快步走的速度是125米/分钟；
④如果小南不买早餐，一直按照之前的速度步行到校，她会比实际情况早到学校．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据图像即可判断选项．
【解答】解：由图象可知，小南家与学校距离为800米，
小南在早餐店停留的时间为10﹣5＝5（分钟），
小南买早餐后快步走的速度是（800﹣300）÷（14﹣10）＝125（米/分钟），
如果小南不买早餐，一直按照之前的速度步行到校的时间为800÷（300÷5）＝（分钟），
＜14，故如果小南不买早餐，一直按照之前的速度步行到校，她会比实际情况早到学校．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据图象得知重要信息是解题的关键．
10．（3分）已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝x2+5x+m上的点，则（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，利用图象法解决问题．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，图象如图所示，
观察图象可知：y3＞y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）使函数有意义的x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意得x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
12．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点A点B分别落在点A′、B′，若∠1＝32°，则∠AEF＝ 106 °．
【分析】由矩形ABCD得AD∥BC，根据折叠的性质，结合平角为180°，得计算，根据“两直线平行，同旁内角互补”，则∠AEF＝180°﹣∠EFB，计算得出答案即可．
【解答】解：∵把矩形ABCD沿EF折叠，使点A点B分别落在点A′、B′，∠1＝32°，
∴AD∥BC，
∴，
∴∠AEF＝180°﹣∠EFB＝180°﹣74°＝106°，
故答案为：106．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），平行线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）学校组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占60%、面试成绩占40%计算总成绩，小南笔试90分，面试88分，那么她的总成绩为 89.2 分．
【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【解答】解：90×60%+88×40%＝89.2（分），
即她的总成绩为89.2分．
故答案为：89.2．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为 （2，﹣12） ．
【分析】先把y＝x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x﹣2）2﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣8
＝x2﹣4x+4﹣12
＝（x﹣2）2﹣12，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣8的顶点坐标为（2，﹣12）．
故答案为：（2，﹣12）．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
15．（3分）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m2+m+2020的值为 2024 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+m＝4，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣4＝0的一个根，
∴m2+m﹣4＝0，
∴m2+m＝4，
∴m2+m+2020
＝4+2020
＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①bc＞0；②x＞0时，y随x的增大而增大；③a+b+c＞0；④不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；其中正确的是 ① .（填序号）
【分析】根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵函数图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝＝1，
∵a＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，正确，符合题意；
②由①知，抛物线的对称轴x＝﹣＝＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
③由函数图象可知，当x＝1时，a+b+c＜0，原说法错误，不符合题意；
④由函数图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3，原说法错误，不符合题意．
故答案为：①．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，能利用函数图象正确判定a，b，c的符号以及不等式解集是解题关键，体现了初中数学中的重要思想﹣﹣数形结合思想．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+．
【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：﹣12024﹣+﹣
＝﹣1﹣+1+3﹣4
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）解方程：
（1）3x2＝9；
（2）2x2+x﹣2＝0．
【分析】（1）求出方程的解即可；
（2）利用公式法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3x2＝9，
x2＝，
x＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）2x2+x﹣2＝0．
Δ＝1+16＝17＞0，
x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．（6分）如图，平面直角坐标系中直线与直线相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A点坐标；
（2）O为坐标原点，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据一次函数与方程组的关系求解；
（2）根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）解得：，
∴A（3，1）；
（2）当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝6，
∴B（6，0），
∴△AOB的面积为：＝3．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，掌握一次函数与方程组的关系和三角形的面积公式是解题的关键．
20．（8分）学校八年级开展了一次环保知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了 40 名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为 9 分；
（2）扇形图中D级对应扇形的圆心角为 36 °；
（3）该校八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，根据中位数的定义即可求出中位数；
（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用360°乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数．
（3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数．
【解答】解：（1）一共抽取了12÷30%＝40人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，
故答案为：40，9；
（2）D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：360°×10%＝36°，
故答案为：36；
（3）（人），
∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有520人．
【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2．若以x1，x2的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x1•x2＝m+1，又由菱形的面积为，即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得x1•x2＝m+1，
∵菱形面积为，
∴，
解得m＝3，
所以m的值为3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
22．（9分）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABEC为平行四边形；
（2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝1，BC＝2，求FG的长．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，进而可得AB∥CE，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形ABEC为平行四边形；
（2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半”即可求出FG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵E点在DC的延长线上，
∴AB∥CE，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BG＝DG，AC＝BD，即G点是BD中点，
∵AB＝1，BC＝2，
∴，
∴，
∵DF⊥BE，
∴∠BFD＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（9分）某地2022年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了144亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据“2022年植黄桃100亩，到今年种植了144亩”列方程求解；
（2）①根据待定系数法求解；
②根据“每天的销售利润为1200元”列方程求解．
【解答】解：（1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝144，
∴1+x＝1.2或1+x＝﹣1.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不符合题意，舍去）．
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为20%；
（2）①设y与x之间的函数关系式为：ykx+b，
则，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+420；
②由题意得：（x﹣20）（﹣10x+420）＝1200，
解得：x＝30或x＝32（不合题意，舍去），
答：销售单价应定为30元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和找到相等关系是解题的关键．
24．（10分）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 ① （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围．
【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案；
（2）由y＝x2+mx+n的顶点恰好是“零和点”，求出的顶点，再由y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），得到4+2m+n＝0，联立方程组求解即可得到答案；
（3）由“零和函数”定义，联立，得到ax2+（b+1）x+c＝0，由根与系数关系及得到（b+1）2＝5a2﹣15a，从而将化为M＝﹣（a﹣2）2+9结合Δ＞0，利用二次函数图象与性质即可得到答案．
【解答】解：（1）若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，据此联立得：
，
解得，即函数y＝2x﹣1的图象与直线y＝﹣x有交点，为，由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，
则x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程组无解，即函数y＝x2+x+4的图象与直线y＝﹣x无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，
∴的顶点为，
∴，
∵y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），
∴4+2m+n＝0，
联立，
则m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函数”，
∴或，
∴该二次函数的解析式y＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），
∴联立，
则﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0，
∴，，
∵，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
∴，则（b+1）2＝5a2﹣15a，
∴
＝
＝
＝
＝a﹣a2+3a+5
＝﹣a2+4a+5
＝﹣（a﹣2）2+9，
∵有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（b+1）2+30a＞0，
∴b2+2b+1+30a＞0，
∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0，
∴a2+3a＞0，
∴a（a+3）＞0，
∵题中已知条件a＜0，
∴a＜﹣3，
∴M的取值范围是M＜﹣16，
∴当a＜0时，M随着a的增大而增大，即M的取值范围是M＜﹣16．
【点评】本题考查函数综合，涉及新定义函数、二次函数图象与性质、解方程组等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，理解“零和函数”定义是解决问题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与x轴交于A、B（A在B的左边），A（﹣1，0）与y轴负半轴交于C，且OC＝3OA．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线y＝ax2﹣2ax+c在第四象限内图象上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是（0，﹣7），点D是直线PD与该抛物线唯一的公共点，直线y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于M，N两点，若S△DMN＝6，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接AD和BC，在抛物线上是否存在点Q使∠QBC+∠ADP＝180°，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再将A、C两点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c中，利用待定系数法即可求出a、c的值；
（2）①由a＝1，c＝﹣3得抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．设PD：y＝k1 x﹣7，联立y＝x2﹣2x﹣3和y＝k1x﹣7得一元二次方程，由Δ＝0可求出k1的值，进而求出D点的坐标．
②过点D作y轴的平行线交MN于点E，求出E点坐标是（2，3），则可得DE＝6．设M，N两点的横坐标是m，n，联立y＝x2﹣2x﹣3和y＝tx﹣2t+3，可得x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，则可得m+n＝2+t，mn＝2 t﹣6，进而可得|m﹣n|的值，，即可求出t的值．
（3）由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）可得∠OCB＝∠HAD＝45°、，又由∠QBC+∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，得∠QBC＝∠ADF，则可得△CGB≌△AFD，则，则可得．求出直线BQ的表达式为，再与抛物线y＝x2﹣2x﹣3联立，求出交点坐标，即可得Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c中得：
，
解得：a＝1，c＝﹣3．
（2）①∵a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
设：PD：y＝k1 x﹣7，
联立，
则x2﹣（2+k1）x+4＝0，
∵两个函数只有唯一公共点，
∴Δ＝0，
∴，
解得：x2﹣4x+4＝0k1＝2或﹣6，
∵点D在第四象限，
∴k1＞0，
∴k1＝2，
∴，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3）；
②过点D作y轴的平行线交MN于点E，
∵D（2，﹣3），
∴E点横坐标是2，
∴E点坐标是（2，3），
∴DE＝6，
设：M，N两点的横坐标是m，n，
联立，
得：x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，
则m+n＝2+t，mn＝2 t﹣6，
∵，
∴，
∵，
∴，
两边平方得t2﹣4t﹣12＝0，
∴t1＝﹣2，t2＝6；
（3）延长PD交x轴于点F，过D点作DH⊥x轴于H点，设BQ与y轴的交点为G点，如图2，
将y＝0代入PD直线的解析式y＝2x﹣7中得：x＝3.5，
∴得F（3.5，0），
由y＝x2﹣2x﹣3＝0得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0），
又∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝45°，，
∵DH⊥x，且D（2，﹣3），
∴DH＝AH＝3，
∴∠HAD＝45°，，
∴∠OCB＝∠HAD，BC＝AD，
∵∠QBC+∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，
∴∠QBC＝∠ADF，
∴△CGB≌△AFD（ASA），
∴CG＝AF，
∵AF＝3.5﹣（﹣1.5）＝4.5，
∴CG＝4.5，
∴，
∴，
设直线BQ的表达式为：，
则，
解得，
∴直线BQ的表达式为：，
联立，
得，，
∵B（3，0），
∴．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数，二次数与几何的综合运用．用待定系数法求二次函数的表达式，求三角形面积，全等三角形的判定和性质，求一次函数表达式．正确的作出辅助线，掌握“三角形的面积＝水平宽×铅垂高”是解题的关键．
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乙
丙
丁
9
8.8
8.8
9
S2
0.6
0.8
0.6
1.8
款式
A
B
C
D
E
数量（双）
12
23
50
14
3
销售单价x（元）
22
24
27
销售量y（件）
200
180
150