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北师大版八年级数学上册专题8.2期末押题卷同步练习(学生版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学上册专题8.2期末押题卷同步练习(学生版+解析)，共32页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．3,3B．3,2C．0,3D．1,3
2．（3分）（2023下·广东广州·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A．2.5B．5−1C．10−1D．5
3．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线y1=mx−n与y2=nx−m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2023下·河南南阳·八年级统考期末）表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）（2023上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在边长为1的4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC如图，则点A到边BC的距离为（ ）
A．3B．32C．4D．3
6．（3分）（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=3，S2=1，S3=7，则S4为（ ）
A．2B．3C．5−3D．6−23
7．（3分）（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−12x和点P1,0，过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（ ）
A．−26B．−27C．−214D．−215
8．（3分）（2023下·八年级单元测试）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1992+11002，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
9．（3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接AF，DE，并延长DE交AF于点K，连接KG．若AH=2DH=22，则KG的长为（ ）
A．3B．2C．5D．22
10．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，那么关于x，y的二元一次方程组3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11中的x+yx−2y的值为 ．
12．（3分）（2023下·四川南充·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b−a=2，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
13．（3分）（2023下·山东滨州·八年级统考期末）已知平面直角坐标系中，A3,4，B−2,1，C1,0，点P是x轴上一动点，若S△PBC=13S△ABC，则P点的坐标为 ．
14．（3分）（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2023= ，OPn= (n为自然数，且n>0).
15．（3分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180∘，点E在AC上，若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44∘，则∠DAC的度数为 ．
16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）（1）93−712+48；
（2）6×13−16×18．
18．（6分）（2023上·广东深圳·八年级校考期末）解方程（组）：
(1)3x−5y=74x+2y=5；
(2)4x−1−31+y=1x2+y3=1．
19．（8分）（2023下·北京房山·八年级统考期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．
b．八年级学生成绩在80≤x＜90这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)八年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
20．（8分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）【问题探究】
(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
①请结合图1，试说明2+1>5；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较5+22与29的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较5+22+17与34的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段AB=8，P为线段AB上的任意一点，设线段AP=x．则x2+4+(8−x)2+16是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点P的位置；如果没有，请说明理由．
21．（8分）（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
22．（8分）（2023下·河北保定·八年级统考期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由A顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米；如图为S1（千米）和t（小时）关系的部分图像；
(1)A、B两港口的距离是______千米；
(2)求甲船在A、B两个港口之间往返一次S1（千米）和t（小时）所对应的关系式；
甲
乙
丙
丁
平均分
98
95
98
96
方差
1.2
0.8
0.8
1.0
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84
期末押题卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．3,3B．3,2C．0,3D．1,3
【答案】D
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案．
【详解】解：∵表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，
∴可得平面直角坐标系如图所示：
∴棋子“炮”的点的坐标为：1,3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（3分）（2023下·广东广州·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A．2.5B．5−1C．10−1D．5
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=1，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC=AB2+BC2=32+12=10，
∴AM=AC=10，
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为：10−1．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、实数与数轴，矩形的性质，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线y1=mx−n与y2=nx−m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的中的m,n的符号，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由y1=mx−n图象可知m<0，n<0；由y2=nx−m图象可知m<0，n>0，A错误；
B．由y1=mx−n图象可知m>0，n<0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0，B正确；
C．由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m<0，n>0，C错误；
D．由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0，D错误，
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
4．（3分）（2023下·河南南阳·八年级统考期末）表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】一组数据的方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定；再结合平均数，进行判断即可．
【详解】解：由题意得
x甲=x丙>x丁>x乙，
∴甲和丙的平均数最高，
∵ S甲2>S丁2>S乙2=S丙2，
∴乙和丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差应选丙参赛．
【点睛】本题考查了根据平均数和方差的意义进行决策，理解方差的意义是解题的关键．
5．（3分）（2023上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在边长为1的4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC如图，则点A到边BC的距离为（ ）
A．3B．32C．4D．3
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角形的面积为3，即可求出点A到边BC的距离．
【详解】解：∵BC=12+12=2，S△ABC=3，
又∵S△ABC=12⋅BC⋅ℎ，
∴点A到边BC的距离h为62=32，
故选B．
【点睛】此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式.
6．（3分）（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=3，S2=1，S3=7，则S4为（ ）
A．2B．3C．5−3D．6−23
【答案】B
【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合AB2+BC2=AC2=CD2−AD2, 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案．
【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴S1=12π·12AB2=18πAB2，
S2=12π·12BC2=18πBC2，
S3=12π12CD2=18πCD2,
S4=12π12AD2=18πAD2,
∴S1+S2=18πAB2+18πBC2=18πAB2+BC2，
S3−S4=18πCD2−18πAD2=18πCD2−AD2，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴AB2+BC2=AC2=CD2−AD2,
∴18πAB2+BC2=18πCD2−AD2，
∴S1＋S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3＋1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．
7．（3分）（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−12x和点P1,0，过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（ ）
A．−26B．−27C．−214D．−215
【答案】B
【分析】点P1,0，P1在直线y=x上，得到P11,1，求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，得到P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，同理，P3的横坐标为−2=−21，P4的横坐标为4=22，P5的横坐标为22，P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，……，求得P4n的横坐标为22n，于是得到结论．
【详解】解：∵过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，
∴P1在直线y=x上，
∴P11,1，
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，
∵P2在直线y=−12x上，
∴1=−12x，
∴x=−2，
∴P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，
∵P2P3∥y轴，
∴P3的横坐标为−2=−21，且P3在直线y=x上，
∴y=−2，
∴P3−2,−2，
∵P3P4∥x轴，
∴P4的纵坐标=P3的纵坐标=−2，且P4在直线y=−12x上，
∴−2=−12x，
∴x=4，
∴P44,−2，即P4的横坐标为4=22，
∵P4P5∥y轴，
∴P5的横坐标为4=22，且P5在直线y=x上，
即：P1的横坐标为1，
P2的横坐标为−21，P3的横坐标为−21，
P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，
用同样的方法可得：
P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，
P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，
……，
∴P4n的横坐标为22n，
∴P12的横坐标为22×3=26，P13的横坐标为26，
∴P14的横坐标为−27，P15的横坐标为−27．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键．
8．（3分）（2023下·八年级单元测试）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1992+11002，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
【答案】B
【分析】由1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1，代入数值，求出S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002=99+1-1100，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵1+1n2+1(n+1)2
=n2n+12+n2+n+12nn+1
=1+n+n22nn+1
=1+n+n2n(n+1)
=1+1n−1n+1，
∴S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002
=1+11−12+1+12−13+⋯+1+199−1100
=99+1−1100
=100-1100，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1是解答本题的基础．
9．（3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接AF，DE，并延长DE交AF于点K，连接KG．若AH=2DH=22，则KG的长为（ ）
A．3B．2C．5D．22
【答案】A
【分析】过点K作KM⊥CF，与CF的延长线交于点M，由图形关系求得AE=EF=FG=2，再求得AK=KF=22EF，MK=MF=22KF，求得MK与MF，进而由勾股定理求得结果．
【详解】解：过点K作KM⊥CF，与CF的延长线交于点M，
∵AH=2DH=22，AH=DG，
∴DH=GH=2，
∵EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE=2，AE=AH−HE=22−2=2，
∴DH=HE，
∴∠AEK=∠HED=∠HDE=45°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEK=∠FEK=45°，
∴AE=EF=2，
∴AF=AE2+EF2=2，AK=KF=12AF=12×2=1，∠AFE=45°，
∵∠EFM=90°，
∴∠MFK=90°−∠EFK=45°，
又∵KM⊥CF，
∴△MFK是等腰直角三角形，
∴MK=MF=22KF=22，
∴Rt△MGK中，KG=MK2+MG2=222+22+22=5．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．
10．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根据AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCG+∠GCK=180°，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠D+∠DCG+180°−2∠GKC=180°，
∴∠D+∠DCG=2∠GKC，
又∵AD∥BC，
∴∠AGK=∠CKG，
∴∠D+∠DCG=2∠AGK，
要使GK∥CD，就要使∠D=∠AGK且∠D=∠DCG，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，那么关于x，y的二元一次方程组3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11中的x+yx−2y的值为 ．
【答案】56
【分析】根据二元一次方程组解的定义求出a、b的值，再代入方程组得到一个关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，
∴3×5−6a=55+6b=11，
解得：a=53b=1，
将a=53b=1代入3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11得43x+193y=52x−y=11，
解得x=163y=−13，
∴x+yx−2y=163+−13163+23=56，
故答案为：56．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
12．（3分）（2023下·四川南充·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b−a=2，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
【答案】8
【分析】由直角三角形的面积可求出ab=30，再把b−a=2两边平方得a2+b2=2ab+4=64，再结合勾股定理可知a2+b2=c2，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴12ab=15，
∴ab=30，
又b−a=2，
∴b−a2=22，
整理得，a2+b2=2ab+4=64，
又a2+b2=c2，
∴c2=64，
解得，c=8或−8（负值舍去），
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a2+b2的值．
13．（3分）（2023下·山东滨州·八年级统考期末）已知平面直角坐标系中，A3,4，B−2,1，C1,0，点P是x轴上一动点，若S△PBC=13S△ABC，则P点的坐标为 ．
【答案】−113，0或173，0/173，0或−113，0
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，则S△ABC=S梯形ABED−S△ACD−S△BEC进而可得S△PBC=13S△ABC=73，设P点的坐标为m,0，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵ A3,4，B−2,1，C1,0，
∴ BE=1，AD=4，ED=3−−2=5，EC=1−−2=3，CD=3−1=2，
∴ S△ABC=S梯形ABED−S△ACD−S△BEC=12×1+4×5−12×3×1−12×2×4=7，
∴ S△PBC=13S△ABC=73，
设P点的坐标为m,0，
∵ C1,0，
∴ CP=1−m，
∴ S△PBC=12CP⋅BE=12×1−m×1=73，
解得m=−113，或m=173，
故答案为：−113，0或173，0．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，利用割补法求出S△ABC．
14．（3分）（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2023= ，OPn= (n为自然数，且n>0).
【答案】 2506 n+1
【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2023的长．
【详解】解：由勾股定理得：OP1=2，OP2=3；OP3=2；
OP4=22+12=5；
依此类推可得OPn=n+1，
∴OP2023=2023+1=2024=2506.
故答案为：2506，n+1.
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是由已知数据找到规律．
15．（3分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180∘，点E在AC上，若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44∘，则∠DAC的度数为 ．
【答案】67°
【分析】根据题意，设∠ABE=α，则∠CBE=2α，在ΔDAC中，∠DCA=∠DAC=90°−α，证AD∥BC，由AD∥BC，得∠DAB+∠ABC=180°，从而有134°−α+3α=180°，解得α=23°，最后由∠DAC=90°−α，求得∠DAC的值．
【详解】解：∵∠ABE:∠ABC=1:3，
∴∠ABE:∠CBE=1:2，
设∠ABE=α，则∠CBE=2α，
∵∠CBE=∠D，
∴∠D=2α，
∵在ΔDAC中，
∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
又∵∠D=2α，∠DCA=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC=90°−α．
∵∠ACD+∠ACF=180∘，∠ACB+∠ACF=180∘，
∴∠ACD=∠ACB，
∵∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠DAC=90°−α，∠BAC=44∘，
又∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ABE=α，∠CBE=2α，
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=134°−α，∠ABC=∠ABE+∠EBC=3α，
∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴134°−α+3α=180°，
解得，α=23°，
∵∠DAC=90°−α，
∴∠DAC=90°−23°=67°，
故答案为：67°
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．
16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．
【答案】110或70
【分析】分两种请况：当点N在射线OA上运动时；当点N在射线OB上运动时；然后分别进行计算，即可解答．
【详解】分两种请况：
当点N在射线OA上运动时，如图：
延长CO'到D，
∵∠BOC=70°，
∴∠NOC=180°−∠BOC=110°，
由折叠得：∠NO'M=∠NOM=110°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠DO'N，
∴∠CO'M+∠DO'N=180°−∠NO'M=70°，
∴∠CO'M+∠ONO'=70°；
当点N在射线OB上运动时，如图：
延长CO'到E，
由折叠得：∠BOC=∠NO'M=70°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠EO'N，
∴∠CO'M+∠EO'N=180°−∠NO'M=110°，
∴∠CO'M+∠ONO'=110°；
综上所述：当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'=110°或70°，
故答案为：70或110．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）（1）93−712+48；
（2）6×13−16×18．
【答案】（1）−3；(2) −112
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）原式=93−7×23+43
=−3．
（2） 原式=2−4×32
=2−122
=−112．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（6分）（2023上·广东深圳·八年级校考期末）解方程（组）：
(1)3x−5y=74x+2y=5；
(2)4x−1−31+y=1x2+y3=1．
【答案】(1)x=32y=−12
(2)x=2y=0
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）3x−5y=7①4x+2y=5②，
①×2+②×5得：26x=39，
解得：x=32，
将x=32代入②得：6+2y=5，
解得：y=−12，
故原方程组的解为x=32y=−12；
（2）原方程组化为4x−3y=8①3x+2y=6②，
①×2+②×3得：17x=34，
解得：x=2，
将x=2代入②得：6+2y=6，
解得：y=0，
故原方程组的解为x=2y=0．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19．（8分）（2023下·北京房山·八年级统考期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．
b．八年级学生成绩在80≤x＜90这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)八年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
【答案】(1)83.5；
(2)小宇，理由见解析；
(3)105人．
【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
（3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84
故中位数m=83+842=83.5；
（2）小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于八年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于八年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
（3）5+220×300=105（人），
估计八年级获得优秀奖的学生有105人
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
20．（8分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）【问题探究】
(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
①请结合图1，试说明2+1>5；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较5+22与29的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较5+22+17与34的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段AB=8，P为线段AB上的任意一点，设线段AP=x．则x2+4+(8−x)2+16是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点P的位置；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②图见解析，22+5>29；③图见解析，17+5+22>34
(2)有最小值，最小值为10
【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可；
②构建边长为5，22，29的三角形即可判断；
③构建边长为5，22，17，34的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断；
（2）设AP=x，故存在边长为x，2的直角三角形和边长为8−x，4的直角三角形，根据AB=8，边长为x和边长为8−x的两条线段的和满足x+8−x=8，即可判断这两条边在AB上，即可作图，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
故在△ABC中，AC+CB>AB，即2+1>5；
②如图：在正方形方格纸中构建AC=22，AB=29，BC=5，
故在△ABC中，AC+CB>AB，即22+5>29；
③如图：在正方形方格纸中构建AB=17，BC=34，CD=22，AD=5，连接BD，
故在△ABD中，AB+AD>BD，则AB+AD+CD>BD+CD，
在△CBD中，BD+CD>BC，故AB+AD+CD>BD+CD>BC，
即17+5+22>34；
（2）解：x2+4+(8−x)2+16有最小值；
理由如下：设AP=x，则BP=8−x，如图：
x2+4+(8−x)2+16=CP+PD，
当C，P，D三点共线时，CP+PD的值最小，
∴CP+PD的最小值=CD=62+82=10，
即x2+4+(8−x)2+16的最小值为10．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题．
21．（8分）（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．
22．（8分）（2023下·河北保定·八年级统考期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由A顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米；如图为S1（千米）和t（小时）关系的部分图像；
(1)A、B两港口的距离是______千米；
(2)求甲船在A、B两个港口之间往返一次S1（千米）和t（小时）所对应的关系式；
(3)在图中画出乙船从出发到第一次返回B港口这段时间内，S2（千米）和t（小时）的关系图象；
(4)直接写出甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是多少？
【答案】(1)84
(2)S1=72−24t(0≤t≤3)24t−72(3(3)见解析
(4)4327
【分析】（1）根据甲的顺流速度即可计算AB港口距离；
（2）分别求出甲从A港口去B港口，甲从B港口返回A港口的函数解析式即可；
（3）根据两船速度考虑水流速度，画出函数图象；
（4）分别求出图中直线BC，DE的解析式，然后联立函数解析式，即可求出交点坐标，从而得解．
【详解】（1）解∶甲的顺流速度为21+3=24（千米/时），
则A、B两港口的距离是3×24=72（千米）．
故答案为：72；
（2）解：甲从A港口去B港口时，
S1=72−24t（0≤t≤3）；
甲从B港口返回A港口时，
S1=24t−72（3∴ S1=72−24t(0≤t≤3)24t−72(3（3）解：乙从B到A需要72÷（15-3）=6（小时），
乙从A到B需要72÷（15+3）=3（小时），
根据题意画图得：
（4）解：由题意得，F（3，0），D（6，72），E（9，0）
甲从B到A需要的时间为72÷（21-3）=3（小时）
∴C（7，72），
设直线FC解析式为s=kt+b，
则3k+b=07k+b=72，
解得k=18b=−54，
∴s=18t−54，
设直线DE解析式为s=mt+n，
则6m+n=729m+n=0，
解得m=−24n=216，
∴s=−24t+216，
联立方程组
s=18t−54s=−24t+216
解得t=457s=4327，
∴甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是4327千米．
【点睛】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象实际意义，应用了用方程思想解决函数问题．
23．（8分）（2023下·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ，
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)①80°、20°；②∠BGE=90°−12∠A，理由见解析
(2)∠BGE=12∠A
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB=∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C=∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠EHG=180°−∠C2，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴在△ABC中，∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−40°−60°=80°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠FBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBC=12∠ABC=20°，
∴∠EFB=∠FBC=20°，
故答案为：80°、20°；
②∵∠BGE是△EGF是一个外角，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠DEF，
∵∠ABC+∠C=180°−∠A，
∴∠ABC+∠DEF=180°−∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=12∠ABC，∠FEG=12∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG=12∠ABC+12∠DEF=12×180°−∠A=90°−12∠A，
∵EF∥BC，
∴∠EFG=∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG=90°−12∠A，
∴∠BGE=90°−12∠A；
（2）解：∵EF∥BC，
甲
乙
丙
丁
平均分
98
95
98
96
方差
1.2
0.8
0.8
1.0
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．3,3B．3,2C．0,3D．1,3
2．（3分）（2023下·广东广州·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A．2.5B．5−1C．10−1D．5
3．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线y1=mx−n与y2=nx−m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2023下·河南南阳·八年级统考期末）表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）（2023上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在边长为1的4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC如图，则点A到边BC的距离为（ ）
A．3B．32C．4D．3
6．（3分）（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=3，S2=1，S3=7，则S4为（ ）
A．2B．3C．5−3D．6−23
7．（3分）（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−12x和点P1,0，过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（ ）
A．−26B．−27C．−214D．−215
8．（3分）（2023下·八年级单元测试）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1992+11002，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
9．（3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接AF，DE，并延长DE交AF于点K，连接KG．若AH=2DH=22，则KG的长为（ ）
A．3B．2C．5D．22
10．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，那么关于x，y的二元一次方程组3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11中的x+yx−2y的值为 ．
12．（3分）（2023下·四川南充·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b−a=2，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
13．（3分）（2023下·山东滨州·八年级统考期末）已知平面直角坐标系中，A3,4，B−2,1，C1,0，点P是x轴上一动点，若S△PBC=13S△ABC，则P点的坐标为 ．
14．（3分）（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2023= ，OPn= (n为自然数，且n>0).
15．（3分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180∘，点E在AC上，若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44∘，则∠DAC的度数为 ．
16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）（1）93−712+48；
（2）6×13−16×18．
18．（6分）（2023上·广东深圳·八年级校考期末）解方程（组）：
(1)3x−5y=74x+2y=5；
(2)4x−1−31+y=1x2+y3=1．
19．（8分）（2023下·北京房山·八年级统考期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．
b．八年级学生成绩在80≤x＜90这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)八年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
20．（8分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）【问题探究】
(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
①请结合图1，试说明2+1>5；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较5+22与29的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较5+22+17与34的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段AB=8，P为线段AB上的任意一点，设线段AP=x．则x2+4+(8−x)2+16是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点P的位置；如果没有，请说明理由．
21．（8分）（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
22．（8分）（2023下·河北保定·八年级统考期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由A顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米；如图为S1（千米）和t（小时）关系的部分图像；
(1)A、B两港口的距离是______千米；
(2)求甲船在A、B两个港口之间往返一次S1（千米）和t（小时）所对应的关系式；
甲
乙
丙
丁
平均分
98
95
98
96
方差
1.2
0.8
0.8
1.0
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84
期末押题卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．3,3B．3,2C．0,3D．1,3
【答案】D
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案．
【详解】解：∵表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3，−2,1，
∴可得平面直角坐标系如图所示：
∴棋子“炮”的点的坐标为：1,3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（3分）（2023下·广东广州·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A．2.5B．5−1C．10−1D．5
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=1，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC=AB2+BC2=32+12=10，
∴AM=AC=10，
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为：10−1．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、实数与数轴，矩形的性质，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线y1=mx−n与y2=nx−m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的中的m,n的符号，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由y1=mx−n图象可知m<0，n<0；由y2=nx−m图象可知m<0，n>0，A错误；
B．由y1=mx−n图象可知m>0，n<0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0，B正确；
C．由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m<0，n>0，C错误；
D．由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0，D错误，
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
4．（3分）（2023下·河南南阳·八年级统考期末）表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】一组数据的方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定；再结合平均数，进行判断即可．
【详解】解：由题意得
x甲=x丙>x丁>x乙，
∴甲和丙的平均数最高，
∵ S甲2>S丁2>S乙2=S丙2，
∴乙和丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差应选丙参赛．
【点睛】本题考查了根据平均数和方差的意义进行决策，理解方差的意义是解题的关键．
5．（3分）（2023上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在边长为1的4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC如图，则点A到边BC的距离为（ ）
A．3B．32C．4D．3
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角形的面积为3，即可求出点A到边BC的距离．
【详解】解：∵BC=12+12=2，S△ABC=3，
又∵S△ABC=12⋅BC⋅ℎ，
∴点A到边BC的距离h为62=32，
故选B．
【点睛】此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式.
6．（3分）（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=3，S2=1，S3=7，则S4为（ ）
A．2B．3C．5−3D．6−23
【答案】B
【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合AB2+BC2=AC2=CD2−AD2, 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案．
【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴S1=12π·12AB2=18πAB2，
S2=12π·12BC2=18πBC2，
S3=12π12CD2=18πCD2,
S4=12π12AD2=18πAD2,
∴S1+S2=18πAB2+18πBC2=18πAB2+BC2，
S3−S4=18πCD2−18πAD2=18πCD2−AD2，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴AB2+BC2=AC2=CD2−AD2,
∴18πAB2+BC2=18πCD2−AD2，
∴S1＋S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3＋1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．
7．（3分）（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−12x和点P1,0，过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（ ）
A．−26B．−27C．−214D．−215
【答案】B
【分析】点P1,0，P1在直线y=x上，得到P11,1，求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，得到P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，同理，P3的横坐标为−2=−21，P4的横坐标为4=22，P5的横坐标为22，P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，……，求得P4n的横坐标为22n，于是得到结论．
【详解】解：∵过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，
∴P1在直线y=x上，
∴P11,1，
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，
∵P2在直线y=−12x上，
∴1=−12x，
∴x=−2，
∴P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，
∵P2P3∥y轴，
∴P3的横坐标为−2=−21，且P3在直线y=x上，
∴y=−2，
∴P3−2,−2，
∵P3P4∥x轴，
∴P4的纵坐标=P3的纵坐标=−2，且P4在直线y=−12x上，
∴−2=−12x，
∴x=4，
∴P44,−2，即P4的横坐标为4=22，
∵P4P5∥y轴，
∴P5的横坐标为4=22，且P5在直线y=x上，
即：P1的横坐标为1，
P2的横坐标为−21，P3的横坐标为−21，
P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，
用同样的方法可得：
P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，
P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，
……，
∴P4n的横坐标为22n，
∴P12的横坐标为22×3=26，P13的横坐标为26，
∴P14的横坐标为−27，P15的横坐标为−27．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键．
8．（3分）（2023下·八年级单元测试）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1992+11002，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
【答案】B
【分析】由1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1，代入数值，求出S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002=99+1-1100，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵1+1n2+1(n+1)2
=n2n+12+n2+n+12nn+1
=1+n+n22nn+1
=1+n+n2n(n+1)
=1+1n−1n+1，
∴S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002
=1+11−12+1+12−13+⋯+1+199−1100
=99+1−1100
=100-1100，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1是解答本题的基础．
9．（3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接AF，DE，并延长DE交AF于点K，连接KG．若AH=2DH=22，则KG的长为（ ）
A．3B．2C．5D．22
【答案】A
【分析】过点K作KM⊥CF，与CF的延长线交于点M，由图形关系求得AE=EF=FG=2，再求得AK=KF=22EF，MK=MF=22KF，求得MK与MF，进而由勾股定理求得结果．
【详解】解：过点K作KM⊥CF，与CF的延长线交于点M，
∵AH=2DH=22，AH=DG，
∴DH=GH=2，
∵EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE=2，AE=AH−HE=22−2=2，
∴DH=HE，
∴∠AEK=∠HED=∠HDE=45°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEK=∠FEK=45°，
∴AE=EF=2，
∴AF=AE2+EF2=2，AK=KF=12AF=12×2=1，∠AFE=45°，
∵∠EFM=90°，
∴∠MFK=90°−∠EFK=45°，
又∵KM⊥CF，
∴△MFK是等腰直角三角形，
∴MK=MF=22KF=22，
∴Rt△MGK中，KG=MK2+MG2=222+22+22=5．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．
10．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根据AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCG+∠GCK=180°，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠D+∠DCG+180°−2∠GKC=180°，
∴∠D+∠DCG=2∠GKC，
又∵AD∥BC，
∴∠AGK=∠CKG，
∴∠D+∠DCG=2∠AGK，
要使GK∥CD，就要使∠D=∠AGK且∠D=∠DCG，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，那么关于x，y的二元一次方程组3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11中的x+yx−2y的值为 ．
【答案】56
【分析】根据二元一次方程组解的定义求出a、b的值，再代入方程组得到一个关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x−ay=5x+by=11的解为x=5y=6，
∴3×5−6a=55+6b=11，
解得：a=53b=1，
将a=53b=1代入3−ax+3+2ay=51+bx+1−2by=11得43x+193y=52x−y=11，
解得x=163y=−13，
∴x+yx−2y=163+−13163+23=56，
故答案为：56．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
12．（3分）（2023下·四川南充·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b−a=2，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
【答案】8
【分析】由直角三角形的面积可求出ab=30，再把b−a=2两边平方得a2+b2=2ab+4=64，再结合勾股定理可知a2+b2=c2，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴12ab=15，
∴ab=30，
又b−a=2，
∴b−a2=22，
整理得，a2+b2=2ab+4=64，
又a2+b2=c2，
∴c2=64，
解得，c=8或−8（负值舍去），
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a2+b2的值．
13．（3分）（2023下·山东滨州·八年级统考期末）已知平面直角坐标系中，A3,4，B−2,1，C1,0，点P是x轴上一动点，若S△PBC=13S△ABC，则P点的坐标为 ．
【答案】−113，0或173，0/173，0或−113，0
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，则S△ABC=S梯形ABED−S△ACD−S△BEC进而可得S△PBC=13S△ABC=73，设P点的坐标为m,0，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵ A3,4，B−2,1，C1,0，
∴ BE=1，AD=4，ED=3−−2=5，EC=1−−2=3，CD=3−1=2，
∴ S△ABC=S梯形ABED−S△ACD−S△BEC=12×1+4×5−12×3×1−12×2×4=7，
∴ S△PBC=13S△ABC=73，
设P点的坐标为m,0，
∵ C1,0，
∴ CP=1−m，
∴ S△PBC=12CP⋅BE=12×1−m×1=73，
解得m=−113，或m=173，
故答案为：−113，0或173，0．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，利用割补法求出S△ABC．
14．（3分）（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2023= ，OPn= (n为自然数，且n>0).
【答案】 2506 n+1
【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2023的长．
【详解】解：由勾股定理得：OP1=2，OP2=3；OP3=2；
OP4=22+12=5；
依此类推可得OPn=n+1，
∴OP2023=2023+1=2024=2506.
故答案为：2506，n+1.
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是由已知数据找到规律．
15．（3分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180∘，点E在AC上，若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44∘，则∠DAC的度数为 ．
【答案】67°
【分析】根据题意，设∠ABE=α，则∠CBE=2α，在ΔDAC中，∠DCA=∠DAC=90°−α，证AD∥BC，由AD∥BC，得∠DAB+∠ABC=180°，从而有134°−α+3α=180°，解得α=23°，最后由∠DAC=90°−α，求得∠DAC的值．
【详解】解：∵∠ABE:∠ABC=1:3，
∴∠ABE:∠CBE=1:2，
设∠ABE=α，则∠CBE=2α，
∵∠CBE=∠D，
∴∠D=2α，
∵在ΔDAC中，
∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
又∵∠D=2α，∠DCA=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC=90°−α．
∵∠ACD+∠ACF=180∘，∠ACB+∠ACF=180∘，
∴∠ACD=∠ACB，
∵∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠DAC=90°−α，∠BAC=44∘，
又∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ABE=α，∠CBE=2α，
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=134°−α，∠ABC=∠ABE+∠EBC=3α，
∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴134°−α+3α=180°，
解得，α=23°，
∵∠DAC=90°−α，
∴∠DAC=90°−23°=67°，
故答案为：67°
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．
16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．
【答案】110或70
【分析】分两种请况：当点N在射线OA上运动时；当点N在射线OB上运动时；然后分别进行计算，即可解答．
【详解】分两种请况：
当点N在射线OA上运动时，如图：
延长CO'到D，
∵∠BOC=70°，
∴∠NOC=180°−∠BOC=110°，
由折叠得：∠NO'M=∠NOM=110°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠DO'N，
∴∠CO'M+∠DO'N=180°−∠NO'M=70°，
∴∠CO'M+∠ONO'=70°；
当点N在射线OB上运动时，如图：
延长CO'到E，
由折叠得：∠BOC=∠NO'M=70°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠EO'N，
∴∠CO'M+∠EO'N=180°−∠NO'M=110°，
∴∠CO'M+∠ONO'=110°；
综上所述：当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'=110°或70°，
故答案为：70或110．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）（1）93−712+48；
（2）6×13−16×18．
【答案】（1）−3；(2) −112
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）原式=93−7×23+43
=−3．
（2） 原式=2−4×32
=2−122
=−112．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（6分）（2023上·广东深圳·八年级校考期末）解方程（组）：
(1)3x−5y=74x+2y=5；
(2)4x−1−31+y=1x2+y3=1．
【答案】(1)x=32y=−12
(2)x=2y=0
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）3x−5y=7①4x+2y=5②，
①×2+②×5得：26x=39，
解得：x=32，
将x=32代入②得：6+2y=5，
解得：y=−12，
故原方程组的解为x=32y=−12；
（2）原方程组化为4x−3y=8①3x+2y=6②，
①×2+②×3得：17x=34，
解得：x=2，
将x=2代入②得：6+2y=6，
解得：y=0，
故原方程组的解为x=2y=0．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19．（8分）（2023下·北京房山·八年级统考期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）．
b．八年级学生成绩在80≤x＜90这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)八年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
【答案】(1)83.5；
(2)小宇，理由见解析；
(3)105人．
【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
（3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84
故中位数m=83+842=83.5；
（2）小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于八年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于八年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
（3）5+220×300=105（人），
估计八年级获得优秀奖的学生有105人
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
20．（8分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）【问题探究】
(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
①请结合图1，试说明2+1>5；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较5+22与29的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较5+22+17与34的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段AB=8，P为线段AB上的任意一点，设线段AP=x．则x2+4+(8−x)2+16是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点P的位置；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②图见解析，22+5>29；③图见解析，17+5+22>34
(2)有最小值，最小值为10
【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可；
②构建边长为5，22，29的三角形即可判断；
③构建边长为5，22，17，34的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断；
（2）设AP=x，故存在边长为x，2的直角三角形和边长为8−x，4的直角三角形，根据AB=8，边长为x和边长为8−x的两条线段的和满足x+8−x=8，即可判断这两条边在AB上，即可作图，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段AB的长度为5，线段AC的长度为2．
故在△ABC中，AC+CB>AB，即2+1>5；
②如图：在正方形方格纸中构建AC=22，AB=29，BC=5，
故在△ABC中，AC+CB>AB，即22+5>29；
③如图：在正方形方格纸中构建AB=17，BC=34，CD=22，AD=5，连接BD，
故在△ABD中，AB+AD>BD，则AB+AD+CD>BD+CD，
在△CBD中，BD+CD>BC，故AB+AD+CD>BD+CD>BC，
即17+5+22>34；
（2）解：x2+4+(8−x)2+16有最小值；
理由如下：设AP=x，则BP=8−x，如图：
x2+4+(8−x)2+16=CP+PD，
当C，P，D三点共线时，CP+PD的值最小，
∴CP+PD的最小值=CD=62+82=10，
即x2+4+(8−x)2+16的最小值为10．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题．
21．（8分）（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．
22．（8分）（2023下·河北保定·八年级统考期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由A顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米；如图为S1（千米）和t（小时）关系的部分图像；
(1)A、B两港口的距离是______千米；
(2)求甲船在A、B两个港口之间往返一次S1（千米）和t（小时）所对应的关系式；
(3)在图中画出乙船从出发到第一次返回B港口这段时间内，S2（千米）和t（小时）的关系图象；
(4)直接写出甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是多少？
【答案】(1)84
(2)S1=72−24t(0≤t≤3)24t−72(3
(4)4327
【分析】（1）根据甲的顺流速度即可计算AB港口距离；
（2）分别求出甲从A港口去B港口，甲从B港口返回A港口的函数解析式即可；
（3）根据两船速度考虑水流速度，画出函数图象；
（4）分别求出图中直线BC，DE的解析式，然后联立函数解析式，即可求出交点坐标，从而得解．
【详解】（1）解∶甲的顺流速度为21+3=24（千米/时），
则A、B两港口的距离是3×24=72（千米）．
故答案为：72；
（2）解：甲从A港口去B港口时，
S1=72−24t（0≤t≤3）；
甲从B港口返回A港口时，
S1=24t−72（3
乙从A到B需要72÷（15+3）=3（小时），
根据题意画图得：
（4）解：由题意得，F（3，0），D（6，72），E（9，0）
甲从B到A需要的时间为72÷（21-3）=3（小时）
∴C（7，72），
设直线FC解析式为s=kt+b，
则3k+b=07k+b=72，
解得k=18b=−54，
∴s=18t−54，
设直线DE解析式为s=mt+n，
则6m+n=729m+n=0，
解得m=−24n=216，
∴s=−24t+216，
联立方程组
s=18t−54s=−24t+216
解得t=457s=4327，
∴甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是4327千米．
【点睛】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象实际意义，应用了用方程思想解决函数问题．
23．（8分）（2023下·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ，
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)①80°、20°；②∠BGE=90°−12∠A，理由见解析
(2)∠BGE=12∠A
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB=∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C=∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠EHG=180°−∠C2，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴在△ABC中，∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−40°−60°=80°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠FBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBC=12∠ABC=20°，
∴∠EFB=∠FBC=20°，
故答案为：80°、20°；
②∵∠BGE是△EGF是一个外角，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠DEF，
∵∠ABC+∠C=180°−∠A，
∴∠ABC+∠DEF=180°−∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=12∠ABC，∠FEG=12∠DEF，
∴∠CBD+∠FEG=12∠ABC+12∠DEF=12×180°−∠A=90°−12∠A，
∵EF∥BC，
∴∠EFG=∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG=90°−12∠A，
∴∠BGE=90°−12∠A；
（2）解：∵EF∥BC，
甲
乙
丙
丁
平均分
98
95
98
96
方差
1.2
0.8
0.8
1.0
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84
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