人教版八年级数学上册举一反三26.2期末押题卷(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册举一反三26.2期末押题卷(学生版+解析)，共36页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）

A．40cmB．8cmC．6cmD．10cm
2．（3分）（2023下·河南郑州·八年级校考期末）在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
3．（3分）（2023上·江苏南通·八年级统考期末）已知x2=2y+7，y2=2x+7，且x≠y，则xy的值为( )
A．7B．3C．−3D．−7
4．（3分）（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC=α，∠EFC=β，∠ADC=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）

A． β=α+γ B． β=2γ−α C． β=α+2γ D． β=2α−2γ
5．（3分）（2023上·河南周口·八年级校联考期末）有下列说法：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②无论k取任何实数，多项式x2−ky2总能分解成两个一次因式的积的形式：
③若t−3t=1，则t可以取两个值；
④若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2无解，则m的取值为−1．
其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②③
6．（3分）（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果多项式2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，那么a:b的值是（ ）
A． −2B． −3C．3D．6
7．（3分）（2023上·云南红河·八年级统考期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A．65°B．25°C．65°或25°D．50°或130°
8．（3分）（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期末）若整数a使得关于x的分式方程16xx−4+2x=ax−4有正整数解，且使关于y的不等式组12y+4−2y−13>121−y2≤3−a至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）．
A．13B．9C．3D．10
9．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE:AD=1:2，则Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为（ ）

A．32B．94C．3D．72
10．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，
①∠AMD=45°；②NE−EM=MC；③EM:MC:NE=1:2:3；④SΔACD=2SΔDNE．
正确的有（ ）个，
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·山东潍坊·八年级统考期中）已知4m×8n=128，且2m÷4n=1，则m−n= ．
12．（3分）（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若BD=1，BC=3，则AC= ．

13．（3分）（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD,BC上的动点，若BC=4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ．

14．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）若(2021−a)(2020−a)=2019，则(2021−a)2+(2020−a)2=
15．（3分）（2023下·江苏南京·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为 ．

16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）（1）计算：（﹣a）7÷（﹣a）4×（﹣a）3；
（2）利用乘法公式计算：2014×2016﹣20152；
（3）因式分解：x3﹣4x．
18．（6分）（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）已知P=2x2−4+xx2−4，Q=1x+2−1x−2．
(1)化简P，Q，并求P÷Q的值；
(2)若P=Q，求x的值．
19．（8分）（2023上·河南开封·八年级开封市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD．
20．（8分）（2023下·四川·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=98°，∠D=140°．

(1)如图1，若∠B=∠C，则∠B=__________度；
(2)如图2，作∠BCD的平分线CE交AB与点E，若CE∥AD，求∠B的度数；
(3)如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E，求∠BEC的度数．
21．（8分）（2023上·上海松江·八年级校考期中）如图，正方形是由两ABCD个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的．
(1)根据上图，利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出a+b2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是 ；
(2)若x满足1026−x2+x−10252=2023，请利用（1）中的数量关系，求1026−xx−1025的值；
(3)如图所示，正方形AEMG、长方形EBHM、长方形GMFD和正方形MHCF的面积分别为S1，S2，S3和S4，已知S2=334，GM−HM=4，求S1+S4及S1−S4的值．
22．（8分）（2023上·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．
（1）求7月份购进了口罩多少盒？
（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含b的代数式表示a．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．
23．（8分）（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，等边三角形△ABC中，BD⊥AB，CD⊥AC，

(1)若E、F分别为线段AB、AC上的动点，∠EDF=60°证明：EF=BE+CF；
(2)若E、F分别在直线AB、AC上（除（1）外）的动点，∠EDF=60°，求EF、BE、CF的数量关系？
期末押题卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）

A．40cmB．8cmC．6cmD．10cm
【答案】C
【分析】先证出△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质可得CD=ED,AC=AE，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，∠C=∠AED=90°∠CAD=∠EADAD=AD，
∴△ACD≌△AEDAAS，
∴CD=ED,AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∵AB=6cm，
∴△DEB的周长为BD+ED+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6cm，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
2．（3分）（2023下·河南郑州·八年级校考期末）在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可得．
【详解】解：当三角形三边长分别为：2cm，3cm，5cm时，
∵2+3=5，不能构成三角形，
∴所摆成的三角形的周长不可能是10cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．
3．（3分）（2023上·江苏南通·八年级统考期末）已知x2=2y+7，y2=2x+7，且x≠y，则xy的值为( )
A．7B．3C．−3D．−7
【答案】C
【分析】两式相减，由平方差公式求出x−y=−2，两式相加，由完全平方公式即可求出xy的值．
【详解】解：∵x2=2y+7，y2=2x+7，
∴x2−y2=2(y−x)，
∴(x+y)(x−y)=−2(x−y)，
∵x≠y，
∴x+y=−2，
∵x2+y2=2(x+y)+14，
∴(x+y)2−2xy=2(x+y)+14，
∴(−2)2−2xy=2×(−2)+14，
∴xy=−3，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
4．（3分）（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC=α，∠EFC=β，∠ADC=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）

A． β=α+γ B． β=2γ−α C． β=α+2γ D． β=2α−2γ
【答案】B
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠EFC=β，由三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BCD，∠MAC=∠B+∠ACB，据此可解．
【详解】解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ−β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2γ−β，
即β=2γ−α，
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．（3分）（2023上·河南周口·八年级校联考期末）有下列说法：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②无论k取任何实数，多项式x2−ky2总能分解成两个一次因式的积的形式：
③若t−3t=1，则t可以取两个值；
④若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2无解，则m的取值为−1．
其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②③
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质对①判断；利用平方差公式的特点对②分析；③通过0指数、底数为1，底数为−1或0，对代数式进行分类讨论得结果；④去分母，化分式方程为整式方程2−x−m=2x−6，根据分式方程无解，将x=3代入，进而可判断结果．
【详解】①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故①正切；
②当k为负值时，多项式x2−ky2不能分解成两个一次因式的积的形式，故②错误；
③若t−3t=1，t=3或t=0或t=2或t=4，则t可以取4个值，故③错误；
④方程两边同时乘以x−3，得2−x−m=2x−6
∵2x−3+x+m3−x=2无解，
∴x=3
代入2−x−m=2x−6，即2−3−m=0
解得：m=−1，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、因式分解、零指数幂和，分式方程无解等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．
6．（3分）（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果多项式2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，那么a:b的值是（ ）
A． −2B． −3C．3D．6
【答案】A
【分析】由于x2+x−2=x+2x−1，而多项式2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，则2x4−3x3+ax2+7x+b能被x+2x−1整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4−3x3+ax2+7x+b=Ax+2x−1，则x=−2和x=1时，2x4−3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到a:b的值.
【详解】解：∵x2+x−2=x+2x−1，
∴2x4−3x3+ax2+7x+b能被x+2x−1整除，
设商是A．
则2x4−3x3+ax2+7x+b=Ax+2x−1，
则x=−2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x=−2时，2x4−3x3+ax2+7x+b=32+24+4a−14+b=4a+b+42=0 ①
当x=1时，2x4−3x3+ax2+7x+b=2−3+a+7+b=a+b+6=0 ②
①−②，得3a+36=0，
∴a=−12，
∴b=−6−a=6．
∴a:b=−12:6=−2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=−2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．
7．（3分）（2023上·云南红河·八年级统考期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A．65°B．25°C．65°或25°D．50°或130°
【答案】C
【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，分类讨论：当BD在△ABC内部时，先求得∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠ABC=∠ACB=65°；当BD在△ABC外部时，先求得∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠ACB=25°．
【详解】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12180°−50°=65°；
当BD在△ABC外部时，如图，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=12∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形的底角度数为65°或25°，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期末）若整数a使得关于x的分式方程16xx−4+2x=ax−4有正整数解，且使关于y的不等式组12y+4−2y−13>121−y2≤3−a至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）．
A．13B．9C．3D．10
【答案】B
【分析】解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解得出a的范围，继而可得整数a的个数．
【详解】解：解不等式组12y+4−2y−13>12①1−y2≤3−a②
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6．
解关于x的分式方程16xx−4+2x=ax−4，
得：x=8a−2，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且 8a−2≠4，8a−2≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10，
所以所有满足条件的整数a的值为3，6．
那么符合条件的所有整数a的和为9．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键．
9．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE:AD=1:2，则Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为（ ）

A．32B．94C．3D．72
【答案】C
【分析】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，先证明OM=ON，根据条件算出△ABC的面积，再求出OA与OB的比值即可解决问题．
【详解】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：

∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
∵CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD，
∵∠EDC=45°，
∴∠CDB=∠EDC，
∴OD平分∠ADB，
又∵OM⊥DE，ON⊥BD，
∴OM=ON，
∵AE:AD＝1:2，
∴BD:AD＝1:2，
在Rt△ADB中，
∵CA=CB=3，
∴S△ABC=12×3×3＝92，
∵S△AODSDOB=OAOB=12AD·OM12DB·ON=ADDB=2，
∴AOAB=23，
∴S△AOC=23S△ABC=23×92=3，即Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系．
10．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，
①∠AMD=45°；②NE−EM=MC；③EM:MC:NE=1:2:3；④SΔACD=2SΔDNE．
正确的有（ ）个，
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用ASA证明△BDN≌△CDM，得DN=DM，从而说明△DMN是等腰直角三角形，可知①正确；过点D作DF⊥MN于F，利用AAS证明△DEF≌△CEM，得ME=EF，CM=DF，可说明②正确；设EF=x，则EM=x，MC=MF=DF=2x，NE=3x，得EM:MC:NE=1:2:3，可知③正确；由△BED≌△CAD，知SΔBED=SΔCAD，而点N并不是BE的中点，可说明④错误．
【详解】解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
∴∠A+∠DBN=90°，
∠A+∠DCM=90°，
∴∠DBN=∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN=90°，
∵∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
∵∠DBN=∠DCM，BD=CD，∠CDM=∠BDN，
∴△BDN≌△CDMASA，
∴DN=DM，
∵∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN=45°，
∴∠AMD=90°−45°=45°，故①正确；
②由①知，DN=DM，
过点D作DF⊥MN于F，
则∠DFE=90°=∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF=FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△DEF与△CEM中，∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CMEDE=CE，
∴△DEF≌△CEMAAS，
∴ME=EF，CM=DF，
∴FN=CM，
∵NE−EF=FN，
∴NE−EM=MC，故②正确；
③由ME=EF，MF=NF，
设EF=x，则EM=x，MC=MF=DF=2x，NE=3x，
∴EM:MC:NE=1:2:3，故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE=∠CDA=90°，
由①知，∠DBN=∠DCM，BD=CD，
∴△BED≌△CADASA，
∴SΔBED=SΔCAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN=CM，
∵CM=FN，
∴BN=FN，
∴BN∴SΔBDN∴SΔBED<2SΔDNE，
∴SΔACD<2SΔDNE，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·山东潍坊·八年级统考期中）已知4m×8n=128，且2m÷4n=1，则m−n= ．
【答案】12/0.5
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
【详解】解：∵4m×8n=128，且2m÷4n=1，
∴22m⋅23n=22m+3n=27，2m÷22n=2m−2n=1=20．
∴2m+3n=7，m=2n．
∴4n+3n=7．
∴n=1．
∴m=2n=2．
∴m−n=2−1=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．
12．（3分）（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若BD=1，BC=3，则AC= ．

【答案】5
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据BD=1，BC=3，即可推出AC的长度．
【详解】解：延长BD与AC交于点E，

∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵BD=1，BC=3，
∴CE=3，
∴AE=BE=2，
∴AC=AE+EC=2+3=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
13．（3分）（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD,BC上的动点，若BC=4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ．

【答案】3
【分析】在BA上截取BN'=BN，证明△BNM≌△BN'M，可得MN=MN'，根据垂线段最短的性质，即可得到CN'⊥AB时，CM+MN取最小值，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：如图，在BA上截取BN'=BN，

∵BD平分∠ABC，
∴∠N'BM=∠NBM，
在△MBN'与△MBN中，
BN'=BN∠N'BM=∠NBMBM=BM，
∴△MBN'≌△MBNSAS，
∴MN'=MN，
∴CM+MN=CM+MN'，
根据垂线段最短的性质，可得可得到CN'⊥AB时，CM+MN取最小值，如图所示：

此时S△ABC=12×AB×CN'，
可得6=12×4×CN'，
可得CN'=3，
∴CM+MN的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，垂线段的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（3分）（2023上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）若(2021−a)(2020−a)=2019，则(2021−a)2+(2020−a)2=
【答案】4039
【分析】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，即可求出答案．
【详解】解：设x=2021−a，y=2020−a，
∴x−y=2021−a−2020+a=1，
∵(2021−a)(2020−a)=2019，
∴xy=2019，
∴(2021−a)2+(2020−a)2
=x2+y2
=(x−y)2+2xy
=1+2×2019
=4039．
故答案为：4039．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，本题属于基础题型．
15．（3分）（2023下·江苏南京·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为 ．

【答案】332
【分析】如图: 连接AH，设S△CFH=a，S△ADH=b，根据“等底同高的三角形面积相等”可得S△ABF=23S△ABC=60、S△ACH=3a、S△AFH=S△ACH−S△CFH=2a、S△ADC=S△BDC=12S△ABC=45、S△AHD=S△BHD=b，进而列出二元一次方程组3a+b=452b+2a=60求解可得S△CFH=152；同理：连接AG，设S△ADG=c，S△AEG=d，可得S△ADGE=c+d=9+12=21，最后根据SEFHG=S△ADC−S△ADGE−S△DHF即可解答．
【详解】解： 如图: 连接AH，设S△CFH=a，S△ADH=b，

E、F分别是边AC上的三等分点，△ABC的面积为90，
∴AE=EF=CF=13AC，S△ABF=23S△ABC=60，S△ACH=3a，S△AFH=S△ACH−S△CFH=2a
∵D是边AB的中点，
∴S△ADC=S△BDC=12S△ABC=45，S△AHD=S△BHD=b
∵S△ADC=S△ACH+S△ADH=45,即3a+b=45，S△ABF=S△ABH+S△AFH，即2b+2a=60
∴3a+b=452b+2a=60，解得：a=152b=452，即S△CFH=152；
如图: 连接AG，设S△ADG=c，S△AEG=d，

∴S△ABG=2c， S△AGC=3d
∵S△ADC=S△ADG+S△AGC,即c+3d=45，S△ABE=S△ABG+S△AEG，即2c+d=30
∴c+3d=452c+d=30，解得：c=9d=12；
∴S△ADGE=c+d=9+12=21,
. SEFHG=S△ADC−S△ADGE−S△DHF=45−21−152=332．
故答案为332．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键．
16．（3分）（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知线段OC与直线AB的夹角∠BOC=70°，点M在OC上，点N是直线AB上的一个动点，将△OMN沿MN折叠，使点O落在点O'处，当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'= 度．

【答案】110或70
【分析】分两种请况：当点N在射线OA上运动时；当点N在射线OB上运动时；然后分别进行计算，即可解答．
【详解】分两种请况：
当点N在射线OA上运动时，如图：

延长CO'到D，
∵∠BOC=70°，
∴∠NOC=180°−∠BOC=110°，
由折叠得：∠NO'M=∠NOM=110°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠DO'N，
∴∠CO'M+∠DO'N=180°−∠NO'M=70°，
∴∠CO'M+∠ONO'=70°；
当点N在射线OB上运动时，如图：

延长CO'到E，
由折叠得：∠BOC=∠NO'M=70°，
∵CO'∥AB，
∴∠ONO'=∠EO'N，
∴∠CO'M+∠EO'N=180°−∠NO'M=110°，
∴∠CO'M+∠ONO'=110°；
综上所述：当CO'∥AB时，则∠CO'M+∠ONO'=110°或70°，
故答案为：70或110．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）（1）计算：（﹣a）7÷（﹣a）4×（﹣a）3；
（2）利用乘法公式计算：2014×2016﹣20152；
（3）因式分解：x3﹣4x．
【答案】（1）（﹣a）6；（2）﹣1；（3）x（x+2）（x﹣2）．
【详解】试题分析：（1）利用同底数幂的乘除法求解即可，
（2）利用平方差公式求解即可，
（3）利用提公因式法及平方差公式求解即可．
试题解析：解：（1）（﹣a）7÷（﹣a）4×（﹣a）3
=（﹣a）7﹣4+3，
=（﹣a）6；
（2）2014×2016﹣20152
=（3分）（2023﹣1）（3分）（2023﹣1）﹣20152，
=20152﹣1﹣20152，
=﹣1；
（3）x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．
考点：整式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．
18．（6分）（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）已知P=2x2−4+xx2−4，Q=1x+2−1x−2．
(1)化简P，Q，并求P÷Q的值；
(2)若P=Q，求x的值．
【答案】(1)P=1x−2，Q=−4x2−4，P÷Q=−x+24
(2)−6
【分析】（1）先根据分式的加减法则进行化简，再计算分式的除法即可得；
（2）根据P=Q建立方程，解分式方程即可得．
【详解】（1）解：P=2x2−4+xx2−4
=x+2x+2x−2
=1x−2，
Q=1x+2−1x−2
=x−2x+2x−2−x+2x+2x−2
=x−2−x−2x2−4
=−4x2−4，
则P÷Q=1x−2÷−4x2−4
=1x−2⋅−x+2x−24
=−x+24．
（2）解：由（1）可知，P=x+2x2−4，Q=−4x2−4，
∵P=Q，
∴x+2x2−4=−4x2−4，
方程两边同乘以x2−4，得x+2=−4，
移项、合并同类项，得x=−6，
经检验，x=−6是所列分式方程的解，
所以x的值为−6．
【点睛】本题考查了分式的运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19．（8分）（2023上·河南开封·八年级开封市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过证明△ABE≌△CBD可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CDB，再结合三角形外角的性质可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD；
（2）证明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠AEB+∠DME=∠CDB+∠DBE，
∵∠DBE=90°，
∴∠DME=∠DBE=90°，
∴AE⊥CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．
20．（8分）（2023下·四川·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=98°，∠D=140°．

(1)如图1，若∠B=∠C，则∠B=__________度；
(2)如图2，作∠BCD的平分线CE交AB与点E，若CE∥AD，求∠B的度数；
(3)如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E，求∠BEC的度数．
【答案】(1)61°
(2)42°
(3)119°
【分析】（1）根据四边形内角和，∠A=98°，∠D=140°求出∠B+∠C的值即可求解；
（2）根据平行的性质及角平分线求出∠ECB=40°，∠CEB=98°，结合三角形内角和定理即可求解；
（3）根据角平分线求出∠EBC+∠ECB=61°，再利用三角形内角和定理求解．
【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠A=98°，∠D=140°，
∴∠B+∠C=360°−98°−140°=122°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=12×122°=61°；
（2）解：∵CE∥AD，
∴∠CEB=∠A=98°，∠D+∠DCE=180°，
∴∠DCE=180°−∠D=180°−140°=40°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB=∠DCE=40°，
在△BCE中，∠B+∠BCE+∠CEB=180°，
∴∠B=180°−∠CEB−∠BCE=180°−98°−40°=42°；
（3）解：由（1）可知∠ABC+∠BCD=122°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，
∴∠EBC+∠ECB=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12×122°=61°，
∴∠BEC=180°−∠EBC+∠ECB=180°−61°=119°．
【点睛】本题考查多边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，平行的性质，掌握相关定理性质是关键．
21．（8分）（2023上·上海松江·八年级校考期中）如图，正方形是由两ABCD个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的．
(1)根据上图，利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出a+b2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是 ；
(2)若x满足1026−x2+x−10252=2023，请利用（1）中的数量关系，求1026−xx−1025的值；
(3)如图所示，正方形AEMG、长方形EBHM、长方形GMFD和正方形MHCF的面积分别为S1，S2，S3和S4，已知S2=334，GM−HM=4，求S1+S4及S1−S4的值．
【答案】(1)a2+b2+2ab=a+b2
(2)−1011
(3)S1+S4=1634；S1−S4=28
【分析】（1）观察图形，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可作答；
（2）运用（1）中的数量关系a2+b2+2ab=a+b2，代入1026−x2+x−10252=2023进行化简，即可作答；
（3）因为四边形AEMG是正方形，所以GM=EM=AE=a，因为S2=334，GM−HM=4，所以ab=334，a−b=4，则S1+S4=a−b2+3ab，把ab=334，a−b=4代入即可得S1+S4=1634；结合a−b2=a+b2−4ab=16，得a+b=7，即得S1−S4=a2−b2=a+ba−b=7×4=28．
【详解】（1）解：依题意，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，
则a2+b2+2ab=a+b2；
（2）解：因为（1）中的数量关系a2+b2+2ab=a+b2，
所以1026−x2+x−10252+21026−xx−1025=1026−x+x−10252=1，
因为1026−x2+x−10252=2023
所以21026−xx−1025=1−1026−x2+x−10252=1−2023=−2022，
则1026−xx−1025=−20222=−1011；
（3）解：依题意，因为四边形AEMG是正方形
所以GM=EM=AE=a，
因为S2=334，GM−HM=4，
所以ab=334，a−b=4
则S1+S4
=a+b2−12ab−12ab
=a2+2ab+b2−ab
=a2−2ab+b2+3ab
=a−b2+3ab
因为ab=334，a−b=4，
所以a−b2+3ab=16+3×334=1634，
即S1+S4=1634；
因为a−b=4，
所以a−b2=a2−2ab+b2=a2+2ab+b2−4ab=a+b2−4ab=16
因为ab=334，且a+b2−4ab=16
所以a+b2−4×334=16，即a+b2=49，得a+b=7或−7
因为a和b为边长，
所以a+b=−7舍去
则S1−S4=a2−b2=a+ba−b=7×4=28．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用以及平方差公式与几何图形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．（8分）（2023上·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．
（1）求7月份购进了口罩多少盒？
（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含b的代数式表示a．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．
【答案】（1）200盒；（2）①a=100−2b；②a=100，b=0，n=100或a=90，b=5，n=102或a=80，b=10，n=104
【分析】（1）设7月份购进了口罩x盒，根据8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元列出方程，解之即可；
（2）①根据7月份乙店利润与甲店相同列出关于a，b的方程，化简即可；
②首先求出两个月乙店的利润，根据总利润为2000元列出方程，得到n=100+2b5，再根据至少捐赠96盒口罩，求出n的范围，得到b的范围，再求整数解即可．
【详解】解：（1）设7月份购进了口罩x盒，
由题意可得：16000x+20=400002x，
解得：x=200，
∴7月份购进了口罩200盒；
（2）①由（1）可得7月份口罩每盒16000200=80元，
由题意可得：100−a150×80%−80=b150×90%−80+100−a−b150×70%−80，
整理得：a=100−2b；
②由题意可得：8月份购进了口罩400盒，8月份口罩进价为每盒100元，
7月份乙店获得的利润为：
a150−80+b150×90%−80+100−a−b150×70%−80
=45a+30b+2500
8月份乙店获得的利润为：150−100n−100200−n=150n−20000，
∴45a+30b+2500+150n−20000=2000，即3a+2b+10n=1300，
∵a=100−2b，
∴3100−2b+2b+10n=1300，即5n−2b=500，即n=100+2b5，
∵至少捐赠96盒口罩，
∴200−n≥96，
∴n≤104，
∴100+2b5≤104，解得：b≤10，
∴b可以取0，5，10，
当b=0时，a=100，n=100；
当b=5时，a=90，n=102；
当b=10时，a=80，n=104．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，列代数式，二元一次方程的解以及不等式，解体的关键是理清题意，本题条件较多，一定要仔细读题．
23．（8分）（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，等边三角形△ABC中，BD⊥AB，CD⊥AC，

(1)若E、F分别为线段AB、AC上的动点，∠EDF=60°证明：EF=BE+CF；
(2)若E、F分别在直线AB、AC上（除（1）外）的动点，∠EDF=60°，求EF、BE、CF的数量关系？
【答案】(1)见解析
(2)EF=CF−BE或EF=BE−CF，证明见解析
【分析】（1）在AB的延长线上取点H，使得BH=CF，连接DH，证△CDF≌△BDHSAS可推∠HDE=∠EDF，再证△HDE≌△FDESAS即可；
（2）分类讨论①E在AB的延长上，F在CA的延长线上时,②E在AB的反向延长上，F在AC的延长线上时的情况即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AB，CD⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∴BD=CD，∠BDC=120°，
在AB的延长线上取点H，使得BH=CF，连接DH，

在△CDF与△BDH中，CF=BH∠DCF=∠DBH=90°CD=BD，
∴△CDF≌△BDHSAS；
∴DF=DH，∠CDF=∠BDH，
∵∠EDF+∠BDE+∠CDF=∠BDC=120°，
∴∠BDE+∠BDH=∠EDF=60°，
即∠HDE=∠EDF，
∵DE=DE，
∴△HDE≌△FDESAS，
∴HE=EF即EF=BE+CF；
（2）解：①E在AB的延长上，F在CA的延长线上时，则EF=CF−BE.
在CA上取点M，使得CM=BE，连接DM.
在△CDM与△BDE中，CM=BE∠DCM=∠DBE=90°CD=BD，
∴△CDM≌△BDESAS；
∴DE=DM，∠CDM=∠BDE，
∴∠EDM=∠BDC=120°，
∵∠EDF=60°，
∴∠MDF=∠EDF=60°，
∵DF=DF，
∴△DEF≌△DMFSAS；
∴EF=MF，
即EF=CF−BE，

②E在AB的反向延长上，F在AC的延长线上时，则EF=BE−CF.
在BA上取点N，使得BN=CF，连接DN.
在△CDF与△BDN中，CF=BN∠DCF=∠DBN=90°CD=BD，
∴△CDF≌△BDNSAS；
∴DF=DN，∠CDF=∠BDN，
∴∠FDN=∠BDC=120°，
∵∠EDF=60°，
∴∠NDE=∠EDF=60°，
∵DE=DE，
∴△DEF≌△DENSAS；
∴EF=EN，
即EF=BE−CF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．熟练掌握相关结论是解题关键．