2023-2024学年福建省福州重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析

这是一份2023-2024学年福建省福州重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，数据0.00000201用科学记数法表示为( )
A. 20.1×10−3B. 2.01×10−4C. 0.201×10−5D. 2.01×10−6
3.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 12B. 6C. 8D. 9
4.下列运算错误的是( )
A. a⋅a3=a4B. a8÷a2=a6C. (−a2)3=a6D. (−3a)2=9a2
5.点M(−5,2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (−5,−2)B. (5,−2)C. (5,2)D. (−5,2)
6.下列命题的逆命题成立的是( )
A. 对顶角相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D. 两直线平行，同位角相等
7.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是( )
A. (−x−y)(x+y)B. (3x−y)(3x+y)C. (−x+y)(x−y)D. (3x−y)(y−3x)
8.如图，在框中解分式方程的4个步骤中，其中根据等式基本性质的有( )
解分式方程：xx−2−3−xx−2=1．
解：x−(3−x)=x−2……①
x−3+x=x−2……②
x+x−x=−2+3……③
x=1……④
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
9.平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为( )
A. 20B. 16C. 15D. 12
10.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理.以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABDE，正方形ACHI，正方形BCGF，连接CE.若BC=8，AB=10，则△BCE的面积为( )
A. 40
B. 32
C. 24
D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式 a−7有意义，则a的取值范围为______．
12.分解因式：x2y−9y= ______．
13.等腰三角形的一个角等于70°，这个等腰三角形的顶角的度数是______．
14.如图，在正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则∠CAD−∠BAC的度数为______．
15.已知m= 7−2，则m3+4m2+m−1的值为______．
16.如图，△ABC中，∠A=15°，AB=BC，点D，E在边AC上，∠DBE=75°，若AD=2,CE=3 3，则DE长为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2024−π)0−(13)−1+364；
(2) 18÷ 3− 24+( 7− 2)( 7+ 2)．
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
19.(本小题8分)
先化简：(a−1−3a+1)÷a2−4a+4a+1，并从0，−1，2中选一个合适的数作为a的值代入并求值．
20.(本小题8分)
进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用11天时间完成5400米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“是的，我们加固1200米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍.”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？
21.(本小题8分)
如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)求点C到直线A1C1的距离．
22.(本小题10分)
如图，平行四边形ABCD中，∠A=90°，将四边形ABCD沿对角线BD折叠，点C时应点E，线段BE交AD于点F．
(1)用尺规补全图形；
(2)若AB=2，BC=8，求BF．
23.(本小题10分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，△ADC与△ABC关于AC对称，E为边AC上一点，连接BE并延长交CD于点F，作AG⊥BF交BC于点G．
(1)求证：AG=BF；
(2)探究：当ACBG为何值时，点G与点F关于AC对称．
24.(本小题12分)
图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为S1．

(1)请用含a，b的代数式表示S1；
(2)若图2中的正方形面积ABCD面积为24，S1=9，求图1中长方形的周长；
(3)将7个这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图中阴影部分的面积为S2，若S2=50，S1=18，求图1中长方形的面积．
25.(本小题14分)
如图，在等边△ABC中，AB=6，CD为角平分线，点P为边AC上一点，连接PD．

(1)当P为AC中点时，求PD长；
(2)如图1，连接PB，求BP2+AP2的最小值；
(3)如图2，过D点的直线l与∠ACB的边CA，CB分别交于点E，F，当直线l绕点D旋转时，1CE+1CF是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解即可得到答案．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：0.00000201=2.01×10−6．
故选：D．
利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10−n，其中1≤|a|<10是关键．
3.【答案】B
【解析】解：A． 12的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 6是最简二次根式，故本选项符合题意；
C. 8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 9的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】C
【解析】解：A.a⋅a3=a4，原题正确，故此选项不合题意；
B.a8÷a2=a6，原题正确，故此选项不合题意；
C.(−a2)3=−a6，原题错误，故此选项符合题意；
D.(−3a)2=9a2，原题正确，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：点M(−5,2)关于y轴对称的点的坐标是：(5,2)．
故选：C．
直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；
D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，
故选：D．
写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：A、(−x−y)(x+y)=−(x+y)(x+y)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、(3x−y)(3x+y)，符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、(−x+y)(x−y)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、(3x−y)(y−3x)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2的结构特征判断即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①是利用等式性质，两边同乘(x−2)去分母而得；
③是利用等式性质移项而得；
即根据等式基本性质的有①③，
故选：C．
根据解分式方程的步骤进行判断即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，一边上的高为4，
∴BC边上的高为4，
∴平行四边形ABCD的面积=BC×4=3×4=12，
故选：D．
由题意得出BC边上的高为4，再由平行四边形面积公式列式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的面积公式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AF，如图，
∵四边形ABED和四边形BCGF都是正方形，
∴AB=EB，BF=BC，∠ABE=∠CBF，
∴∠EBC=∠ABF，
∴△BCE≌△BFA，
∵BF=BC=8，
∴S△BCE=S△BFA=12BE⋅BC=12×8×8=32，
故选：B．
连接AF，证明△BCE≌△BFA，再求出△BFA的面积即可．
本题以勾股定理证明图形为背景，考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形面积计算，通过连接AF构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】a≥7
【解析】解：由题意得，a−7≥0，
解得a≥7．
故答案为：a≥7．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】y(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=y(x2−9)
=y(x+3)(x−3)．
故答案为：y(x+3)(x−3)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】70°或40°
【解析】解：①70°可为顶角，此时顶角度数是70°，
②当底角为70°时，顶角度数是：180°−2×70°=40°，
故答案为：70°或40°．
根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和即可进行解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和，解题时注意进行分类讨论．
14.【答案】45°
【解析】解：作点B关于AC的对称点E，连接AE，DE，CE，
∴AB=AE，BC=CE，
∴△ABC≌△AEC(SSS)，
∴∠CAB=∠CAE；
∵AF=EG=3，EF=DG=1，∠AFE=∠EGD=90°，
∴△AEF≌△EDG(SAS)，
∴∠EAF=∠DEG，AE=DE，
∵∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠DEG=90°，即∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，即∠DAC−∠BAC=∠DAC−∠EAC=45°．
故答案为：45°．
作点B关于AC的对称点E，连接AE，DE，CE，可证△ABC≌△AEC；△AEF≌△EDG，由此可证明△AED是等腰直角三角形，则∠CAD−∠BAC=45°．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等相关知识，构造得出∠DAC−∠BAC=∠DAE是解题关键．
15.【答案】4 7−9
【解析】解：∵m= 7−2，
∴m3+4m2+m−1
=m2(m+4)+m−1
=( 7−2)2( 7−2+4)+ 7−2−1
=(7+4−4 7)( 7+2)+ 7−3
=(11−4 7)( 7+2)+ 7−3
=11 7+22−28−8 7+ 7−3
=4 7−9．
直接把m= 7−2代入代数式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】 13
【解析】解：∵∠A=15°，AB=BC，
∴∠A=∠BCA=15°，
∴∠ABC=150°，
如图，将△ABD绕点B顺时针旋转150°，得到△BGF，连接EF，过点F作FG⊥AC于G，
∴BD=BF，∠ABD=∠GBF，∠BCF=∠A=15°，FC=AD=2，
∴∠FCG=30°，∠DBF=∠ABC=150°，
∵FG⊥AC，
∴FG=12FC=1，CG= 3FG= 3，
∵CE=3 3，
∴EG=EC−CG=2 3，
∴EF= FG2+EG2= 12+1= 13，
∵∠DBE=75°，∠DBF=150°，
∴∠DBE=∠EBF，
又∵DB=BF，BE=BE，
∴△DBE≌△FBE(SAS)，
∴DE=EF= 13，
故答案为： 13．
由旋转的性质可得BD=BF，∠ABD=∠GBF，∠BCF=∠A=15°，FC=AD=2，由“SAS“可证△DBE≌△FBE，可得DE=EF= 13．
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2024−π)0−(13)−1+364
=1−3+4
=2；
(2) 18÷ 3− 24+( 7− 2)( 7+ 2)
= 6−2 6+(7−2)
=5− 6．
【解析】(1)根据零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则以及立方根的运算法则计算即可；
(2)根据平方差公式以及二次根式的运算法则计算即可．
本题考查了平方差公式，实数的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AD/​/BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ADO=∠OBC．
又OA=OC，
∴△AOD≌△COB．
∴OA=OC，OB=OD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
【解析】根据平行线的性质，得∠OAD=∠OCB，∠ADO=∠BCO，结合OA=OC，可证明△AOD≌△BOC，则OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形．
此题综合运用了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
19.【答案】解：(a−1−3a+1)÷a2−4a+4a+1
=(a2−1a+1−3a+1)÷a2−4a+4a+1
=(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2
=a+2a−2，
∵a+1≠0，a−2≠0，
∴a≠−1，a≠0，
∴a=0，
当a=0时，原式=2−2=−1．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设该驻军原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，
由题意得：1200x+5400−12002x=11，
解得：x=300，
经检验，x=300是原方程的解，且符合题意，
答：该驻军原来每天加固河堤300米．
【解析】设该驻军原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，根据“用11天时间完成5400米长的大坝加固任务，加固1200米后，采用新的加固模式”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)设点C到A1C1的距离为h．
∵A1C1= 12+42= 17，
∴S△CA1C1=12×2×4=12× 17×h，
∴h=8 1717，
∴点C到A1C1的距离为8 1717．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用面积法求解．
本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
22.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵将四边形ABCD沿对角线BD折叠，
∴BE=BC，∠EBD=∠CBD，
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠EBD，
∴BF=DF，
∵AB2+AF2=BF2，
∴4+(8−BF)2=BF2，
∴BF=174．
【解析】(1)过点C作BD的垂线CO，在CO的延长线上截取OE=OC，连接DE，BE，可得△BED；
(2)由勾股定理可求BF的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：设AG交BF于点H，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∵△ADC与△ABC关于AC对称，
∴∠DCA=∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴∠ABG=∠BCF=90°，
∵AG⊥BF于点H，
∴∠AHB=90°，
∴∠BAG=∠CBF=90°−∠BAF，
在△ABG和△BCF中，
∠BAG=∠CBFAB=BC∠ABG=∠BCF，
∴△ABG≌△BCF(ASA)，
∴AG=BF．
(2)解：当ACBG=2 2时，点G与点F关于AC对称，
理由：连接GF，
∵ACBG=2 2，
∴AC=2 2BG，
∵AC= AB2+BC2= BC2+BC2= 2BC，
∴ 2BC=2 2BG，
∴BC=2BG，
∴BG=CG，
∵△ABG≌△BCF，
∴BG=CF，
∴CG=CF，
∵CA平分∠GCF，
∴AC垂直平分GF，
∴点G与点F关于AC对称．
【解析】(1)设AG交BF于点H，由AB=BC，∠ABC=90°，得∠BCA=∠BAC=45°，由轴对称的性质得∠DCA=∠BCA=45°，则∠BCD=90°，而∠AHB=90°，则∠BAG=∠CBF=90°−∠BAF，即可根据“ASA“证明△ABG≌△BCF，得AG=BF；
(2)解：当ACBG=2 2，则AC=2 2BG，而AC= 2BC，所以 2BC=2 2BG，则BC=2BG，可证明BG=CG，由全等三角形的性质得BG=CF，所以CG=CF，而CA平分∠GCF，由等腰三角形的“三线合一”得AC垂直平分GF，所以点G与点F关于AC对称，则当ACBG=2 2时，点G与点F关于AC对称．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，证明△ABG≌△BCF是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题知，
图2中的阴影部分是正方形，且其边长为a−b，
所以S1=(a−b)2．
(2)图2中的正方形ABCD的边长为c，
所以c2=24，
又因为c2=a2+b2，
所以a2+b2=24；
又因为S1=(a−b)2=9；
则a2−2ab+b2=9，
所以2ab=15，
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=24+15=39，
则a+b= 39，
所以2(a+b)=2 39，
故图1中长方形的周长为2 39．
(3)由S2=50得，
(2a+2b)(a+b)−7ab=50，
则2(a+b)2=50+7ab．
又因为S1=18，
所以(a−b)2=18，
则a2+b2=2ab+18，
所以2(2ab+18+2ab)=50+7ab，
则ab=14．
所以图1中长方形的面积为14．
【解析】(1)用含a，b的代数式表示出中间阴影部分的边长即可．
(2)根据题意可得出a2+b2及(a−b)的值，利用整体思想即可解决问题．
(3)根据S1和S2的值，再结合整体思想即可求出ab的值，进而解决问题．
本题考查列代数式，能用含a，b的代数式表示出图2及图3中阴影部分的面积是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，CD是角平分线，P是AC的中点，
∴AD=BD，BP⊥AC，
∴∠APB=90°，
∴PD=12AB=3，
(2)如图1，

作PX⊥AB于X，
设AX=a，则BX=6−x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴PX= 3AX= 3a，
∴BP2+AP2=( 3a)2+(6−a)2+a2+( 3a)2=8(a−34)2+31.5，
∴当a=34时，BP2+AP2的最小值为：31.5；
(3)如图2，

1CE+1CF=13，理由如下：
作AW//BC交EF于W，
∴∠DAW=∠B，△EAW∽△ECF，
∴AWCF=AECE，
∵∠ADW=∠BDF，AD=BD，
∴△ADW≌△BDF(ASA)，
∴AW=BF，
设BF=AW=m，
∴CF=6−m，
∴m6−m=AECE，
∴(6−m)−m6−m=CE−AECE=6CE，
∴1CE=2m−66(m−6)，
∴1CE+1CF=2m−66(m−6)+16−m=13．
【解析】(1)可推出PD是直角三角形APB斜边上的中线，从而得出结果；
(2)作PX⊥AB于X，设AX=a，则BX=6−x，PX= 3AX= 3a，从而BP2+AP2=( 3a)2+(6−a)2+a2+( 3a)2=8(a−34)2+31.5，进而得出结果；
(3)作AW//BC交EF于W，可推出△EAW∽△ECF，△ADW≌△BDF，从而AW=BF，设BF=AW=m，CF=6−m，从而m6−m=AECE，从而表示出CE，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．